2025年高考数学一轮复习-数列的递推关系与通项-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-数列的递推关系与通项-专项训练【含答案】，共9页。试卷主要包含了基本技能练，创新拓展练等内容，欢迎下载使用。

一、基本技能练
1.已知数列{an}的首项a1＝2，其前n项和为Sn，若Sn＋1＝2Sn＋1，则a7＝________.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________.
3.已知正项数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \r(an)，则an＝________.
4.数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝3an＋2(n∈N*)，令bn＝lg3(an＋1)，则bn＝________.
5.在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝eq \f(bn,3bn＋2)，n∈N*，则通项公式bn＝________.
6.在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋ln 3(n≥2)，则数列{an}的通项an＝________.
7.已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1＋2an.某同学已经证明了数列
{an＋1－2an}和数列{an＋1＋an}都是等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝________.
8.已知数列{an}，{bn}满足a1＝eq \f(1,2)，an＋bn＝1，bn＋1＝eq \f(bn,1－aeq \\al(2,n))，则b2 023＝________.
9.已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn－nan＝3n(n∈N*)，且S3＝15，则S10＝________.
10.已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，则数列{an}的通项公式为________.
11.数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1，a1＝－1，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
12.已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋3an－1，则{an}的通项公式为________.
二、创新拓展练
13.(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \f(an,2＋3an)(n∈N*)，则下列结论正确的是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋3))为等比数列
B.{an}的通项公式为an＝eq \f(1,2n＋1－3)
C.{an}为递增数列
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n项和Tn＝2n＋2－3n－4
14.(多选)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列{an}，则( )
A.a4＝12 B.an＋1＝an＋n＋1
C.a100＝5 050 D.2an＋1＝an·an＋2
15.(多选)已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依次类推，第n项记为an，数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A.a60＝16 B.S18＝128
C.aeq \s\d9(\f(k2＋k,2))＝2k－1 D.Seq \s\d9(\f(k2＋k,2))＝2k－k－1
16.已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝eq \f(7an－2,an＋4)，则该数列的通项公式an＝________.
参考答案与解析
一、基本技能练
1.答案 96
解析 因为Sn＋1＝2Sn＋1，
所以Sn＝2Sn－1＋1(n≥2)，
两式相减得an＋1＝2an(n≥2)，
又因为a1＝2，S2＝a1＋a2＝2a1＋1，
得a2＝3，
所以数列{an}从第二项开始成等比数列，
因此其通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,3·2n－2，n≥2，))
所以a7＝3×25＝96.
2.答案 an＝eq \f(2,n（n＋1）)(n∈N*)
解析 由Sn＝n2an可得，
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1，
则an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，
即(n2－1)an＝(n－1)2an－1，
故eq \f(an,an－1)＝eq \f(n－1,n＋1)，
所以an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·eq \f(an－2,an－3)·…·eq \f(a3,a2)·eq \f(a2,a1)·a1＝eq \f(n－1,n＋1)·eq \f(n－2,n)·eq \f(n－3,n－1)·…·eq \f(2,4)×eq \f(1,3)×1＝eq \f(2,n（n＋1）).
当n＝1时，a1＝1满足an＝eq \f(2,n（n＋1）).
故数列{an}的通项公式为
an＝eq \f(2,n（n＋1）)，n∈N*.
3.答案 221－n (n∈N*)
解析 将an＋1＝eq \r(an)两边取以2为底的对数得lg2an＋1＝eq \f(1,2)lg2an，
∴数列{lg2an}是以1为首项，eq \f(1,2)为公比的等比数列，
故lg2an＝1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)＝21－n，
即an＝221－n (n∈N*).
4.答案 n(n∈N*)
解析 由an＋1＝3an＋2(n∈N*)可知an＋1＋1＝3(an＋1)，
又a1＝2，知an＋1≠0，
所以数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，
因此an＋1＝3·3n－1＝3n，
故bn＝lg3(an＋1)＝n.
