江西景德镇一中2025-2026学年第一学期期末考试高二（20班）数学试题（含答案解析）

这是一份江西景德镇一中2025-2026学年第一学期期末考试高二（20班）数学试题（含答案解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对户居民进行抽样，先将户居民进行编号，，，…，，从中抽取个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第7个样本编号是（ ）
21 45 70 16 33 88 29 54 07 61 10 84 37 11 69 28 50 74 36 02 95
41 83 15 72 60 49 08 39 24 56 81 09 80 43 19 67 52 03 98 45 96
2. 某学习小组八名学生在一次物理测验中的得分（单位：分）如下：，这八人成绩的第60百分位数是.若在该小组随机选取两名学生，则得分都比低的概率为（ ）
3. 某学校高三学生共有900人，其中男生500人，为获取该校高三学生的身高信息，现采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本.计算得男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法正确的是（ ）
4. 本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则（ ）
5. 下列说法中，错误的有（ ）
①回归直线恒过点，且至少过一个样本点；
②根据列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
③回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，越大，则拟合的效果越好；
④若随机变量服从正态分布，则函数为偶函数
6. 已知，则（ ）
7. 投掷均匀的骰子，每次投得的点数为1或2时得1分，投得的点数为3，4，5，6时得2分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（ ）
8. 在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
二、多选题
9. 某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ）
10. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
11. 如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，.若是边长为2的等边三角形，为底面圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ）
三、填空题
12. 展开式中含项的系数为_____
13. 已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为__________.
14. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是__________；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________.
四、解答题
15. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：
(1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱．
（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001）
(2)求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．
附：样本的相关系数，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
16. 小霞十分喜欢吃糖，为了让小霞减少糖的摄入量，小霞妈妈做了4支棒棒糖模型，其外观、手感与质量与棒棒糖完全一致，并将2支棒棒糖和2支棒棒糖模型放在纸盒中.妈妈与小霞约定好：每当小霞想吃糖时即在该纸盒中随机抽取一支，若抽到棒棒糖模型时，重新放回原处；若抽到棒棒糖时，吃完后，妈妈补放1支棒棒糖模型.如此操作，直到2支棒棒糖被吃完.
(1)求小霞在第1次抽到棒棒糖模型的条件下，第4次恰好吃完2支棒棒糖的概率；
(2)在抽取2次后，纸盒中棒棒糖模型的支数恰好为，求的分布列与数学期望；
(3)记“恰好抽取次时纸盒中2支棒棒糖刚好吃完”的概率为，求.
17. DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据（单位：人）：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，.
（i）求比赛结束后甲获胜的概率；
（ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率.
附：，其中.
18. 已知边长为的等边，，将沿折叠，形成四棱锥，二面角大小为，点为中点.
(1)求体积的最大值；
(2)若.
（i）时，求外接球的表面积；
（ii）平面，垂足为，长度是否为定值？如果为定值，求的长；如果不为定值，请说明理由.
19. 在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率.
(1)若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率；
(2)记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：；
(3)教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．抽取男生的样本量为40
B．估计该校高三学生身高的均值为165
C．抽样时女生甲被抽到的概率为
D．估计该校高三学生身高的方差为19
A．图中的值为0.020
B．估计样本数据的众数值为90
C．估计样本数据的第分位数为95
D．估计样本数据的平均数大于中位数
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A．
B．
C．
D．
A．投掷2次骰子，最终得分的期望为
B．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则
C．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则
D．设最终得分为分的概率为，则
A．1450种
B．1480种
C．1520种
D．1560种
A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种
B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案
C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案
D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有138种不同的方案．
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正整数k，使得恒成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
A．球的表面积为
B．圆锥的侧面积为
C．四面体的体积的取值范围是
D．若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为
使用年限（单位：年）
2
4
5
6
8
失效费（单位：万元）
3
4
5
6
7
学历
使用情况
合计
经常使用
不经常使用
本科及以上
65
35
100
本科以下
55
45
100
合计
120
80
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828