江西省景德镇一中2025-2026学年高二上学期期中考试数学（19班）试题（Word版附解析）

这是一份江西省景德镇一中2025-2026学年高二上学期期中考试数学（19班）试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷（19班）
一、单选题
1．已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．且
C．D．且
2．已知两直线，若 ，则与间的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．的展开式中的系数为（ ）
A．60B．20C．-20D．-60
4．已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若减少一个杂点数据后，得到修正后的回归直线的纵截距为，则数据的残差为（ ）
A．B．C．D．
5．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（ ）
A．720B．1480C．1080D．1440
7．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点（不与重合），为的中点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（ ）
A．
B．当或3时，最大
C．
D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为
10．如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．，，，四点共面
B．与所成角的大小为
C．在线段上存在点，使得平面
D．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
11．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，为上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．内切圆半径的最大值为D．外接圆半径的最小值为1
三、填空题
12．设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为 .
13．如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1，活动弹子分别在对角线上移动，且，则的取值范围是 .
14．切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为 .
四、解答题
15．已知圆过点，，且圆心在直线：上
(1)求圆的方程；
(2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程；
(3)若为圆上的动点，求的最小值.
16．人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立．
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
（i）求选到的袋子为甲袋的概率；
（ii）求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率．
17．如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于．
(1)求抛物线的方程；
(2)①求直线的斜率的取值范围；
②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由．
19．已知椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，记四边形的内切圆为．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知椭圆的右焦点为F，若上两点A，B满足，且．求证：以AB为直径的圆恒过异于点F的一个定点；
(3)已知P为椭圆上任意一点，过点P作圆的切线分别交椭圆于两点，试求三角形面积的最小值．
参考答案
1．B
【详解】，，
，向量与的夹角为锐角，
且向量与不平行，
，，
向量与不平行，，
的取值范围为且，选项B正确.
故选：B.
2．C
【详解】直线的方程化为一般式为，
又因为， ，所以，解得，
所以的方程为，即，
所以与间的距离为.
故选：C.
3．D
【详解】，展开式的通项公式为，
令，故，
的展开式的通项公式为，
令，则，
故的系数为，
故选：D.
4．C
【详解】由题意可得回归方程为，所以，
因为，所以，所以，
若减少一个杂点数据后，剩余样本数量为10，
修正后的，，
又修正后的回归方程的纵截距为，
设修正后的回归方程为，
可得，
所以修正后回归方程为，
当时，，
所以数据的残差为.
故选：C
5．C
【详解】由题可知该正态分布的均值为，其图象的对称轴为直线，
则，又，
由对称性可知，
由条件概率公式得．
故选：C．
6．D
【详解】由题意，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，
则主治医师的分配方案有2种，即“”或“”.
当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为，
再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为，
最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为，
根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为；
当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为，
再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为，
最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为，
根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为.
根据分类加法计数原理，不同的分配方法种数为.
故选：D.
7．B
【详解】由题意可知，
设，
所以，
所以，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
即；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
即；
综上，或.
故选：B.
8．B
【详解】设小球的半径为，则小球的表面积为，解得，
在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示：

