备战2024年高考数学二轮复习专题03正态分布(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题03正态分布(原卷版+解析)，共45页。试卷主要包含了正态分布等内容，欢迎下载使用。
常见考点
考点一 正态分布
典例1．为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图：
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组的数据用该组区间中点值代表)；
(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且利用直方图得到的正态分布，求；
②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z的均值.
参考数据：，若，则.
变式1-1．为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知，.
(1)若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率；
(2)从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下.
为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.
变式1-2．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000，上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000，标准差为50的正态分布.
(1)已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.利用该结论解决下面问题.
（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求；
（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上，并经计算25个面包质量的平均值为.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；
(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.
附：
①随机变量服从正态分布，则，；
②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
变式1-3．在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．奉节县种植的某品种脐橙果实按果径X（单位：mm）的大小分级，其中为一级果，为特级果，一级果与特级果统称为优品．现采摘了一大批此品种脐橙果实，从中随机抽取1000个测量果径，得到频率分布直方图如下：
(1)由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径X服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本标准差s，已知样本的方差的近似值为100．若从这批脐橙果实中任取一个，求取到的果实为优品的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)这批采摘的脐橙按2个特级果和n（，且）个一级果为一箱的规格进行包装，再经过质检方可进入市场．质检员质检时从每箱中随机取出两个果实进行检验，若取到的两个果实等级相同，则该箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”．
①试用含n的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p；
②设抽检的5箱脐橙中恰有3箱被记为“异”的概率为，求函数的最大值，及取最大值时n的值．
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
典例2．某单位招聘工作人员，报考人员需参加笔试和面试，笔试通过后才能参加面试.已知某市2021年共有10000人参加笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为120分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
(1)假定笔试成绩不低于100分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；
(2)由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于108.4的人数.（结果四舍五入精确到个位）
(3)考生甲已通过笔试，他在面试中要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得2分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得3分，答错得0分.已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望.
（参考数据：；若，则，，.）
变式2-1．某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示：
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）
(1)由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得，记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间之外的个数，求及X的数学期望（精确到0.001）；
(2)已知每个产品的质量指标值k与利润y（单位：万元）的关系如下表所示
假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.
参考数据：若随机变量，则，.
变式2-2．2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间 (单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差 (同一组的数据用该组区间中点值代表)；
(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且.利用直方图得到的正态分布，求．
②从该高校的学生中随机抽取20名，记表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求(结果精确到)以及的均值．
参考数据：，.若，则.
变式2-3．在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如下表所示：
(1)由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这人得分的平均值．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求；
(2)在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率如下表所示：
现有市民甲参加此次问卷调查，记 (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.
(附：参考数据：①；②；③若，则，，．
巩固练习
练习一 正态分布
1．为建设粤港澳大湾区教育高地，办人民满意的教育，深入推进基础教育课堂教学改革，某高中为了提升教育质量，探索了一种课堂教学改进项目．某研究机构为了解实施新项目后的教学效果，通过随机抽样调查了该校某年级100位学生，对这些学生的课堂测试成绩进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)若这些学生课堂测试成绩的分数X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），求；
(2)为做进一步了解，研究机构采用分层抽样的方法从课堂测试成绩位于分组，，的学生中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到分数位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则；；．
2．体育课程的实施可以有效地促进学生身体的正常发育，提高身体的健康水平.某校对高一年男生进行1000米测试，经对随机抽取的100名学生的成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图：
(1)从这100名学生中，任意选取2人，求两人测试成绩都低于60分的概率；
(2)从该校所有高一年男生中任意选取3人，记70分以上的人数为.求的分布列和期望；
(3)从样本频率分布直方图中发现该校男生的1000米成绩近似服从，已知样本方差，高一年男生共有1000人，试预估该校高一年男生1000米成绩在89.2分以上的人数.
附：.若，则，.