5.答案 eq \f(1,2n－3)(n∈N*)
解析 由bn＋1＝eq \f(bn,3bn＋2)，且b1＝－1.
易知bn≠0，得eq \f(1,bn＋1)＝eq \f(2,bn)＋3.
因此eq \f(1,bn＋1)＋3＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,bn)＋3))，eq \f(1,b1)＋3＝2，
故eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,bn)＋3))是以2为首项，2为公比的等比数列，于是eq \f(1,bn)＋3＝2·2n－1，
可得bn＝eq \f(1,2n－3)，n∈N*.
6.答案 (1＋ln 3)·2n－1－ln 3(n∈N*)
解析 由an＝2an－1＋ln 3得
an＋ln 3＝2(an－1＋ln 3)，
则{an＋ln 3}是以1＋ln 3为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋ln 3＝(1＋ln 3)·2n－1，
因此an＝(1＋ln 3)·2n－1－ln 3(n∈N*).
7.答案 eq \f(2n＋1－（－1）n－1,3)(n∈N*)
解析 因为an＋2＝an＋1＋2an，
所以当n＝1时， a3＝a2＋2a1＝5.
令bn＝an＋1－2an，则{bn}为等比数列.
又b1＝a2－2a1＝1，b2＝a3－2a2＝－1，
所以等比数列{bn}的公比q＝eq \f(b2,b1)＝－1，
所以bn＝(－1)n－1，
即an＋1－2an＝(－1)n－1.①
令cn＝an＋1＋an，则{cn}为等比数列，
c1＝a2＋a1＝4，c2＝a3＋a2＝8，
所以等比数列{cn}的公比q1＝eq \f(c2,c1)＝2，
所以cn＝4×2n－1＝2n＋1，
即an＋1＋an＝2n＋1.②
联立①②，解得an＝eq \f(2n＋1－（－1）n－1,3).
8.答案 eq \f(2 023,2 024)
解析 因为an＋bn＝1，bn＋1＝eq \f(bn,1－aeq \\al(2,n))，
所以1－an＋1＝eq \f(1－an,（1－an）（1＋an）)，
an＋1＝1－eq \f(1,1＋an)＝eq \f(an,1＋an)，
所以eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋1，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，其公差为1，首项为eq \f(1,a1)＝2，
所以eq \f(1,an)＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
所以an＝eq \f(1,n＋1)，
所以bn＝eq \f(n,n＋1)，
所以b2 023＝eq \f(2 023,2 024).
9.答案 120
解析 当n＝1时，2S1－a1＝3，
解得a1＝3.
又2Sn－nan＝3n，①
当n≥2时，
2Sn－1－(n－1)an－1＝3(n－1)，②
所以①－②得
(n－1)an－1－(n－2)an＝3，③
当n≥3时，(n－2)an－2－(n－3)an－1＝3，④
所以④－③得
(n－1)·an－1－(n－2)an＝(n－2)an－2－(n－3)an－1，
可得2an－1＝an＋an－2，
所以数列{an}为等差数列，设其公差为d.
因为a1＝3，S3＝3a1＋3d＝9＋3d＝15，
解得d＝2，
故S10＝10×3＋eq \f(10×9,2)×2＝120.
10.答案 an＝2n＋n(n∈N*)
解析 ∵an＋1＝2an－n＋1，
∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，
∴eq \f(an＋1－（n＋1）,an－n)＝2，
∴数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，
∴an－n＝2·2n－1＝2n，
∴an＝2n＋n(n∈N*).
11.答案 eq \f(3n＋1,2)－2n＋2＋eq \f(5,2)(n∈N*)
解析 ∵an＋1＝3an＋2n＋1，
∴eq \f(an＋1,2n＋1)＝eq \f(3,2)·eq \f(an,2n)＋1
∴eq \f(an＋1,2n＋1)＋2＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)＋2))，
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)＋2))是以eq \f(a1,2)＋2＝eq \f(3,2)为首项，eq \f(3,2)为公比的等比数列，
∴eq \f(an,2n)＋2＝eq \f(3,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(n－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(n)，
∴an＝3n－2n＋1，
∴Sn＝(31＋32＋…＋3n)－(22＋23＋…＋2n＋1)＝eq \f(3－3n＋1,1－3)－eq \f(4－2n＋2,1－2)＝eq \f(3n＋1,2)－2n＋2＋eq \f(5,2)(n∈N*).
