江苏南京市第十三中学2025-2026学年高二上学期期末学情检测数学试题（含答案解析）

这是一份江苏南京市第十三中学2025-2026学年高二上学期期末学情检测数学试题（含答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
2. 现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（ ）
3. 已知，则的值为（ ）
4. 已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（ ）
5. （ ）
6. 在平面直角坐标系中，双曲线的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与相交于两点，与轴的交点为，则的离心率为（ ）
7. 函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（ ）
8. 若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（）
二、多选题
9. 已知函数的导函数的图象如下图所示，则（ ）
10. 已知数列满足，，则（ ）
11. 将方程表示的曲线作为函数的图象，则（ ）
三、填空题
12. 记为等差数列的前项和，若，则的值为________.
13. 若直线：与圆和圆都相切，则符合条件的实数可以为________（写出一个符合条件的实数即可）.
14. 若对任意的，恒有，则实数的取值范围为________.
四、解答题
15. 用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）.
(1)求可组成多少个四位数；
(2)求可组成多少个偶数互不相邻的六位数；
(3)将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数.
16. 已知直线与圆交于，两点，且.
(1)求圆的方程.
(2)若过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，和圆交于两点，且点位于轴的下方，求.
17. 已知数列的前项和满足，，且.
(1)证明数列为等差数列；
(2)若数列的首项，且，，求数列的通项公式.
18. 已知椭圆的左、右顶点为，离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.过点且斜率不为的直线交椭圆于点，直线与直线交于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)记，的面积分别为，，若，求直线的斜率；
(3)记直线、的斜率分别为、，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
19. 已知函数，.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求正整数的最大值；
(3)证明：，.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．1
B．
C．
D．2
A．7
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．2
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．函数的图象在处的切线斜率小于零
B．函数在区间上单调递增
C．当时，函数取得极值
D．当时，函数取得极值
A．数列为等比数列
B．
C．，
D．
A．的图象不经过第三象限
B．在上单调递增
C．的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为
D．函数不存在零点