3．根据我国国家统计局的数据显示，2020年12月份，中国制造业采购经理指数（PMI）为50.3%，比上月上升0.2个百分点.以新能源汽车、机器人、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业为评估某设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算， ，以频率值作为概率的估计值，解决以下问题：
(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）：①；②；③．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足①②，不满足③，则等级为乙；若仅满足①，不满足②③，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级；
(2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品，
①从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；
②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的分布列和数学期望．
4．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” .某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20~9：40记作区间，9：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：10点04分，记作时刻64.
(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9：20~10：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望；
(3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布，其中可用这600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.
参考数据：若，则，，.
5．为了深入贯彻党的十九大和十九届五中全会精神，坚持以新时代中国特色社会主义思想为指导，落实立德树人根本任务，着眼建设高质量教育体系，强化学校教育主阵地作用，深化校外培训机构治理，构建教育良好生态，有效缓解家长焦虑情绪，促进学生全面发展、健康成长．教育部门最近出台了“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）．“双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2020年的前200名报名学员消费等情况进行了统计整理，其中消费情况数据如表．
(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；
(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2020年所有学员的消费可视为服从正态分布，，分别为报名前200名学员消费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）．
（ⅰ）试估计该机构学员2020年消费金额为的概率（保留一位小数）；
（ⅱ）若从该机构2020年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的分布列及方差．
参考数据：；若随机变量服从正态分布，则，，．
6．自年秋季学期开始中小学全面落实“双减”工作，为使广大教育工作者充分认识“双减”工作的重大意义，某地区教育行政部门举办了一次线上答卷活动，从中抽取了名教育工作者的答卷，得分情况统计如下（满分：分）．
名教育工作者答卷得分频数分布表
(1)若这名教育工作者答卷得分服从正态分布（其中用样本数据的均值表示，用样本数据的方差表示），求；
(2)若以这名教育工作者答卷得分估计全区教育工作者的答卷得分，则从全区所有教育工作者中任意选取人的答卷得分，记为这人的答卷得分不低于分且低于分的人数，试求的分布列和数学期望和方差．
参考数据：，，，．
7．某科研小组开发了A，B两系列的水稻种子，其中A系列水稻种子包含5个品种，B系列水稻种子包含7个品种，现从12个品种中任选4个品种进行试验，设随机变量X表示其中A系列中被选中的品种数量．
(1)求X的分布列和期望；
(2)现从A，B两个系列中各选定一个品种进行对照试验，根据试验数据得，在相同条件下，A系列品种的种子产量高于B系列品种的种子产量的概率为，记5次试验中A系列品种的种子产量高于B系列品种的种子产量的次数为Y．
（ⅰ）求；
（ⅱ）记表示A系列种子每穗的水稻重量，由经验可得，求．
（若X服从正态分布，则，，）
8．某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分120分．现从全市学生中随机抽查了10名学生的成绩，分别为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97．
(1)已知10名学生的平均成绩为88，计算其中位数和方差；
(2)已知全市学生学习成绩分布服从正态分布，某校实验班学生30人．
①依据（1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在的学生人数（结果四舍五入取整数）；
②为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在的学生参加预选赛，若每个学生通过预选赛的概率为，用随机变量X表示通过预选赛的人数，求X的分布列和数学期望．（正态分布参考数据：，）
重量范围（单位：）
个数
笔试成绩X
人数
5
10
30
35
15
5
质量指标值
频数
16
30
40
10
4
质量指标值k
利润y
t
组别
频数
赠送话费的金额(元)
概率
直径/mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
消费金额（千元）
人数
30
50
60
20
30
10
分组
频数
合计
第四篇 概率与统计
专题03 正态分布
常见考点
考点一 正态分布
典例1．为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图：
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组的数据用该组区间中点值代表)；
(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且利用直方图得到的正态分布，求；
②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z的均值.
参考数据：，若，则.
【答案】(1)，；
(2)①；②.
【解析】
【分析】
(1)利用频率分布直方图计算平均数和方差的方法直接计算作答.
(2)①利用给定公式直接计算；②利用①的结论结合二项分布的期望公式计算作答.
