江西南昌市南昌县莲塘第三中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试题（含答案解析）

这是一份江西南昌市南昌县莲塘第三中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试题（含答案解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 若直线平行于直线，且垂直于直线：，则（ ）
2. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上一点，则（ ）
3. 设集合，且，则（ ）
4. 已知变量，的一组统计数据如下表所示.计算得两个变量线性相关，且关于的线性回归方程为则实数的值为（ ）
5. 若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ）
6. 某测试由8道四选一的单选题组成，学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会，若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为（ ）
7. 下列说法正确的有（ ）
8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，则的离心率为（ ）
二、多选题
9. 已知，，则下列正确的有（ ）
10. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（ ）
11. 某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ）
三、填空题
12. 展开式中的系数为___________．
13. 已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________.
14. 某大型购物商场为吸引顾客设置购物抽奖活动，顾客消费满一定金额后可以参加抽奖活动，抽奖规则是：从一个装有6个大小、形状、质地完全相同的小球（2个红球、4个白球）的不透明盒子中每次随机抽取1个球，记下颜色后放回，摇匀后进行下一次抽取，每名顾客一共有4次抽奖机会，若前3次都抽到红球，则不需要抽第4次，根据抽出的红球数计算奖次．记为抽到红球的次数，则___________．
四、解答题
15. 已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为．
(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；
(2)求以线段为直径的圆的方程．
16. 随着科技的发展，AI技术已经深度介入普通人的生活，正在改变着人们的生活和工作．为了调查AI技术在普通人中的使用情况，一调查机构对此进行了调查，并从参与调查的市民中分别抽取男，女各100人进行统计分析，整理得到如下列联表：
(1)完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析是否经常借助AI技术与性别有关联；
(2)采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从表中不经常借助AI技术的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记3人中男性人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
参考公式：，．
17. 已知，且．
(1)求展开式的所有二项式系数之和；
(2)求的值；
(3)判断的展开式中第几项系数的绝对值最大．
18. 如图1，在中，两点分别为（靠近）､（靠近）的三等分点，.现将沿折起得到四棱锥，在图2中.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19. 已知椭圆：过点，短轴长为，，分别为椭圆的左、右顶点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，直线的斜率与直线的斜率的比值是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．6
D．
A．
B．
C．2
D．4
A．1
B．0.7
C．0.5
D．0.2
1
2
3
4
0
4
7
A．2
B．3
C．4
D．5
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0
B．若是随机变量，则.
C．已知随机变量，若，则
D．设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机试验中发生的次数，则
A．
B．
C．
D．2
A．
B．
C．
D．
A．
B．若，则直线的斜率为
C．若直线的斜率为2，则
D．
A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种
B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案
C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案
D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有138种不同的方案．
性别
经常借助AI技术
不经常借助AI技术
合计
男
女
50
合计
120
0.050
0.010
0.005
3.841
6.635
7.879