江西省景德镇一中2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试题（19班）（含解析）

这是一份江西省景德镇一中2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试题（19班）（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知直线与直线互相平行，则m为（ ）
A．B．-2C．-2或2D．2
2．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ）

A．等边三角形B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形
3．如图，在直三棱柱中，，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
4．三棱锥的侧棱上分别有三点E，F，G，且，则三棱锥与的体积之比是（ ）
A．6B．8C．12D．24
5．点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（ ）
A．B．3C．D．2
6．在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．若函数的图象关于直线对称，则函数图象的一条对称轴为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知为复数，，则以下说法正确的有（ ）
A．
B．
C．互为共轭复数
D．若，则的最大值为6
10．已知函数在区间上有且仅有个对称中心，则下列正确的是（ ）
A．的值可能是B．的最小正周期可能是
C．在区间上单调递减D．图象的对称轴可能是
A．若是锐角三角形，则不等式恒成立
B．若，则
C．若非零向量与满足，则为等腰三角形
D．是所在平面内任意一点，若动点满足，则动点的轨迹一定通过的重心
12．如图，矩形中，，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，平面与平面所成锐二面角，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得
B．面积的最大值为
C．
D．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则 .
14．已知点和直线，则点到直线的距离最大值为 ．
15．已知，且，，则 ．
16．如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为 .

四、解答题（本大题共6小题）
17．如图所示，在中，为边上一点.过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.

(1)若，若，，求的值.
(2)若，，是线段上任意一点，求最大值.
18．已知直线与直线．
(1)若，求的值；
(2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程；
(3)中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程．
19．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调增区间；
(2)若，且，求的值.
(3)在中，若，求的取值范围.
20．如图，在四面体中，，分别是的中点.
(1)求证：；
(2)在上能否找到一点，使平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)若平面平面，且，求直线与平面所成角的正切值.
21．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为；
①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
22．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，过，，三点的平面与此正方体的面相交，交线围成一个多边形.

(1)在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）；
(2)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）；
(3)若点是侧面内的动点，且，当最小时，求三棱锥的外接球的表面积.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为直线与直线互相平行，
所以，解得或，
又因为时，两直线重合，不符合题意，舍去.
所以，.
故选D.
2．【答案】A
【详解】由图形知，在原中，，如图，

因为，所以，
，，
又，.
为等边三角形.
故选A.
3．【答案】A
【分析】是中点，连接，易知为直线与所成角的平面角，根据已知条件及余弦定理求其余弦值，即可得的大小.
【详解】取中点，连接，
直三棱柱中且，则为平行四边形，
所以，故直线与所成角即为，
令，又，则且，则，
又因为，故，又因为，
所以.
即直线与所成的角为.
故选A.
4．【答案】D
【详解】设的面积为，设的面积为，
则，，又，
，
∴ ，
过点作平面，过点作平面，如图，
则，∴ 与相似，
又，∴ ，
∵ ，，
∴ ，
∴ 三棱锥与的体积之比是24.
故选D.
5．【答案】C
【详解】

因为，
所以，即，
取中点为点，
则，即，
所以在中线上，且
过，分别作边上的高，垂足为，
则，
所以，，
所以，
所以，
故选C.
6．【答案】C
【详解】由题意，而，
所以，由余弦定理得，
故，
又由正弦定理得，
整理得，
故或（舍去），得，
因为是锐角三角形，
故，
解得，故，
.
故选C.
7．【答案】C
【详解】，
由题意可知是的解，即，
∴，当时，，
，
∴令，即，，
∴函数的对称轴为，
当时，.
故选C.
8．【答案】B
【详解】如图，过点作点关于线段的对称点，则.
设，则有，解得，所以.
设，则，所以，
又，所以点到轴的距离为，
所以可视为线段上的点到轴的距离与到的距离之和.
过作轴，过点作轴，
显然有，则为所求最小值，此时与线段的交点，即为最小值时的位置.
易得，所以的最小值为.
故选B．
9．【答案】ACD
【详解】设复数，
对于A，，
，A正确；
对于B，取，则，B错误；
对于C，，
，互为共轭复数，C正确；
对于D，在复平面内，是表示复数的点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆，
是上述圆上的点与复数对应点的距离，
而点到原点的距离为，的最大值为，D正确.
故选ACD
10．【答案】ABC
【详解】因为函数在区间上有且仅有个对称中心，
且当时，，
所以，，解得，A对；
因为，则函数的最小正周期为，且，B对；
当时，，
因为，则，
所以，函数在区间上单调递减，C对；
，所以，图象的对称轴不可能是，D错.
故选ABC.
11．【答案】ACD
【详解】解：A项：由是锐角三角形，故:，
所以：，A正确；
B项：由正弦定理可知：，
若，则，显然不符合，故B错误；
C项：由向量的加法法则可知与的角平分线共线，
又可得：的角平分线与垂直，
由三角形的性质可知为等腰三角，故C正确；
D项：过作，如图，
，
所以：，
，
由向量加法的平行四边形法则可知点在边的中线上，
所以动点的轨迹一定通过的重心，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】BCD
【详解】对于A，取的中点，连接，，
显然，且，又，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又，，且为的中点，
则与不垂直，所以与也不垂直，故A错误；
对于B，由，，则，
所以当时，最大，且最大值为，故B正确；
对于C，取的中点，的中点，作平面，且点在平面内，
连接，，，
由，则，又，且，则，
则在平面上的射影在直线上，即点在直线上，
则平面与平面所成的二面角，则，所以，
又在平面上的射影为，则，所以，
所以，故C正确；
对于D，结合C可知，，
则当点与点重合，即平面时，最大，且最大值为，
则，又，且，则平面，
所以，，两两垂直，且，，，
则三棱锥的外接球的半径和长、宽、高分别为，，的长方体的外接球的半径相等，
所以其外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确．
故选BCD．
13．【答案】/
【详解】设，由可得，
由可得或，
由图可知，，即，所以.
又由图可知，所以，即.
所以，即或，
由图可知，，所以.
所以.
14．【答案】
【详解】由，
即，
令，解得，
则直线恒过定点，
当时，点到直线的距离最大，
此时最大距离为.
15．【答案】/
【详解】由题可知，所以，
所以，
因为，所以，
又，所以，故，
所以，
两边平方后得，故，
．
16．【答案】/
【详解】设的中心为，则底面，延长至，
使得，则，
由三条侧棱两两垂直且相等，
故可以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
由，则、，,
有，
由对称性可设，则有，
解得，故，
，
的最小值为.

