江西南昌市外国语学校2025-2026学年高二上学期2月期末测试数学试卷（含答案解析）

这是一份江西南昌市外国语学校2025-2026学年高二上学期2月期末测试数学试卷（含答案解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为
2. 从A，B，C，D，E这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有（ ）种.
3. 如图，在四面体中，，点满足，为中点，则（ ）

4. 两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（ ）
5. 如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为（ ）
6. 在展开式中的系数为（ ）
7. 已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（ ）
8. 一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有种.
二、多选题
9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
10. 棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，下列命题中正确的是（ ）
11. 高考数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有个选项，其中有个或个是正确选项，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分.若正确答案是个选项，只选对个得分，有选错的得分；若正确答案是个选项，只选对个得分，只选对个得分，有选错的得分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择个选项的得分，记为小明随机选择个选项的得分，则（ ）
三、填空题
12. 在的展开式中常数项是______．（用数字作答）
13. 已知椭圆的两个焦点分别为，，过椭圆上顶点A与左焦点的直线与椭圆的另一个交点为B，若是直角，则椭圆的离心率是______．
14. “素数”是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如2､3､都是素数；“孪生素数”是指相差为2的两个素数，例如都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对“孪生素数”；2013年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000万”，2014年陶哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”；现在某同学要从小于20的素数中取出4个，则取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率=__________.
四、解答题
15. 为了解某市高中学生喜爱打篮球是否与性别有关，从该市若干所学校的全部高中学生中随机抽取名学生进行调查．得到了如下的列联表：
(1)请完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜爱打篮球与性别有关．（单位：人）
(2)若将频率视作概率，从全市所有高中学生中随机抽取人进行调查，记人中喜爱打篮球的人数为，求的均值和方差．
附：，.
16. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形.边上存在一点，使平面，.若平面平面.
(1)求证：；
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
17. 已知双曲线的左、右顶点分别为，在上，．
(1)求的方程；
(2)过的直线交于另一点（异于），与轴交于点，直线与交于点，证明：直线过定点．
18. 在三棱锥中，，，与平面所成的角为．
(1)若，，如图，过点作平面，分别交，于点，．
①求证：平面；
②设，为平面内的动点，求周长的最小值．
(2)若，，求二面角的取值范围．
19. 《最强大脑》“脑王争霸”是节目中最激烈的高智商对抗环节，通常由往届擂主与多名挑战者进行多轮脑力对决．现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙．
(1)擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立．已知该擂主与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为．求该擂主连胜三局的概率．
(2)若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立．
（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值；
（ii）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．24
B．48
C．72
D．120
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．2
B．4
C．6
D．8
A．10
B．15
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．105
B．95
C．85
D．75
A．直线恒过点
B．圆与圆有两条公切线
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．当时，圆存在无数对点关于直线对称
A．三棱锥的体积与的取值无关
B．当时，点Q到直线AC的距离是
C．当时，
D．当时，过三点的平面截正方体所得截面的周长为
A．
B．
C．
D．
性别
打篮球
合计
不喜爱
喜爱
男生

女生


合计