(1)
根据频率分布直方图知，阅读时间在区间
内的频率分别为，
，
，
所以样本平均数和样本方差分别为9，1.78.
(2)
①由题意知，，则有，
，，
②由①知，可得，
所以Z的均值.
变式1-1．为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知，.
(1)若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率；
(2)从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下.
为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(1)；
(2)分布列答案见解析，数学期望为.
【解析】
【分析】
（1）利用正态密度曲线的对称性结合已知条件可求得的值；
（2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.
(1)
解：已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，
由正态分布的对称性可知，
，
所以从苹果园中随机采摘个苹果，该苹果的重量在内的概率为.
(2)
解：由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，
，；，
所以，随机变量的分布列为：
所以.
变式1-2．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000，上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000，标准差为50的正态分布.
(1)已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.利用该结论解决下面问题.
（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求；
（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上，并经计算25个面包质量的平均值为.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；
(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.
附：
①随机变量服从正态分布，则，；
②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析.
(2)
【解析】
【分析】
（1）（i）由正太分布的对称性及原则进行求解；（ii）结合第一问求解的概率及小概率事件进行说明；（2）设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0,1,2,求出相应的概率，进而求出分布列及数学期望.
(1)
（i）因为，所以，因为，所以，因为，所以；
（ii）由第一问知，庞加莱计算25个面包质量的平均值为，，而，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包师的理由；
(2)
设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0,1,2,
则；，，故分布列为：
其中数学期望
变式1-3．在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．奉节县种植的某品种脐橙果实按果径X（单位：mm）的大小分级，其中为一级果，为特级果，一级果与特级果统称为优品．现采摘了一大批此品种脐橙果实，从中随机抽取1000个测量果径，得到频率分布直方图如下：
(1)由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径X服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本标准差s，已知样本的方差的近似值为100．若从这批脐橙果实中任取一个，求取到的果实为优品的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)这批采摘的脐橙按2个特级果和n（，且）个一级果为一箱的规格进行包装，再经过质检方可进入市场．质检员质检时从每箱中随机取出两个果实进行检验，若取到的两个果实等级相同，则该箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”．
①试用含n的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p；
②设抽检的5箱脐橙中恰有3箱被记为“异”的概率为，求函数的最大值，及取最大值时n的值．
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
【答案】(1)
(2)① ；②；
【解析】
【分析】
（1）先求出平均数，然后利用正态分布的对称性和原则进行求解；
（2）①先表达出抽检的某箱脐橙被记为“同”的概率，再求出相应的概率；②表达出，利用导函数求出时，取得最大值，进而求出此时n的值.
(1)
由分布图：
则，在内为优品
则
(2)
①
②，且，
因为，且，由对勾函数知识可知：在上单调递减，当时，，所以，
因为，且
当时，，当时，，当时，，
∴最大值在时取得，可求得或，因为，所以，
求得
典例2．某单位招聘工作人员，报考人员需参加笔试和面试，笔试通过后才能参加面试.已知某市2021年共有10000人参加笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为120分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
(1)假定笔试成绩不低于100分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；
(2)由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于108.4的人数.（结果四舍五入精确到个位）
(3)考生甲已通过笔试，他在面试中要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得2分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得3分，答错得0分.已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望.
（参考数据：；若，则，，.）
【答案】(1)
(2)228人
(3)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）由得出所求概率；
（2）由频数分布表的数据计算出，再由正态分布的性质得出，再估计该市全体考生笔试成绩不低于108.4分的人数；
（3）先求出考生甲的总得分Y的所有可能取值，再计算相应的概率，列出分布列计算期望即可.
(1)
由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共20人，其中成绩优秀5人.
∴.
(2)
由表格数据知，
，
又，∴
∴.
由此可估计该市全体考生笔试成绩不低于108.4分的人数为人.
(3)
考生甲的总得分Y的所有可能取值为0，2，3，4，5，7.
，，
，，
，，
Y的分布列为：
.
