2025-2026学年江苏省南京市第十三中学高二上学期10月学情检测数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年江苏省南京市第十三中学高二上学期10月学情检测数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线l:x+ 3y-1=0 的倾斜角是( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.椭圆x29+y25=1的焦点的坐标为( )
A. - 14,0， 14,0B. -2,0，2,0
C. 0,- 14，0, 14D. 0,-2，0,2
3.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A. x2+y2-2x-3=0B. x2+y2+4x=0
C. x2+y2+2x-3=0D. x2+y2-4x=0
4.圆O1:(x-1)2+(y-1)2=28与O2:x2+(y-4)2=18的公共弦长为( )
A. 2 3B. 2 6C. 3 2D. 6 2
5.已知△ABC的顶点坐标为A(1,4)，B(-2,0)，C(3,0)，则角B的内角平分线所在直线方程为( )
A. x-y+2=0B. x- 2 y+2=0C. x- 3 y+2=0D. x-2y+2=0
6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点Px,y是阴影部分(包括边界)的动点.则yx-2的最小值为( )
A. -23B. -32C. -43D. 1
7.已知圆C:(x-1)2+y2=16，F(-1,0)为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕l，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为( )
A. x24+y23=1B. x24+y2=1C. x24-y23=1D. x25+y24=1
8.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知▵ABC的顶点A-3,0，B3,0，C3,3，若直线l：ax+a2-3y-9=0与▵ABC的欧拉线平行，则实数a的值为( )
A. -2B. -1C. -1或3D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线l1:ax+2y+3a=0,l2:3x+a-1y+3-a=0.以下说法正确的有( )
A. l1//l2的充要条件是a=3B. 当a=25时，l1⊥l2
C. 直线l1一定经过点M3,0D. 点P1,3到直线l1的距离的最大值为5
10.已知A-4,0，B4,0，动点C满足CA=3CB，记C的轨迹为Ω，若过点A的直线与Ω交于P，Q两点，直线BP与Ω的另外一个交点为M，则( )
A. ▵PAB的面积的最大值为12
B. Q，M关于x轴对称
C. 当∠PMQ=π3时，PQ=2 3
D. 直线AC的斜率的取值范围为- 24, 24
11.月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点F(3,0)，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线y=tt>0与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是( )
A. 椭圆的离心率是 22
B. ▵OAB的周长存在最大值
C. 线段AB长度的取值范围是0,3+3 2
D. ▵ABF面积的最大值是94 2+1
三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题12分)
一束光从光源C1,2射出，经x轴反射后(反射点为M)，射到线段y=-x+b,x∈3,5上N处．
(1)若M3,0,b=7，求光从C出发，到达点N时所走过的路程；
(2)若b=8，求反射光的斜率的取值范围；
(3)若b≥6，求光从C出发，到达点N时所走过的最短路程．
13.(本小题12分)
已知圆M与直线3x- 7y+4=0相切于点1, 7，圆心M在x轴上．
(1)求圆M的标准方程；
(2)若过点1,1的直线l与圆M交于P,Q两点，当PQ=2 7时，求直线l的一般式方程；
(3)过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A,B两点，O为坐标原点，直线OA,OB分别与直线x=8相交于C,D两点，记▵OAB,▵OCD的面积为S1,S2，求S1S2的最大值．
参考答案
1.D
2.B
3.D
4.D
5.D
6.C
7.A
8.B
9.BD
10.ABD
11.ACD
12.【详解】(1)C1,2关于x轴的对称点C'1,-2，lC'M:y=x-3，
由y=x-3y=-x+7⇒x=5∈3,5，则此时N5,2，
所以光所走过的路程即C'N= 5-12+2+22=4 2．
(2)对于线段y=-x+8,x∈3,5，令其端点A3,5,B5,3，
则kC'A=72,kC'B=54，
所以反射光斜率的取值范围是54,72．
(3)若反射光与直线y=-x+b垂直，则由y=-x+by=x-3⇒x=b+32．
①当x=b+32∈3,5，即6≤b≤7时，光所走过的最短路程为点C'到直线y=-x+b的距离，
所以路程S=1-2-b 2=b+1 2．
②当x=b+32∈5,+∞，即b>7时，光所走过的最短路程为线段C'B，其中B5,b-5，
所以C'B=S= 5-12+b-32= b2-6b+25．
综上：S=b+1 2,6≤b≤7 b2-6b+25,b>7．

13.【详解】(1)由题可知，设圆的方程为x-a2+y2=r2,r>0，圆心为(a,0)，
由直线3x- 7y+4=0与圆相切于点1, 7，
得(1-a)2+7=r2 71-a×3 7=-1，解得a=4,r=4，
所以圆的方程为(x-4)2+y2=16；
(2)设圆心M(4,0)到直线l的距离为d，
∵PQ=2 r2-d2，∴2 7=2 16-d2，∴d=3．
①当直线l斜率不存在时，x=1，满足M(4,0)到直线x=1的距离d=3；
②当直线l斜率存在时：设l方程：y-1=kx-1，即kx-y+1-k=0，
∴d=|4k+1-k| k2+1=3，整理得(3k+1)2=9(k2+1)，解得k=43，
∴l:y-1=43(x-1)，即4x-3y-1=0，
综上：直线l的一般式方程为x=1或4x-3y-1=0；
(3)由题意知，∠AOB=π2，
设直线OA的斜率为kk≠0，则直线OA的方程为y=kx，
由y=kxx2+y2-8x=0，得1+k2x2-8x=0，
解得x=0y=0或x=81+k2y=8k1+k2，则点A的坐标为81+k2,8k1+k2，
又直线OB的斜率为-1k，同理可得：点B的坐标为8k21+k2,-8k1+k2，
由题可知：C8,8k,D8,-8k，
∴S1S2=OAOBODOC=OAOC⋅OBOD，
又∵OAOC=xAxC=81+k28=11+k2，同理OBOD=k21+k2，
∴S1S2=k2(k2+1)2=k2k4+2k2+1=1k2+1k2+2≤12 k2⋅1k2+2=14，
当且仅当k=1时等号成立，
∴S1S2的最大值为14．
【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
(1)几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
(2)函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值(或值域)，常用方法：配方法；基本不等式法；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取值范围．