江西南昌市外国语学校2025-2026学年高二上学期2月期末测试数学试卷含答案

这是一份江西南昌市外国语学校2025-2026学年高二上学期2月期末测试数学试卷含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52，则C的渐近线方程为
A．y=±14xB．y=±13x
C．y=±12xD．y=±x
2．从A，B，C，D，E这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有（ ）种．
A．24B．48C．72D．120
3．如图，在四面体P−ABC中，PA→=a，PB→=b，PC→=c，点M满足AM→=2MB→，N为PC中点，则MN→=（ ）
A．12a+12b+cB．12a−23b+12c
C．−13a−23b+12cD．23a+13b−12c
4．两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A=“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件B=“两位游客选择的景点不同”，则P(B|A)=（ ）
A．67B．78
C．89D．910
5．如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l（斜率为正）交抛物线于点M，N两点（其中点M在第一象限），交其准线于点P，若|PN||NF|=3，|MF|=6，则F到抛物线的准线的距离为（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．在(x2−1)(x−2)(x−3)(x2−4)(x−5)展开式中x6的系数为（ ）
A．10B．15
C．−10D．−15
7．已知球O是正三棱锥P−ABC的外接球，AB=3，PA=5，AE→=13EB→，过点E作球O的截面，若截面面积为1316π，则直线OE与该截面所成的角为（ ）
A．π6B．π4
C．π3D．π2
8．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有种.
A．105B．95C．85D．75
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）．
9．已知直线l:kx−y−k=0，圆M:(x−2)2+(y−1)2=4，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过点(1,0)
B．圆M与圆C:x2+y2=1有两条公切线
C．直线l被圆M截得的最短弦长为23
D．当k=1时，圆M存在无数对点关于直线l对称
10．棱长为1的正方体A1B1C1D1−ABCD中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且D1Q→=λD1A1→，λ∈[0,1]，N为线段AQ的中点，下列命题中正确的是（ ）
A．三棱锥A−DMN的体积与λ的取值无关
B．当λ=12时，点Q到直线AC的距离是324
C．当λ=14时，AM→·QM→=0
D．当λ=13时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为42+2133
11．高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是23，记X为小明随机选择1个选项的得分，记Y为小明随机选择2个选项的得分，则（ ）
A．P(X=3)=P(Y=4)+P(Y=6)B．E(Y)b>0)的两个焦点分别为F1，F2，过椭圆上顶点A与左焦点F1的直线与椭圆的另一个交点为B，若∠AF2B是直角，则椭圆的离心率是 ．
14．“素数”是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如2，3，5……都是素数；“孪生素数”是指相差为2的两个素数，例如(3,5)，(5,7)，(11,13)……都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对“孪生素数”；2013年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000万”，2014年陶哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”；现在某同学要从小于20的素
数中取出4个，则取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率= ______.
四、解答题（第15题13分，第16题、17题15分，第18题、19题17分）
15. 为了解某市高中学生喜爱打篮球是否与性别有关，从该市若干所学校的全部高中学生中随机抽取100名学生进行调查．得到了如下的2×2列联表：
(1)请完成上面的2×2列联表，依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为学生喜爱打篮球与性别有关．(单位：人)
（2）若将频率视作概率，从全市所有高中学生中随机抽取40人进行调查，记40人中喜爱打篮球的人数为Y，求Y的均值和方差．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
16. 如图，在三棱锥P−ABC中，∆PAB是边长为2的正三角形.边AB上存在一点O，使PO⊥平面ABC，CO=32.若平面POC⊥平面PAC．
（1）求证：AC⊥OC；
（2）求平面BPC与平面APC所成角的余弦值.
17. 已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A，B，M(5,4)在E上，MA→·MB→=32。
（1）求E的方程；
（2）过M的直线l交E于另一点N（异于A，B），与x轴交于点G，直线NA与MB交于点H，证明：直线GH过定点。
18. 在三棱锥P−BCD中，CB⊥CD，CD=2CB=2，PB与平面BCD所成的角为θ。
（1）若θ=90°，∠BPC=30°，如图，过点B作平面BEF⊥PD，分别交PC，PD于点E，F。
①求证：BE⊥平面PCD；
②设BG→=2GC→，H为平面BEF内的动点，求∆CGH周长的最小值。
（2）若θ=60°，PB=1，求二面角P−CD−B的取值范围。
19. 《最强大脑》“脑王争霸”是节目中最激烈的高智商对抗环节，通常由往届擂主与多名挑战者进行多轮脑力对决。现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙。
（1）擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立。已知该擂主与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为12，13，14，求该擂主连胜三局的概率。
（2）若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛。已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，且每局比赛结果相互独立。