变式2-1．某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示：
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）
(1)由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得，记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间之外的个数，求及X的数学期望（精确到0.001）；
(2)已知每个产品的质量指标值k与利润y（单位：万元）的关系如下表所示
假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.
参考数据：若随机变量，则，.
【答案】(1)；
(2)能，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先求出样本的平均数，然后根据正态分布求出质量指标k在区间之内的概率，从而得到质量指标k在区间之外的概率；然后根据二项分布即可求出答案.
（2）首先求出每件产品的平均利润，然后再求平均利润的最大值，从而可求出该生产线的年盈利的最大值，把年利润的最大值与进行比较即可得出答案.
(1)
由题意知，样本的平均数为，
所以，
.
所以质量指标k在区间之外的概率为.
因为，
则，
所以.
(2)
由题意知，每件产品的平均利润为，，
易知函数的对称轴为，且二次函数开口向下，
所以当时，取得最大值，且
因为该生产线的年产量为100万个，
所以该生产线的年盈利的最大值为万元，因为845500，
所以该厂能在一年之内通过销售该产品收回投资.
变式2-2．2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间 (单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差 (同一组的数据用该组区间中点值代表)；
(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且.利用直方图得到的正态分布，求．
②从该高校的学生中随机抽取20名，记表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求(结果精确到)以及的均值．
参考数据：，.若，则.
【答案】(1)；.
(2)①；②；.
【解析】
【分析】
（1）代入公式计算均值和方差即可；（2）①由题意可得，再代入所给的转化公式求解概率；②计算，得到变量服从二项分布，利用二项分布的概率计算公式以及期望计算公式求解.
(1)
，
(2)
①由题意知，，∴．
，.
②由①知，
可得，

.
【点睛】
解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴；(2)标准差；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由，，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为.
变式2-3．在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如下表所示：
(1)由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这人得分的平均值．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求；
(2)在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率如下表所示：
现有市民甲参加此次问卷调查，记 (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.
(附：参考数据：①；②；③若，则，，．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）计算均值即可得，由正态分布，得，根据原则计算；（2）计算，根据题意判断获赠话费的可能取值，分别计算对应的概率，列出分布列并计算期望.
(1)
由题意得，
，，
(2)
由题意知，，
获赠话费的可能取值为，
，，，
，，
则的分布列如表所示：
【点睛】
求解正态分布问题时，注意计算出，然后对照原则代入求解对应的概率.
巩固练习
练习一 正态分布
1．为建设粤港澳大湾区教育高地，办人民满意的教育，深入推进基础教育课堂教学改革，某高中为了提升教育质量，探索了一种课堂教学改进项目．某研究机构为了解实施新项目后的教学效果，通过随机抽样调查了该校某年级100位学生，对这些学生的课堂测试成绩进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)若这些学生课堂测试成绩的分数X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），求；
(2)为做进一步了解，研究机构采用分层抽样的方法从课堂测试成绩位于分组，，的学生中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到分数位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则；；．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
【解析】
【分析】
（1）先按照直方图平均数的定义求出平均数，然后按照正态分布的规律计算即可；
（2）按照抽样的人数关系，计算出 的可能取值，对于每一个取值，
用组合的方法算出其概率即可.
(1)
根据频率分布直方图得：
，
由题意知，
；
(2)
由于，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为0、1、2、3，
，，
，，
的分布列为：
∴．
2．体育课程的实施可以有效地促进学生身体的正常发育，提高身体的健康水平.某校对高一年男生进行1000米测试，经对随机抽取的100名学生的成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图：
(1)从这100名学生中，任意选取2人，求两人测试成绩都低于60分的概率；
(2)从该校所有高一年男生中任意选取3人，记70分以上的人数为.求的分布列和期望；
(3)从样本频率分布直方图中发现该校男生的1000米成绩近似服从，已知样本方差，高一年男生共有1000人，试预估该校高一年男生1000米成绩在89.2分以上的人数.
附：.若，则，.
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用频率分布图可求成绩低于60的人数的频率，从而可得相应的人数.
