由递推关系求数列通项公式、研究数列性质专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

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(1)求证：是等比数列．
(2)记，求数列及的通项公式；
(3)设，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)；
(3)
【详解】（1）因为，所以，
因为，，所以，
由以上递推关系可知，，则，
故是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可知，，
因为，所以，则，
即，
因为，所以由以上递推关系可知，，则，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，；
（3）由（2）可知，，则，则，
设，则，
则，
则
，
则.
例2．（25-26高三下·青海西宁·月考）已知数列的首项，且满足．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式及前10项的和．
【答案】(1)证明见解析
(2)，2036
【详解】（1）因为，所以，
又，所以，，
所以，即是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得，即，
设数列的前项和为，
所以．
例3．（2026·安徽合肥·模拟预测）线性反馈移位寄存器是现代通信应用中的关键技术，利用它进行简单的逻辑运算和移位操作能生成伪随机序列，因而被广泛用于干扰码、加密和同步等场景．某线性反馈移位寄存器通过以下规则生成由0和1组成的序列：
①初始设置：前三位为；
②生成规则：从第4位开始，计算公式为其中是正整数．
(1)求数列的前6项；
(2)设，求的通项公式；
(3)设，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由递推关系得，；
（2）观察：，…
数列的周期，且
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
所以的通项公式为.
（3）数列的前项：共有12个数字，有个数字，
数对的选法，分成3种情况：
①当时，有种情况，每一种情况，
②当时，有种情况，每一种情况，
③当时，有种情况，每一种情况，
所以.
例4．（2026·江西·一模）已知数列中，，满足．
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式：
(2)设为数列的前项和，求．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）由题意，，
则，
，
所以是以为首项，3为公比的等比数列.
所以，则.
（2）由，
则，
所以
即.
变式1．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知数列满足，，且，．
(1)求，；
(2)求证：数列是等比数列；并求数列的通项公式；
(3)已知对于恒成立，且，求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析，
(3)证明见解析
【详解】（1）由得：
，
；
（2）证明：因为，
所以，
所以，
又，
所以，
所以数列是以8为首项，4为公比的等比数列；
，
则有；；…，，
由累加法得：，
所以，
又也满足，
所以；
（3）证明：因为对于恒成立，
所以对于恒成立，
所以对于，恒成立，
当时，，即：对于恒成立，
，
所以对于恒成立，
所以
变式2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若对任意使得恒成立，求的最小值.
【答案】(1)
(2)3
【详解】（1）因为①
所以当时，，
当时，②，
①-②得，当时，，
所以，
又因为，所以.
（2）令①，
②，
①-②得，
所以.
因为，所以是递增数列，且当时，
所以，
所以的最小值为3.
变式3．（25-26高三上·浙江湖州·期末）已知数列和满足：，，且．
(1)求和的通项公式；
(2)（i）求数列的前项和；
（ii）试比较与的大小．
【答案】(1)，
(2)（i）；（ii）答案见解析
【详解】（1）由，
得，，，，．
相加得，
解得．
又满足上式，因此有．
故，则，相除得，
又满足上式，因此有．
（2）（i）由得，
，
.
（ii）因为，，所以，
因为，，所以，
因为，，所以，
因为，，所以，
当时，．下面证明，
．
变式4．（25-26高三上·吉林四平·期末）已知正项数列满足：，.
(1)求；
(2)设，求前项和.
(3)设，求项的最大值；
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由递推关系得：，，
所以：，即：，
所以：时，，
，显然当时也成立，
所以：；
（2）由已知：，
；
（3）由已知：，所以：，
所以：，
①令，得，所以当时，为递减数列；
②令，得，所以当时，为递增数列；
由①、②知，
所以当或时,取得最大值，最大值为．
考点二 由递推关系研究数列性质
例1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）记正项数列的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若，且，证明：
(3)若，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）解：因为，所以，则，
所以．
（2）证明：假设存在，使得，取满足该式的n的最小值，
设为k，即，①
由已知得，②
又由①+②得，所以
因为k是满足的n的最小值，若，则，
若，则，即是中最小的项．
当时，有，取整数使得且，此时必有，
这与相矛盾，假设不成立，故．
（3）证明：先证：
由，可得，
由，可得，
所以；
再证：
由，
可得，所以．
当时，，
累加得，即．
所以，
．
例2．（25-26高三下·重庆·月考）已知数列 满足 .
(1)数列 能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由；
(2)证明: .