17．【答案】(1)3
(2)2
【详解】（1）在中，由，又，
所以，
所以
，
因为，
又，，
所以，，
所以，
又三点共线，且在线外，
所以有：，即.
（2）由于，故是的中点，故，
，
当且仅当时取等号，故最大值为2.
18．【答案】(1)或
(2)或
(3)
【详解】（1）因为，所以，
解得或.
（2）因为点在直线上，
所以，解得，
因为直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，
当两截距均为0时，设直线方程为，
所以，此时直线的方程为；
当两截距均不为0时，设直线的方程为，
将点代入得，解得，
此时直线的方程为，
综上所述，所以直线的方程为：或.
（3）由可得，
由得，所以，
因为边上的高所在直线的方程为，
所以直线，
所以直线的方程为：即，
又因为所在直线的方程为，
由解得，所以，
设，则中点，
代入得，整理得，
由，解得，所以，
所以直线的方程为：即.
19．【答案】(1)最小正周期为；单调增区间
(2)
(3)
【详解】（1）
，
最小正周期为，
令，，
所以，，
所以函数的单调递增区间为；
（2），
因为，所以，
所以
所以
；
（3）因为，所以，
因为，所以，
，
因为，所以，所以，
所以的取值范围为.
20．【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
(3)
【详解】（1）取的中点，连接，
在中，，同理，
而平面，平面，
又平面；
（2）在上能找到一点，使平面，此时，证明如下：
记的中点为，连接，
因为是的中点，是的中点，，
平面平面，平面，
的中点即为所求，此时.
（3）由（1）知，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
取中点，连接，易知故平面，
故是直线与平面所成角，
因为，所以是等边三角形，
设，则，，
在中，，，
所以，
故，
所以直线与平面所成角的正切值为.
21．【答案】(1)
(2)长的最小值为，的最大值
【详解】（1）由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以；
（2）①由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
由于，所以
，
当且仅当时，等号取得到，所以；
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
所以，
由于,所以，
由于，
又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故，
22．【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）设中点为，再证明即可知这个多边形为；
（2）设，连接，设，连接，即可得到截面即为平面，再根据锥体、柱体的体积公式计算可得；
（3）取的中点，的中点，连接，，，，即可证明平面平面，则在线段上，从而得到当为的中点时最小，令，取线段中点Q，连接，则球心在上，设球心为，连接，，，利用勾股定理求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式计算可得.
【详解】（1）设中点为，连接，，则由正方体性质可得，且，
故四边形为平行四边形，则.
又中点为，中点为，故，则，故这个多边形为四边形.

（2）在正方形中，直线与直线相交，
设，连接，设，连接，
由为的中点，得为的中点，所以，
所以平面即为平面，
因为为的中点，所以为的中点，
所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台，
因为正方体的棱长为，
所以
，
所以另一部分几何体的体积，
所以两部分的体积．

（3）取的中点，的中点，连接，，，，
显然，，所以，平面，平面，
所以平面，
又为的中点，所以且，又且，
所以且，
所以为平行四边形，所以，
平面，平面，
所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又点是侧面内的动点，且，
所以在线段上，又，
即为等腰三角形，所以当为的中点时最小，
因为为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边的中点，设为，
令，则为的中点，连接，则，所以平面，
所以球心在上，设球心为，连接，，，
设外接球的半径为，，则，
又，，
所以，，解得，则，
所以外接球的表面积.