（2）利用二项分布可求的分布列.
（3）先根据频率分布直方图求出，再根据题设给出的数据可求一名学生成绩在89.2分以上的概率，从而可求得相应的人数.
(1)
这100名学生中，成绩低于60的人数为，
故两人测试成绩都低于60分的概率为.
(2)
从该校所有高一年男生中任意取一人，
其成绩70分以上的概率为，
若70分以上的人数为，则，
故，，
，
.
故的分布列为：
.
(3)
由频率分布直方图可得
.
故，
故预估该校高一年男生1000米成绩在89.2分以上的人数为.
3．根据我国国家统计局的数据显示，2020年12月份，中国制造业采购经理指数（PMI）为50.3%，比上月上升0.2个百分点.以新能源汽车、机器人、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业为评估某设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算， ，以频率值作为概率的估计值，解决以下问题：
(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）：①；②；③．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足①②，不满足③，则等级为乙；若仅满足①，不满足②③，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级；
(2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品，
①从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；
②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的分布列和数学期望．
【答案】(1)性能等级为丙
(2)①；②分布列见解析，数学期望
【解析】
【分析】
(1)根据表格中的数据可得求出、和
，结合题意即可得出结论；
(2)根据二项分布即可求出，根据超几何分布可得的分布列，进而求出即可.
(1)
由表格可知
因为设备的数据仅满足不等式①，故其性能等级为丙.
(2)
易知样本中次品共6件，可估计设备生产零件的次品率为0.06.
由题意可知～，于是，
2Z可能的取值为，
；；
由题意可知的分布列为
故.
4．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” .某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20~9：40记作区间，9：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：10点04分，记作时刻64.
(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9：20~10：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望；
(3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布，其中可用这600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.
参考数据：若，则，，.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【解析】
【分析】
（1）将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．
（2）抽样比为，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量的所有可能的取值，计算出每个对应的概率，列分布列，求期望即可．
（3）根据频率分布直方图估计出方差，再结合（1）求出的期望，得到，再根据其对称性处理即可．
(1)
解：这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即
(2)
解：结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在前通过的车辆数就是位于时间分组中在，这一区间内的车辆数，即，所以的可能的取值为0，1，2，3，4．
所以，，，，，
所以的分布列为：
所以．
(3)
由（1）得，
，
所以，估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数，
由，，得，
所以估计在在之间通过的车辆数为辆．
5．为了深入贯彻党的十九大和十九届五中全会精神，坚持以新时代中国特色社会主义思想为指导，落实立德树人根本任务，着眼建设高质量教育体系，强化学校教育主阵地作用，深化校外培训机构治理，构建教育良好生态，有效缓解家长焦虑情绪，促进学生全面发展、健康成长．教育部门最近出台了“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）．“双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2020年的前200名报名学员消费等情况进行了统计整理，其中消费情况数据如表．
(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；
(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2020年所有学员的消费可视为服从正态分布，，分别为报名前200名学员消费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）．
（ⅰ）试估计该机构学员2020年消费金额为的概率（保留一位小数）；
（ⅱ）若从该机构2020年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的分布列及方差．
参考数据：；若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）根据分层抽样分别求出消费金额为和抽取的人数，求出随机变量的可能取值，分别求出相应概率，进而求得分布列和数学期望；
（2）（ⅰ）求出，的值，结合正态分布求出概率；
（ⅱ）由（ⅰ）求出二项分布的分布列及方差.