由小球的半径，
得，
又都是等边三角形，则，
圆台的上、下底面圆的半径分别为，
母线长，因此圆台的侧面积为，
在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为，其面积为，
所以圆锥内壁上小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为.
故选：B
9．BCD
【详解】方案一中，有放回地抽样，则取得次品个数，
，，
方案二中，不放回地抽样，则取得次品个数Y服从超几何分布，
则，.
选项A，，，，A错误；
选项B，，由于，故或3时，最大，B正确；
选项C，由二项分布及超几何分布期望公式，，C正确；
选项D，方案一中，每次抽到次品的概率均为，
方案二，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”，
其中“正正次”的概率为，“正次次”的概率为，
“次正次”的概率为，“次次次”的概率为，
故第三次抽到次品的概率为，D正确.
故选：BCD.
10．ABD
【详解】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
则，
故，
设，即，
所以，解得，
所以共面，
又为公共始点，所以，，，四点共面，故A正确；
，则，
所以，
所以与所成角的余弦值为，
所以与所成角的大小为，故B正确；
对于C，假设在线段上存在，可设 ，，
则，，
由，得
由，得，
即与垂直和与垂直不能同时成立，
所以与平面不垂直，故C错误；
，则，所以，
又不共面，所以，
又平面，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离即为点到平面的距离，为定值，
又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故D正确.
故选：ABD.
11．ACD
【详解】
对于A，，故A正确；
对于B，由三角形中位线得，因为当点在第二三象限时，，此时，故B错误；
对于C，因为，，
当点在上顶点时，最大，所以，所以，
所以，所以由三角形相似可得，
设内切圆半径为，又，
所以内切圆半径的最大值为，故C正确；
对于D，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，故D正确.
故选：ACD
12．
【详解】由，可知点P在线段FH上，且，如图所示，根据双曲线的对称性，不妨设点H在第一象限，
设O为坐标原点，则直线OH的方程为．由，则点到直线距离为，
又，则．由，可知．
设双曲线C的左焦点为，连接，
由双曲线的定义可知，
在中，由余弦定理可得，
整理得，即，则，，所以C的离心率．
故答案为：.
13．
【详解】
以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，设，由于，所以，
则，
则，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以时，取得最小值为，所以.
故答案为：
14．1250
【详解】由题意知，所以，，
若，则，
即，即，
由切比雪夫不等式知，
要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内，
则，解，
所以估计信号发射次数n的最小值为1250.
故答案为：1250
15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）

由，，得直线的斜率为，线段中点，
所以，直线的方程为，即，
联立，解得，即，
所以半径，
所以圆的方程为；
（2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，
设点关于直线的对称点，
则直线与直线垂直，且线段的中点在上，
即，解得，
所以，
所以直线即为直线，且，
直线方程为，即；
（3）设，
则
其中表示到距离的平方，
将代入，即在的内部，
由圆心到的距离为，圆的半径为，
所以到距离的最小值为，
所以的最小值为，
所以的最小值
16．(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）解：设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，
“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件．
则，
所以试验一次结果为红球的概率为.
（2）解：（i）因为是对立事件，，
所以，
所以选到的袋子为甲袋的概率为.
（ii）由（i）得，
设为第次独立试验结束的概率，则
所以设题设概率为，则.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且
【详解】（1）在图1中，由，，得，则，
所以，由，得，即，
在图2中，，取的中点，连接，由为的中点，
得，则，由，得，而，
平面，则平面，又平面，所以.
（2）由已知及（1）得平面平面，平面平面，，
于是平面，直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为，
则，
由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.
（3）假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，
在中，，所以，
因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为，
所以，所以，所以点到平面的距离为，
令，由（2）得，，
又平面的法向量为，
则点到平面的距离为，解得，
线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且.
18．(1)
(2)①；②为定值，理由见解析
【详解】（1）因为抛物线过点，
所以，从而，故抛物线的方程为．
（2）①由题意知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，
由得，
依题意，解得且．
又直线与轴相交，故直线不过点，从而，
所以直线斜率的取值范围为．
②为定值2．理由如下：
设，直线．
联立直线与抛物线的方程，可得，
根据韦达定理有．则,
故，
直线的方程为，
令，则，同理可得．
由得,得
同理，
则,
所以为定值，定值为2．
19．(1)
(2)定点为
(3)
【详解】（1）因为椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，
所以四边形为菱形，为其中心点，
又，坐标分别为，，可得直线方程为，
则原点到直线的距离为，
即圆的半径，故圆的标准方程为．
（2）设，，，
则，，
又，所以，
结合可得，，
设以AB为直径的圆上的点，
则，，
，
化简得，
令，则，解得或，
所以该圆恒过异于F的定点．
（3）设直线PM方程为，由直线PM与圆相切，可知原点到直线PM的距离，整理可得，
将直线PM方程代入椭圆可得，，
整理即有，设，，
则，
即，故，
同理，，故、、三点共线，则，
设代入椭圆方程可得，则，
故，
同理，，
从而，，
所以，，得，
因此，，当且仅当时等号成立，
故三角形PMN面积的最小值为．