【答案】(1)当时，此时为常数列且.
(2)证明见解析
【详解】（1）若为常数列，则，其中，
故，故（舍）或，
而当时，，此时为常数列且.
（2）因为，所以，
又因为，故，而，故，
所以，所以，
所以.
例3．（25-26高三上·北京·月考）设各项均为整数的无穷数列满足:.
(1)求的所有可能取值;
(2)若，求的最小值；
(3)记数列的前项和为，是否存在数列，使得为无穷集?请说明理由.
【答案】(1)
(2)20
(3)存在，证明见详解
【详解】（1）由及得，再根据：
，则或，
，则或，
因此的所有可能取值为.
（2）由递推式得：，
分析奇偶性：
归纳可得：，
由于为偶数，故或，
记，
所以的取值范围为中与奇偶性相同的整数，
构造取法：令，其余，
验证符合奇偶条件的：
：，（）：，
：，：，
：，：，
：，
（.）：，
（）：，且是偶数，可行，
（⇒为奇数）虽然，奇偶性不符，
因此可能的最小是，并且要在里取偶数，并且可达，
检验，，
，，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
，，
，：.
因此， 为：，
验证：，，
所有差值绝对值符合 ，且 .
综上时均不满足条件（奇偶不符，或），故的最小值为20.
（3）存在，构造如下：
定义操作（从开始取连续8项）：
，，
，，
，，
，
验证，
，
计算，
下证
已知，设，则：
待证①，
由得，②
根据递推条件，可设：
于是：所以：
将②代入：，③
将①展开：，④
选取符号模式：
验证③：
展开合并可得，对任意成立，
验证④：设，取：
由于，中和的系数均为零，故，对任意成立，
由此得到构造：操作（从开始取连续8项）,
满足，且代入计算得，
取初始段，则，
从第项起，重复进行操作，每项增加，即
令，得，即，
进行一次反操作（操作中各平方项前符号取反），
则有
取，，得，
从第项起，依此构造，每次应用操作时起始项均为，
故，即每项增加，
于是
此时，且值恢复为，
以上过程以项为周期（一次反与次），可无限重复，
从而得到无穷多个（如）使得，
因此，存在满足条件的数列，使得为无穷集.
变式1．（25-26高三上·云南红河·期中）已知数列前项和分别为,且有．
(1)若,求;
(2)若,求;
(3)已知当时，,当且仅当时等号成立若数列为正项数列，且当时有,若,证明：．
【答案】(1)45
(2)1
(3)答案见解析
【详解】（1）
.
（2）由,考虑前项和.
注意到当时，,,则：
.
而,
因此,
故.
当时,
.
当时，,也满足上式，故.
已知 ,,因此
.
（3）由,可得,
即得,
则
则有: ①
,
由①式可得：.
因是正项数列，故,由已知不等式可得：
当且仅当时等号成立.
故得,
即,得证.
变式2．（25-26高三上·江苏南通·期中）设i，j，k，m，n均为正整数，无穷数列是递增数列，且各项均为正整数，.
(1)若数列满足，求数列的通项公式及其前n项的和；
(2)若对于任意k，都不存在i，j，使得.
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）若存在无穷多个m，使得，求数列的通项公式.
【答案】(1)，
(2)（i）证明见解析；
（ii）
【详解】（1）由题意得，所以数列为等差数列，公差为1，
所以通项公式，前项和.
（2）（i）假设，
因为数列是递增数列，且各项均为正整数，
所以为相邻的正整数，则，
此时，这就存在，使得，
与对任意，都不存在使得矛盾，
所以假设不成立，故；
（ii）由（i）知，则，
又因为存在无穷多个，使得，且数列是递增的正整数数列，
所以对于所有的正整数，都有，
下面验证对任意，都不存在使得，
因为为整数，所以为偶数，为奇数，
所以不可能成立，符合条件，
综上可得，.
变式3．（25-26高三上·江苏泰州·期中）设数列满足递推关系.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)（i）证明：；
（ii）记求数列的前项和；
(3)对于第（2）问中的，是否存在正整数，使等式成立.若存在，请求出正整数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）；
(3)不存在，理由见解析.
【详解】（1）由题意，且，
则数列是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）（i）证明：由（1），，则，
所以.
（ii）由（i）得，
则.
（3）不存在，理由如下：
由题意，，
化简得，
由于为奇数，则不是整数，则不存在.考点目录
由递推关系求数列通项公式
由递推关系研究数列性质