12.答案 an＝eq \f(3n－（－1）n,4)(n∈N*)
解析 ∵an＋1＝2an＋3an－1，
∴an＋1＋an＝3(an＋an－1)，
∴{an＋1＋an}是以a2＋a1＝3为首项，3为公比的等比数列，
∴an＋1＋an＝3×3n－1＝3n.①
又an＋1－3an＝－(an－3an－1)，
∴{an＋1－3an}是以a2－3a1＝－1为首项，－1为公比的等比数列，
∴an＋1－3an＝(－1)×(－1)n－1＝(－1)n，②
由①－②得4an＝3n－(－1)n，
∴an＝eq \f(3n－（－1）n,4)(n∈N*).
二、创新拓展练
13.答案 ABD
解析 因为eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2＋3an,an)＝eq \f(2,an)＋3，
所以eq \f(1,an＋1)＋3＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋3))，
又eq \f(1,a1)＋3＝4≠0，
所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋3))是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以eq \f(1,an)＋3＝4×2n－1，则an＝eq \f(1,2n＋1－3)，
所以{an}为递减数列，
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n项和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝22＋23＋…＋2n＋1－3n＝eq \f(4（1－2n）,1－2)－3n＝2n＋2－3n－4，故ABD正确.
14.答案 BC
解析 由题意知，a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，an＝an－1＋n，
故an＝eq \f(n（n＋1）,2)，
∴a4＝eq \f(4×（4＋1）,2)＝10，故A错误；
an＋1＝an＋n＋1，故B正确；
a100＝eq \f(100×（100＋1）,2)＝5 050，故C正确；
2an＋1＝(n＋1)(n＋2)，
an·an＋2＝eq \f(n（n＋1）（n＋2）（n＋3）,4)，
显然2an＋1≠an·an＋2，故D错误.
15.答案 AC
解析 由题意可将数列分组：
第一组为20，
第二组为20，21，
第三组为20，21，22，
……，
则前k组一共有1＋2＋…＋k＝eq \f(k（1＋k）,2)个数.
第k组第k个数为2k－1，
故aeq \s\d9(\f(k2＋k,2))＝2k－1，所以C正确.
因为eq \f(10×（10＋1）,2)＝55，所以a55＝29，
又eq \f(11×（11＋1）,2)＝66，
则a60为第11组第5个数，第11组为20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，210，
故a60＝24＝16，所以A正确.
每一组数的和为20＋21＋…＋2k－1＝eq \f(2k－1,2－1)＝2k－1，
故前k组数之和为21＋22＋…＋2k－k＝eq \f(2（2k－1）,2－1)－k＝2k＋1－2－k，
Seq \s\d9(\f(k2＋k,2))＝2k＋1－k－2，所以D错误.
S15＝26－5－2＝57，S18＝S15＋20＋21＋22
＝26－5－2＋7＝64，所以B错误.故选AC.
16.答案 eq \f(4·6n－1－5n－1,2·6n－1－5n－1)(n∈N*)
解析 由eq \f(an＋1－1,an＋1－2)＝eq \f(\f(7an－2,an＋4)－1,\f(7an－2,an＋4)－2)
＝eq \f(7an－2－（an＋4）,7an－2－2（an＋4）)＝eq \f(6,5)·eq \f(an－1,an－2)，
所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an－1,an－2)))是首项为eq \f(a1－1,a1－2)＝2，
公比为eq \f(6,5)的等比数列，
所以eq \f(an－1,an－2)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)))eq \s\up12(n－1)，
解得an＝eq \f(1,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)))\s\up12(n－1)－1)＋2＝eq \f(4·6n－1－5n－1,2·6n－1－5n－1)，n∈N*.