江西省景德镇一中2025-2026学年高二上学期期中考试数学（20班）试题（Word版附解析）

这是一份江西省景德镇一中2025-2026学年高二上学期期中考试数学（20班）试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题（20班）
一、单选题
1．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．设函数，则“”是“有三个不同的零点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知等比数列的公比为2，且.若，则值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线，其曲率（是的导数，是的导数），曲率半径是曲率的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率沿曲率半径为的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为.若该质点以恒定速率沿形状满足的光滑轨道运动，则其在点处的向心加速度的大小为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆锥底面半径为3，母线长为5，在圆锥内放置一个长方体，使其可以在圆锥内部随意转动，则该长方体体积最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在棱长为的正四面体中，点分别在棱上，且平面平面为内一点，记三棱锥的体积为，设，关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．，使得
B．函数在上是减函数
C．函数的图象关于直线对称
D．，使得（其中为四面体的体积）
二、多选题
10．设函数，则（ ）
A．是偶函数B．
C．在区间上单调递增D．为的极小值点
11．已知点在焦点为的抛物线上，其中是各项均不为零的数列且．若，则（ ）
A．B．数列为等差数列
C．D．
12．若函数与的图象有且只有一个公共点，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，可取任意实数D．当时，的最大值为e
三、填空题
13．设数列满足，且，则 ．
14．已知数列满足，，则数列的前项和 ．
15．已知函数，若函数恰有3个不同零点，则实数的取值范围为 .
16．已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为 .
四、解答题
17．已知等差数列满足是关于的方程的两个根.
(1)求数列的通项公式.
(2)设，求数列的前项和.
18．已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)若当时，，求实数的取值范围.
19．设为数列的前n项和，时，，已知．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值．
20．设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.
(1)求 (2)证明:
21．已知函数.
(1)当时，求在上的最大值；
(2)若是上的单调函数，求实数的取值范围；
(3)证明：.
22．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）如果方程有两个不相等的解，且，证明：.
参考答案
1．D
【详解】因为，
由题意可得：在恒成立，可得在上恒成立，
又因为在内单调递减，
可得，可得，
所以a的范围为.
故选：D．
2．B
【详解】因为所以，
因为有三个不同的零点，必有两个极值点，
所以有两个不同的根，
所以，所以，
又因为有两个极值点，但的两个极值不一定异号，
例如时，，，此时只有两个不同零点，
所以是有三个不同零点的必要不充分条件；
故选：B.
3．B
【详解】由题可得：，解得，故，
因为
，解得．
故选：B．
4．B
【详解】设，则，，所以，，
则曲线在点处的曲率，曲率半径，
故曲线在点处的向心加速度的大小为.
故选：B.
5．B
【详解】观察图象知，是函数的极小值点，求导得，
则，解得，当时，；当时，，
则是函数的极小值点，，，
不等式，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B
6．C
【详解】长方体可以在内部随意转动，则需找出该圆锥的内切球，
再计算内切球中内接长方体的体积最大值即可得，
设该圆锥的内切球半径为，
如图，设圆锥轴截面为，则，，则，
则有，解得，
设该内切球中内接长方体的底边为，高为，
则，即有，
，令，
则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，
即该长方体体积最大值为.
故选：C.
7．A
【详解】，令得，
令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，，
又，，
故，
由题意得，即，
解得.
故选：A
8．A
【详解】因为偶函数，则①，
对两边求导得，②，
在③中，用代替得④，
由①②④可得，⑤，
联立③⑤得，，
则化简为，，
令，则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为，故，
则实数的取值范围是.
故选：A
9．A
【详解】设点在平面内的射影为点，连接，如图所示，则为等边的中心，
故，因为平面平面，所以，
所以，所以.因为平面平面，则，
且点到平面的距离为，所以点到平面的距离为，
所以，其中，对于选项，，当时，，此时函数单调递增，；当时，，
此时函数单调递减，，故正确，B错误；对于C选项，，故函数的图象不关于直线对称，故C错误；对于D选项，，故对任意的，故D错误.
故选：A.
