四川省成都市树德中学2023-2024学年高二下学期3月阶段性测试数学试卷

这是一份四川省成都市树德中学2023-2024学年高二下学期3月阶段性测试数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么取次后剩下的长度的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．140B．70C．154D．77
3．等差数列中，若，，则其公差等于（ ）
A．2B．3C．6D．18
4．设，，，，，数列，则的前100项和是（ ）
A．B．C．D．0
5．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则可推测（ ）
A．271B．331C．1531D．3067
6．函数图象上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A．B．C．1D．
7．已知的导数，且，，设，则（ ）
A．4028B．2024C．2023D．
8．有一个国王奖励国际象棋发明者的故事，故事里象棋发明者要求这样的奖励；在棋盘上的64个方格中，第1个方格放1粒小麦，第2个方格放2粒小麦，…，第个方格放粒小麦，结果国王拿出全国的小麦也不够．假设能有这么多的小麦，则这个故事继续如下，将这些小麦用1，2，3，…，编号并按照一定规律逐个抽取幸运小麦，设第次被抽取的小麦编号为，若第一次随机抽取的幸运小麦编号为，接下来的幸运小麦按照规律逐个抽取，则共能抽取（ ）粒幸运小麦．
A．4B．5C．15D．63
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列有关导数的运算和几何意义的说法，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．在处的切线斜率是
D．过点的切线方程是
10．下列有关等差和等比数列的说法，正确的是
A．若为等比数列，则为等差数列
B．若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则这个数列是常数列
C．两个不同的正数的等差中项大于它们的等比中项
D．若为递增的等比数列，则其公比大于1
11．设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则（ ）
A．B．
C．D．与均为的最大值
三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．写出一个满足前项和为的数列的通项公式；________．
13．如图，角的始边与轴非负半轴重合，终边交单位圆于点，则当时，点纵坐标读数的平均变化率为________，其在处的瞬时变化率为________．
14．有一类有趣的数列被称为“外观数列”，该数列的后一项由前一项的外观产生．以为首项的“外观数列”记作，如：1，11，21，1211，111221，…，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11，第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，…，按照相同的规则可得的其它项；再如：3，13，1113，3113，132113…若的第项记作，的第项记作，设，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）
回归课本．
（1）已知等比数列的首项为，公比为，写出其前项和的公式及其推导过程；
（2）写出函数的导数及其推导过程（用作差，求比值，取极限的定义推导）．
16．（本题15分）
设数列的前项和为，，且．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，将与的公共项从小到大排列构成新数列，求的前项和．
17．（本题15分）
在党中央的“棈准扶贫”政策支持下，小王2023年底获得了扶贫免息贷款10000元，并于2024年1月初用于他的农产品加工销售创业项目，因产品质优价廉，上市后供不应求。据前两个月的经营情况测算；在一定时期内（不低于一年），每月获得的利润可稳定在该月月初投入资金的．为了提高利润，需加大投入，于是每月月底将本利扣除房租水电等成本（由于扶贫政策，成本可稳定在1000元）后的余款继续投入到下个月再加工销售．设1月月底本利扣除成本后将要投资到下个月的资金是，以此类推，2月月底是，月月底是．
（1）求；
（2）求与的关系（表示成（，为常数）的形式）；
（3）求，并预估小王在2024年（1月初至12月底）的年利润．
（参考数据：可取，，）
18．（本题17分）
已知等比数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若不是递增数列，，求的最小值．
19．（本题17分）
约数，又称因数．定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，记作，，，，．
（1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
（2）当时，若，，，构成等比数列，求与满足的关系式（用和表示）；
（3）记，求证：．
树德中学高2022级3月阶段性测试数学考答案
一、选择题．
1．C 2．D 3．A 4．D． 5．A 6．B 7．D 8．B
8．解析：法一：严格递推（理性推理）；配方得：．
取对数：，设，则，
又，所以，，．
由放小麦的规则可得小麦总粒数为，
．
法二：数量感（综合素养，体现新高考的要求）；
是三位数，估计不会超过二十四位数
（严格计算，应该是20位数，但是估算即可）
，可以估算是两位数，是四位数，是八位数，是十六位数；
显然一定会超过二十四位数，所以只能取5个．
（即使没有数量感有毅力用小学的竖式乘法也可以，天无绝人之路！实际上：，，，）
二、选择题．
9．BC 10．BC 11．ABD
三、填空题．
12．答案不唯一，如，（写成关于的二次式均可）．
13．，1（第一空2分，第二空3分）
14．60 解析：由题，当，时；，，，，，，
，，，，，，
由递推可知，随着的增大，和每一项除了最后一位不同外，其余各位数都相同，
所以，的前项和为．所以，，时，．
四、解答题．
15．（1）解：，
推导过程参见课本《选择性必修二》P34-P35原文，利用错位相减法。（7分）
评分参考：①如果用非课本方法（其它方法如裂项相消，数学归纳法等），正确亦给分；
②公式如果没有讨论扣1分，过程没有讨论扣2分，都没有讨论扣3分．
（2）解：
推导过程参见课本《选择性必修二》P73--P74原文第5个函数的推导过程。（13分）
16．解：（1）①当时，，，两式相减得，，
整理可得（此处，但是角标可以取到1，可以代），而，所以，，即，
（此处，但从严谨性讲，角标又只能取到2了，因此需要验证，否则扣2分），
②当时，，符合上式．
综上：．（此处角标终于可以取遍中的一切值了）．（8分）
（未检验首项扣2分，但是如果是用其它方法有可能不检验，根据实际情况给分）
当为偶数时，，为奇数时，，
所以与的公共项即为的偶数项，（10分，此处未说明原因和2分）
则是首项，公差为2的等差数列，所以，
所以的前项和．
17．解：（1）．
（2）由题意：，即．
（3）设，即，则，，
又，，．
，
预估小王2024年的年利润是．
18．解：（1）设的公比为，则，
若，则．若，则．所以的公比为，，4，
所以的通项公式为：，，．（少一种情况和1分）
（2）若是递增数列，则，则有，，
等价于，恒成立，令，即．
而．
时，，时，，时，，
，，，
实数的取值范围为．
（3）若不是单调数列，则，或．
（i）当时，，
①当为偶数时，；②当为奇数时，．
所以此时的最小值为．
（ii）当时，．
①当为偶数时，，且为递增数列，；
②当为奇数时，，不可能为最小值．
所以此时的最小值为．
19．解：（1）当时正，数的4个正约数构成等比数列，比如1，2，4，8为8的所有正约数，即．又比如1，3，9，27为27的所有正约数，即也可以，125，343，…都可以，但注意，64，256…不行．
法一：由题意可设，累乘得：，
即，．
，，，共个数均为的约数，又共个数为的所有约数，
必有，，，（※），
又由解得，代入（※）即得：．
法二：由题可知，，，，因为，依题意可知，
所以，化简可得，所以，因为，所以，因此可知是完全平方数．由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以，所以，，，为，，，，所以．
（10分，鼓励探究，发现并写对此关系式即得3分，若用其它方法说明，只要合理亦给分）
（3）证明；由题意知，，，
所以，
由题可得：，，，
所以由放缩和裂项相消得，
，
因为，，所以，所以，即．