江西省南昌县莲塘第一中学2024−2025学年高二下学期3月质量检测 数学试卷（含解析）

这是一份江西省南昌县莲塘第一中学2024−2025学年高二下学期3月质量检测 数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知数列，则是它的（ ）
A．第9项B．第10项C．第13项D．第12项
2．已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知在等差数列中，，则（ ）
A．18B．16C．20D．17
4．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（ ）
A．项B．项C．k项D．1项
5．数列中，，，则的值为（ ）
A．B．C．5D．
6．某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ）
A．元B．元C．元D．元
7．已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（ ）
A．B．C．D．
8．设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2025项之和为（ ）
A．4052B．4051C．4050D．4049
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．-30是等差数列-1，-5，-9，…的第8项
B．在等差数列中，公差，则数列单调递增
C．存在实数，，使1，，2，，4成等比数列
D．若等比数列的前n项和为，则，，成等比数列
10．已知数列是等差数列，为数列的前项和，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，数列的前10项和或前11项和最大，则等差数列的公差
B．若，，则使成立的最大的为4039
C．若，，则
D．若，，则
11．如图，在平面直角坐标系中，点均在x轴正半轴上，点均在y轴正半轴上.已知，，四边形均为长方形.当时，记为第个倒“L”形，则（ ）
A．第10个倒"L"形的面积为121
B．长方形的面积为
C．点均在曲线
D．不能被110整除
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知各项为正数的数列是等比数列，且其前n项和为.若，，则公比 .
13．已知数列满足，若对于任意都有，则实数a的取值范围是 .
14．已知数列满足.且，若，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知等差数列的公差为，是等比数列，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
16．已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前2024项和.
17．设是各项都为正数的递增数列，已知，且满足关系式，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)令，求数列的前项的和.
18．已知数列的前项和为，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和；
(3)若，求使取得最大值时的的值.
19．已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和．
(3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】数列，即数列的通项公式是，
令，所以是它的第13项.
故选C.
2．【答案】A
【详解】充分性：若对，，都有，
则令,得,即，因为为常数,所以数列为等差数列;
必要性:等差数列不一定满足,,,
例如:当等差数列通项公式为时,,,
此时,所以,,”是“数列为等差数列的充分不必要条件.
故选A
3．【答案】A
【详解】因为，所以，又，所以，所以．
故选A．
4．【答案】B
【详解】当时，不等式左边为，
当时，不等式左边为，
故增加的项数为：.
故选B.
5．【答案】D
【详解】在数列中，，
则，
因此数列是周期数列且周期为3，由，得，
所以.
故选D.
6．【答案】C
【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得：
第1次还款后欠银行贷款为，
第2次还款后欠银行贷款为，
…，
第12次还款后欠银行贷款为
，
因为贷款12个月还清，所以，即，
所以.
故选C.
7．【答案】B
【详解】，
由，得，解得或，
因为，所以当或时，，当时，，
所以当时，取得最小值.
故选B.
8．【答案】B
【详解】由，得，
所以数列为公差为2的等差数列，首项为，
，
则
，
，
又，当时，，故，
所以数列的前2025项之和为.
故选B.
9．【答案】BC
【详解】对于A项，易知等差数列的通项为，则，故A项错误；
对于B项，等差数列的公差，则数列是递增数列，故B项正确；
对于C项，若存在实数a，b，使得成等比数列，则，，解得，当同号时成等比数列，故C项正确；
对于D项，设的公比为.
当时，有，不满足等比数列，故D项错误.
故选BC.
10．【答案】BCD
【详解】对于A，由，前10项和或前11项和最大，则，所以，，故A错误；
对于B，由，，则数列单调递减，且，
，所以，
，，则使得成立的最大的为4039，故B正确；
对于C，由，解得，，
，故C正确；
对于D，因为成等差数列，即成等差数列，
所以，解得，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】ABC
【详解】设长方形的面积为，，
因，，
则，故B正确；
则第个倒“L”形的面积为，故A正确；
由，得，则C正确；
，而，则D错误；
故选ABC.
12．【答案】2
【详解】若，，则，
，
所以，由，解得.
13．【答案】
【详解】对任意的，都有，
数列单调递减，可知.
当时，若，单调递减，
而时，单调递减，
只需，解得，；
当时，若，单调递增，应舍去.
综上所述，实数a的取值范围是.
14．【答案】
【详解】因为，所以，
又，则，
所以
，
故，则，
所以，
则的各项分别为，
所以
.
15．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）设的公比为．
因为，所以，故．
又，所以．
（2）记和的前项和分别为，，则．
又，
，
所以．
16．【答案】(1)；
(2)1012.
【详解】（1）因为点均在函数的图象上，
所以，当时，，即，
当时，
，
因为满足上式，
所以；
（2）因为，
所以，
因为，所以，
所以
①，
又
②，
①+②可得，
所以.
17．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）由是各项都为正数的递增数列，得，
而，则，整理得，
因此，所以数列是等差数列.
（2）由（1）知，，
则，
，
所以
.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)或
【详解】（1）由得，则，
整理得，
当时，，的，
所以数列是等比数列，公比为.
（2）由（1）得，则，
.
（3），
当时，令，解得，
所以当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以，即，
综上可得，当或时，取得最大值.
19．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）∵①，
当时，②，
①②，得．
所以，
当时，，满足上式，
所以的通项公式为．
（2）由（1）知，得，
则③，
④，
③④得，
所以．
（3）得，
又因为
当为奇数时，由对任意的恒成立，得
，即
当为偶数时，由对任意的恒成立，得
，即，
所以.