统计与概率：正态分布、二项分布专项训练-2026届高考数学二轮复习

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例1．（25-26高二上·山东德州·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.5D．0.6
例2．（25-26高三上·内蒙古包头·期末）已知随机变量且，则展开式中各项系数之和为（ ）
A．64B．128C．-64D．-128
例3．（2026·云南红河·模拟预测·多选）某公司生产一种产品，为检测生产的某批产品质量是否达标，现从中随机抽取若干件，测量这些产品的质量指标值，得到频率分布直方图如下：
根据测量经验，这种产品的质量指标值近似服从正态分布，其中近似为样本平均值．记质量指标值内的产品为优等品，内的产品为一等品，公司规定一等品或者优等品为合格品，以各组数据的中间值为代表，以频率估计概率，下列说法正确的是（ ）
（参考数据：，）
A．
B．该公司生产的产品为优等品的概率为13.59%
C．该公司生产10000件这种产品，记表示这10000件产品中一等品的件数，则的数学期望为6827
D．若该公司计划销售该产品，一等品每件定价为2元，优等品每件定价为3元，则该公司生产该产品10000件并售出全部合格品的收入约为17731元
例4．（2026·广东肇庆·二模·多选）已知随机变量，则（ ）
A． B．越大，随机变量的方差越大
C．随机变量的分布越集中，的值越小 D．的取值在内是小概率事件
例5．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 .
例6．（25-26高三上·山西运城·期末）随机变量，且，则 ．
例7．（25-26高三上·湖南娄底·期末）某企业车载电池LG型有A，B两条生产线，产品质检员随机从A，B两条生产线共抽取50件车载电池进行电量误差检测，误差（单位：kwh）统计的数据如下表：
(1)若两条生产线的车载电池电量的误差X服从正态分布，以抽取样本的误差的平均数作为的估计值，并规定为特等品，其余为一等品或二等品，求两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数的估计值；
(2)某小型新能源汽车装配了特等品和一等品车载电池，该车载电池特等品的续航优秀率为60%，为了测试特等品车载电池的续航功能，从装配了特等品的该新能源汽车中随机抽取4辆进行测试，记续航优秀的台数为，求随机变量X的分布列和数学期望.
附：，若，则，，.
例8．（25-26高三上·云南昭通·期末）泊松分布（Pissn Distributin）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，则称服从泊松分布，记作.
(1)当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值；
(2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.已知某快递公司共有20000个包裹待配送，每个包裹有0.00015的概率出现配送延迟.试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字）
(3)若，且，求的取值范围.
参考数据：若，，，则有，，.
变式1．（25-26高三上·云南曲靖·期中）某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（ ）
若，则
A．4077B．5436C．1359D．2718
变式2．（25-26高二上·江西南昌·期末）某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（ ）
附：若，则，.
A．130B．228C．260D．1587
变式3．（25-26高二上·安徽六安·期末·多选）设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（ ）

A．B．
C．D．
变式4．（25-26高二上·陕西渭南·期末·多选）已知随机变量X服从正态分布，随机变量服从正态分布，，且和相应的分布密度曲线分别为，则（ ）
A．
B．的对称轴在的对称轴的左边
C．
D．的最高点在的最高点的上方
变式5．（25-26高三上·江苏无锡·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则 .
变式6．（25-26高二上·贵州遵义·期末）某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为 ．
变式7．（25-26高三上·广东深圳·期末）为提升工作效率，某公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训.
(1)若员工甲、乙培训合格的概率分别为，求甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率；
(2)为了激发员工的培训积极性，某公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；（结果精确到个位）
(3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望.
参考数据：若，则，.
变式8．（25-26高三上·山东滨州·期末）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是（），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性．
附：若，则，．
(1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差；
(2)若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性有何变化？
考点二 二项分布
例1．（25-26高三上·河南漯河·期末）将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现2次正面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，，若出现“恰有2次正面朝上”的频率记为，则（ ）
A．B．C．D．0
例2．（24-25高二下·吉林长春·月考）在足球比赛中，扑点球的难度--般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性未扑出点球.若不考虑其他因素，在比赛打成平局进行点球大战中，甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为（ ）
A．B．C．D．
例3．（24-25高二下·北京东城·月考）某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答.假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是，且每道题答对与否互不影响，则甲恰好答对其中两道题的概率为 ；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为 .
例4．（24-25高二下·辽宁大连·月考）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入100粒小球，则落入2号格的小球大约有 粒．
例5．（2026·河南濮阳·一模）某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值，并计算这300名市民评分的平均数；
(2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望.
例6．（2026·江苏徐州·模拟预测）为备战年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）.初赛从道题中任选题作答，题均答对则进入决赛.已进入决赛的参赛者允许连续抽奖次，中奖次奖励元，中奖次奖励元，中奖次奖励元，若次均未中奖，则只奖励元.假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立.
(1)已知初赛道题中甲能答对其中道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
(2)记一名进入决赛的同学恰好中奖次的概率为，求的极大值；
(3)假设该校共选拔出名同学进入决赛，若这名同学获得的总奖金的期望值不小于元，试求此时的取值范围.
变式1．（25-26高三上·湖北荆州·月考）已知随机变量，则概率最大时，的取值为（ ）
A．B．C．或D．或
变式2．（25-26高三上·江苏徐州·月考）某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式3．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）抛一枚均匀硬币，连续抛三次，记正面朝上的次数为，则 .
变式4．（25-26高三上·福建厦门·月考）甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，．设甲以获胜的概率为，则的最大值为 ．
变式5．（25-26高二上·山东聊城·期末）某购物中心举行购物抽奖活动，顾客购物达到一定金额后即可获得一次抽奖机会.抽奖时，从装有2个红球，4个绿球（每个球大小和质地相同）的抽奖箱中，每次随机摸取2个球.若两球都是红色，则获得一等奖；若两球不同色，则获得二等奖；若两球都是绿色，则不获奖.每人每次抽球互不影响.
(1)求顾客获得一等奖的概率；
(2)现有3名顾客参与抽奖，求至少两人获奖的概率.
变式6．（25-26高三上·福建漳州·期末）某公司举办抽奖活动，活动分为，两个项目，规则为：每位参与者先掷一枚质地均匀的骰子一次，若掷出点数为1或2，则参加项目抽奖；若掷出点数为3，4，5，6，则参加项目抽奖.每位参与者仅抽奖一次，已知，两个项目中奖的概率分别为，，中奖者可获得价值200元的购物券，未中奖者可获得价值100元的购物券.
(1)求每位参与者中奖的概率；
(2)已知甲、乙、丙3人参加抽奖活动，记3人获得的购物券总价值为元，求的分布列和期望.考点目录
正态分布
二项分布
生产线
抽取件数
平均误差
标准差
A
30
0.2
2.1
B
20
1.1