（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值；
（ii）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件M，证明：P(M)=α2α2+β2。
1.C
2.C
3.C
4.C
5．B
6．C
7．C
8.A
9．ABD
10．ABD
11．BCD
12．14
13．55
14．47
15.（1）列联表如下：
零假设H0：学生喜爱打篮球与性别无关，
根据列联表数据，计算得到χ2=100×(25×10−45×20)270×30×45×55≈8.129>6.635，
依据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即学生喜爱打篮球与性别有关．
（2）喜欢打篮球的概率为P=55100=0.55，从全市所有高中学生中随机抽取40人进行调查，
记40人中喜爱打篮球的人数为Y，则Y服从二项分布Y∼B(40,0.55)，
则Y的均值：E(Y)=np=40×0.55=22，
Y的方差：D(Y)=np(1−p)=40×0.55×(1−0.55)=9.9．
16．（1）过O作OD⊥PC于D，
因为平面POC⊥平面PAC，平面POC∩平面PAC=PC，OD⊥PC，OD⊂平面POC，
所以OD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，所以OD⊥AC．
又PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PO⊥AC。
因为PO⊂平面POC，OD⊂平面POC，PO∩OD=O，
所以AC⊥平面POC，又OC⊂平面POC，
所以AC⊥OC。
（2）以C为坐标原点，以CA，CO所在的直线为x，y轴，以过C作OP的平行线为z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
C(0,0,0)，P0,32,3，A12,0,0，B−12,3,0，
则CP→=0,32,3，CA→=12,0,0，CB→=−12,3,0，
设平面PAC的法向量n→=(x,y,z)，
则{n→⋅CP→=0n→⋅CA→=0，即{32y+3z=012x=0，令z=1，则n→=(0,−2,1)，
设平面PBC的法向量m→=(x',y',z')，
则{m→⋅CP→=0m→⋅CB→=0，即{32y′+3z′=0−12x′+3y′=0，令y'=2，则m→=(43,2,−1)，
设平面BPC与平面APC所成角为θ，
csθ=|cs⟨m→，n→⟩|=|m→·n→||m→||n→|=|43×0+2×(−2)+(−1)×1|(43)2+22+(−1)2·02+(−2)2+12=553·5=26553。
所以平面BPC与平面APC所成角的余弦值26553。
17.（1）∵M(5,4)在E上，∴25a2−16b2=1．①
∵A(−a,0)，B(a,0)，∴MA→=(−a−5,−4)，MB→=(a−5,−4)，
∴MA→·MB→=41−a2=32，②
由①②解得a=3，b=3，故E的方程为x29−y29=1．
（2）解法一：设直线NA的方程为x=my−3，直线MB的方程为y=2x−6，
联立{x=my−3,y=2x−6,得H6m+32m−1,122m−1．
联立{x=my−3,x2−y2=9,消去x，整理得(m2−1)y2−6my=0，
∴yN=6mm2−1，xN=3m2+3m2−1，即N3m2+3m2−1,6mm2−1．
∴直线MN的斜率为6mm2−1−43m2+3m2−1−5=2m+1m+2，∴直线MN的方程为y=2m+1m+2(x−5)+4．
令y=0，得x=6m−32m+1，即G6m−32m+1,0．
∴直线GH的斜率为122m−1−06m+32m−1−6m−32m+1=2m+12m，∴直线GH的方程为y=2m+12mx−6m−32m+1，
即2m(x−y−3)+x+3=0．
由{x−y−3=0,x+3=0,解得x=−3，y=−6，
故直线GH过定点(−3,−6)．
解法二：同法一，得H(6m+32m−1,122m−1)，G(6m−32m+1,0)，
设直线GH过定点T(x0,y0)，则GT→∥HT→．
又GT→=(x0−6m−32m+1,y0)，HT→=(x0−6m+32m−1,y0−122m−1)，
∴x0−6m+32m−1y0=x0−6m−32m+1y0−122m−1，
整理得2m(x0−y0−3)+x0+3=0．
由{x0+3,x0−y0−3=0,解得x0=−3，y0=−6．故直线GH过定点(−3,−6)．
解法三：①当直线l斜率存在时，设l的方程为y=k(x−5)+4(k≠0)，则G5k−4k,0．
由直线MB的斜率为4−05−3=2得k≠2．
联立{y=k(x−5)+4x2−y2=9,消去y，整理得(k2−1)x2+(8k−10k2)x+25k2−40k+25=0，
∴5xN=25k2−40k+25k2−1，yN=k(xN−5)+4，∴N5k2−8k+5k2−1,−4k2+10k−4k2−1，
∴直线NA的斜率为−4k2+10k−4k2−15k2−8k+5k2−1+3=k−22k−1，∴直线NA的方程为y=−k−22k−1(x+3)．
联立{y=−k−22k−1(x+3)y=2x−6,得H9k5k−4,24−12k5k−4．
∴直线GH的斜率为24−12k5k−4−9k5k−45k−4k−5k−4k=3k4k−2，∴直线GH的方程为y−9k5k−4=3k4k−2x−5k−4k，
即(3x−4y−15)k+2y+12=0．由{3x−4y−15=02y+12=0,得x=−3，y=−6．
②当直线l斜率不存在时，N(5,−4)，G(5,0)，H(95,−125)，直线GH的方程为y=34(x−5)，
代入x=−3得y=−6，故直线GH过定点(−3,−6)．
综上，直线GH过定点(−3,−6)．
显然GH过点(−3,−6)．
综上所述，直线GH过定点(−3,−6)．
18．
（1）（i）由PD⊥平面BEF，BE⊂平面BEF，得PD⊥BE，
由θ=90°，得PB⊥平面BCD，而CD⊂平面BCD，则PB⊥CD，
又CB⊥CD，CB∩PB=B，CB，PB⊂平面PBC，则CD⊥平面PBC，
又BE⊂平面PBC，则CD⊥BE，而PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，
所以BE⊥平面PCD；
（ii）由CD=2CB=2，得CD=2，CB=1，BG→=2GC→，则CG=13，
过点C作CM∥PB，以C为坐标原点，CB，CD，CM所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直
角坐标系，
由∠BPC=30°，得∠PCB=60°，PC=2BC=2，PB=3BC=3，
则G(13,0,0)，P(1,0,3)，D(0,2,0)，B(1,0,0)，DP→=(1,−2,3)，
则平面BEF的一个法向量为DP→=(1,−2,3)，
设C点关于平面BEF对称的点为C'(x,y,z)，则CH=C'H，
CH+GH=C'H+GH，要C'H+GH最小，则需C'，G，H三点共线，
此时C'H+GH的最小值为GC'的长，其中CC'→=λDP→(0