圆锥曲线：以椭圆为背景的面积问题、以椭圆为背景的向量问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

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例1．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知椭圆的离心率为，且C经过点．C的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，．
(1)求C的方程．
(2)过点的直线与C交于P，Q两点，点M满足，设M的轨迹为W．
（ⅰ）证明：W是椭圆；
（ⅱ）设直线与W的另一个交点为N，过点作的平行线，与W交于R，S两点，求以M，N，R，S为顶点的四边形的面积最大值．
例2．（25-26高二上·天津南开·期末）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为，当轴时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于，两点坐标原点，求面积的最大值．
例3．（25-26高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：；
(3)记和的面积分别是，求的最小值.
例4．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左焦点为，点在上，且轴.
(1)求的方程；
(2)已知的左顶点为，下顶点为，点是上在第一象限内的一个动点.
（i）求面积的最大值；
（ii）设直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：四边形的面积为定值.
变式1．（25-26高三上·河北承德·期末）已知椭圆的离心率为，点分别是的左顶点和上顶点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率存在的直线与相交于两点，若的面积为，求直线的方程．
变式2．（25-26高二上·重庆·期末）已知椭圆的离心率为，左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为，且．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设斜率存在的直线交椭圆于两点，记直线的斜率分别为，若．
（ⅰ）试判断直线是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由；
（ⅱ）设直线与轴的交点为，记与的面积分别为，求的取值范围．
变式3．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：.试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，.
（ⅰ）判断并证明直线与是否垂直？
（ⅱ）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记，的面积分别为，，求的取值范围.
考点二 以椭圆为背景的向量问题
例1．（25-26高二上·云南楚雄·期末）在平面直角坐标系中，过点的两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程.
(2)已知是线段上一点（异于），过点的直线与交于两点，直线分别交直线于两点.
（i）若点在轴的正半轴上，则是否存在直线，使得的面积是面积的4倍？说明理由.
（ii）是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
例2．（25-26高三上·天津南开·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.
例3．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知椭圆的离心率为，过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，直线与椭圆相交于，两点，且线段被直线平分．
①求直线的斜率；
②若，求直线的方程．
例4．（25-26高三上·山东聊城·月考）已知椭圆的半焦距，离心率，且过点为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆分别交于不同的两点，若，求的取值范围.
变式1．（24-25高二上·江苏南京·月考）已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过的直线与交于两点，且，求直线的方程.
变式2．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知点在椭圆上，过点作斜率为1的直线与椭圆交于A，B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求的值.
变式3．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知椭圆的左焦点为圆的圆心，且椭圆上的点到点的距离的最小值为.
(1)求椭圆的短轴长;
(2)已知经过点的动直线与椭圆交于不同的两点A，B，点，求的值.
变式4．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程.考点目录
以椭圆为背景的面积问题
以椭圆为背景的向量问题