10．BD
【详解】的定义域为，故为非奇非偶函数，故A错误，
由于，且，故
当时，，此时，当时，，此时，
当时，，因此，B正确，
对于C, ，当时，，此时，因此在单调递减，故C错误，
对于D，，当时，，故，当时，，此时，因此在单调递减，在单调递增，为的极小值点，D正确，
故选：BD
11．ACD
【详解】由题意有：，所以抛物线方程为，又点在上，所以，
所以，
因为，所以，
所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列，
所以，故A正确；
又，不是固定不变的常数，
所以数列不是等差数列，故B错误；
由，故C正确；
由，即，令，
所以，所以在单调递增，又，
所以当时，，，即，
所以，故D正确.
故选：ACD.
12．ACD
【详解】在同一平面直角坐标系下画出函数与的图象.
由图易知选项AC正确；
当时，易知在处的切线方程为，
此时函数与的图象有且只有一个公共点，且，故选项B错误；
对于D选项，当时，与相切，设切点为，则，则，则，则.
令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即的最大值为e.
另解：，即与相切时，已知求的最大值，由图象可知，与相切于点时，最大，即的最大值为e.
故选：ACD.
13．4
【详解】由以及可得，
故，
故答案为：4
14．
【详解】由，，得.
当时，，所以，即，
所以的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列.
则.
故答案为：.
15．
【详解】当时，函数，在上单调递增，在上单调递减；此时最大值为，
当时，，则当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减,此时函数极大值为，且当时， ，
由于，
所以函数恰有3个不同零点，则，所以．
故答案为：.
16．
【详解】令，由，
即恒成立，
易知，所以在上单调递减，在上单调递增，
又，单调递减，所以，
要考虑的最小值，先考虑为负数，
若，则单调递减，，即，
所以，令，
易知，则在上单调递增，在上单调递减，
所以，
若，显然符合题意，
所以不论取何正数，实数a的最小值为.
故答案为：.
17．(1)；
(2).
【详解】（1）由题意可知.
不妨设的公差为d，则，
作差得，所以.
又，
所以，
所以.
（2）由上可知：，
所以
.
18．(1)极小值，无极大值
(2)
【详解】（1）当时，故.
当时；当时
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
∴当时有极小值，无极大值.
（2）因为，所以
令
，
令，则；
（i）当，即时，恒成立，，
则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；
（ii）当，即或时，
令，解得：，；
当时，，在上恒成立，
则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；
当时，，又，，；
当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）当时，，即，
则，而，则，
于是时，，整理得，又，
所以数列是首项和公比都是2的等比数列.
（2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，则，
因此，数列是首项为，公差为的等差数列，，
所以数列的通项公式.
（3）由（2）知，，
，
两式相减得，，
则．不等式，
当时，为任意实数；当时，恒成立，而，因此，
所以实数的取值范围是，的最小值为.
20．（1）；（2）详见解析.
解析：（1）函数的定义域为，
.
由题意可得，.故，.
（2）证明：由（1）知，，
从而等价于.
设函数，则.
所以当，；
当时，.
故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为.
设函数，则.
所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为.
综上，当时，，即.
21．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）若，则，，
当时，，仅当时等号成立，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
所以；
（2），则，，
，仅当时等号成立，
当时，，
此时恒成立，在上单调递减，符合题意；
当时，，要使为单调函数，
则必须，即恒成立，所以，得，
所以；
综上，实数的取值范围为；
（3）先证明左边：
由（1）知时，在上单调递增，
所以当时，，即，
又，所以，，
累加得；
再证明右边：
由（2）可知，时，在上单调递减，
所以当时，，可得，令，
累加可得
，
所以，
所以；
综上，.
22．（1）答案见解析；（2）证明见解析
【详解】（1）.
①当时，单调递增；
②当时，单调递减；
单调递增.
综上：当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
（2）由（1）知，
当时，在单调递增，至多一个根，不符合题意；
当时，在单调递减，在单调递增，则.
不妨设，
要证，即证，即证，即证.
因为在单调递增，即证，
因为，所以即证，即证.
令
，
.
当时，单调递减，又，
所以时，，即，
即.