(1)
解：由题意得，抽中的5人中消费金额为的人数为，
消费金额为的人数为，
设消费金额为的人数为，则，
所以，，，
的分布列为
则；
(2)
解：（ⅰ）由题意得
，
所以，
所以；
（ⅱ）由题意及（ⅰ）得，
所以，，
，，
，
的分布列为
．
6．自年秋季学期开始中小学全面落实“双减”工作，为使广大教育工作者充分认识“双减”工作的重大意义，某地区教育行政部门举办了一次线上答卷活动，从中抽取了名教育工作者的答卷，得分情况统计如下（满分：分）．
名教育工作者答卷得分频数分布表
(1)若这名教育工作者答卷得分服从正态分布（其中用样本数据的均值表示，用样本数据的方差表示），求；
(2)若以这名教育工作者答卷得分估计全区教育工作者的答卷得分，则从全区所有教育工作者中任意选取人的答卷得分，记为这人的答卷得分不低于分且低于分的人数，试求的分布列和数学期望和方差．
参考数据：，，，．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，，
【解析】
【分析】
（1）首先根据频数分布表求样本数据的平均数和方差，然后利用正态分布的对称性和原则求得概率；
（2）先求出在一次试验中事件发生的概率，确定的所有可能取值，利用独立重复试验的概率公式分别求出每个取值的概率，从而得到分布列，最后利用二项分布的数学期望和方差公式求解．
(1)
解：由频数分布表可知，，
，
所以，，所以．
因为，则，，
所以，
.
(2)
解：从这名教育工作者中任意选取一名，其答卷得分不低于分且低于分的概率为．
由题意知，，则，，
，，
所以的分布列为
所以，.
7．某科研小组开发了A，B两系列的水稻种子，其中A系列水稻种子包含5个品种，B系列水稻种子包含7个品种，现从12个品种中任选4个品种进行试验，设随机变量X表示其中A系列中被选中的品种数量．
(1)求X的分布列和期望；
(2)现从A，B两个系列中各选定一个品种进行对照试验，根据试验数据得，在相同条件下，A系列品种的种子产量高于B系列品种的种子产量的概率为，记5次试验中A系列品种的种子产量高于B系列品种的种子产量的次数为Y．
（ⅰ）求；
（ⅱ）记表示A系列种子每穗的水稻重量，由经验可得，求．
（若X服从正态分布，则，，）
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（ⅰ）；（ⅱ）0.8185
【解析】
【分析】
（1）根据分布列的定义求X的分布列，再求期望；（2）（ⅰ）根据二项分布的概率公式求解；（ⅱ）利用正态密度曲线求概率．
(1)
由已知X的取值有0，1，2，3，4，
，，
，，
，
∴X的分布列如下
∴．
(2)
（ⅰ）由已知可得，
∴．
（ⅱ）．
8．某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分120分．现从全市学生中随机抽查了10名学生的成绩，分别为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97．
(1)已知10名学生的平均成绩为88，计算其中位数和方差；
(2)已知全市学生学习成绩分布服从正态分布，某校实验班学生30人．
①依据（1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在的学生人数（结果四舍五入取整数）；
②为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在的学生参加预选赛，若每个学生通过预选赛的概率为，用随机变量X表示通过预选赛的人数，求X的分布列和数学期望．（正态分布参考数据：，）
【答案】(1)中位数为，方差为；
(2)①4；②分布列见解析，数学期望为.
【解析】
【分析】
（1）根据中位数的定义求中位数，应用方差公式求成绩的方差.
（2）①应用正态分布特殊区间的概率求法求成绩在的概率，再求实验班学生30人中成绩在中的人数；②由题设知且服从分布，应用二项分布的概率公式求分布列，进而求期望.
(1)
这10个数据依次为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97，
所以中位数为，平均数为，
所以方差.
(2)
①由（1）知：，，
，
该班学生成绩在的人数为.
②随机变量，显然X服从二项分布，其分布列为，其中，
所以，.
重量范围（单位：）
个数
0
1
2
0
1
2
笔试成绩X
人数
5
10
30
35
15
5
Y
0
2
3
4
5
7
P
质量指标值
频数
16
30
40
10
4
质量指标值k
利润y
t
组别
频数
赠送话费的金额(元)
概率
0
1
2
3
P
0
1
2
3
直径/mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
0
1
2
3
4
消费金额（千元）
人数
30
50
60
20
30
10
1
2
3
0
1
2
3
4
分组
频数
合计
Y
P
X
0
1
2
3
4
P
X
0
1
2
3
4
P