江西省南昌市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 某书架的第一层放有 7 本不同的历史书，第二层放有 6 本不同的地理书.从这些书中任取 1 本历史书和 1
本地理书，不同的取法有（ ）
A. 13 种 B. 42 种 C. 种 D. 种
2. 已知直线 与直线 平行，则 （ ）
A. 1 B. 3 C. 1 或 D. 或 3
3. 若直线 与圆 只有一个公共点，则 （ ）
A. B. 1 C. 0 D. 2
4. 某农业科学院培育脐橙新品种，新培育 脐橙单果质量 （单位：g）近似服从正态分布 ，
现有该新品种脐橙 10000 个，估计单果质量不低于 150g 的脐橙个数为（ ）
附：若 ，则 ， ，
.
A 8413 B. 9772 C. 9974 D. 9987
5. 小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫
芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6. 已知 为坐标原点，双曲线 右焦点为 F，点 在 C 的渐近线上，过点
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F 作 ，垂足为 ， ，则 C 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 小明参加户外植树活动，种植了 A，B 两种树苗各 5 棵，A 种树苗的成活率为 0.8，B 种树苗的成活率为
0.6，记 A，B 两种树苗最终成活的棵数分别为 ， ，则 （ ）
注：设 X，Y 为两个随机变量，则有 .
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8. 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 是 菱 形 ， ， ， E 是 上 一 点 ， 且
， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D. 2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得分分，有选错的得 0 分.
9. 由一组样本数据 ，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为
，记 ， ，则下面说法正确的是（ ）
A. 直线 至少经过点 中的一个点
B. 直线 必经过点
C. 样本相关系数 与回归系数 同号
D. 对样本相关系数 ， 越大，两个变量之间的线性相关性越强
10. 如图，在八面体 中， ， ， ， 均是边长为 4 的正三角形，且
平面 ， ， 均垂直于底面 ，下列结论正确的是（ ）
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A. B. 为正三角形
C. 点 到平面 的距离为 2 D. 直线 与直线 所成角的余弦值为
11. 已知 A，B 分别为椭圆 ： 的左、右顶点，D 为 C 的上顶点， 为坐标原点，E
为 C 上一点，且位于第二象限，过点 E 作 轴，垂足为 M，直线 ， 分别与 y 轴交于点 H，G，
则下列结论正确的是（ ）
A. 若 D 是 的中点，则
B. 若 M 是 C 的左焦点，则 G 是 的中点
C.
D. 若 M 是 的中点，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 展开式中 的系数为________.
13. 已知抛物线 C： 的焦点为 F，P 在 C 上，若以 为直径的圆与 x 轴相切于点 ，则
________.
14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲 卡片上分别标有数字 1，1，3，3，乙的卡
片上分别标有数字 2，2，4，4，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选
一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的
卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则甲在第一轮比赛中得 1 分的概率为_________，甲的总得
分为 1 的概率为_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 袋中装有 12 个大小相同的球，其中红球 2 个，黄球 3 个，白球 7 个，从中随机取出 3 个球.
（1）求取出的 3 个球中有 2 个白球的概率；
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（2）设 X 表示取到的红球个数，求 X 的分布列与数学期望.
16. 为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果（单位：人）：
患病情况 患 不 患
服用情况 病 病
服用中药预防方 10 90
不 服 用 中 药 预 防
50 50 方
（1）该中药预防方对预防该种疾病是否有效?
（2）从参与该实验的人中任选一人，A 表示事件“选到的人服用中药预防方”，B 表示事件“选到的人患病”.
利用该调查数据，求 ， 的值.
附： ，其中 .
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
17. 如图，在三棱锥 中， 是边长为 2 的正三角形， 平面 ， ，点 为
上的动点.
（1）求三棱锥 的体积；
（2）当 最小时，求平面 与平面 所成角的余弦值.
18. 甲、乙 2 名同学最近 100 次的投篮情况如下：
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甲 乙
投中 50 60
未投中 50 40
用频率估计概率，解答下列问题．
（1）若从甲、乙 2 人中随机选择 1 人投篮 1 次，求投中的概率．
（2）设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投．规定：若其中一人比另一个人多投
中 2 次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第
二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了 5 次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则
平局．甲、乙每次投中与否相互独立．
①求甲投了第 3 次后停止比赛的概率；
②求乙投了第 4 次后停止比赛 概率．
19. 已知 为坐标原点，椭圆 ： 的左顶点为 A，右焦点为 F，点 B 在 C 上，且
， ，直线 与直线 的斜率之比为 3.
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过点 F 的直线 ， 分别与 C 交于点 D，E 和点 M，N，若 P，Q 分别为线段 和 的中点，当
直线 ， 的斜率之积为 时，求 的面积的最大值.
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