江苏省南京市第十三中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（原卷及解析版）

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（时间：120分钟 满分150分）
命题： 审题：
2024年6月25日
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集定义直接计算即可.
【详解】由题，又，
故，
故选：C.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指对数的运算，结合指数、对数的性质即可判断大小关系.
【详解】，，，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查了比较指对数的大小，应用了指对数运算及性质，属于简单题.
3. 函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最小正周期求出，写出平移后的解析式，根据其为偶函数得到，，根据的范围即可得到答案.
【详解】由题得最小正周期，可得，所以.
的图象向右平移个单位长度后为偶函数的图象，
故，，，．
，，
故选：D．
4. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先使用诱导公式，将要求的式子进行化简，然后再将带入即可完成求解.
详解】由已知使用诱导公式化简得：，
将代入即.
故选：A.
5. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函数有两个不同的零点，等价于函数与函数的图象有两个交点，作出函数与的图象即可得到m的范围.
【详解】函数有两个不同的零点，等价于函数与函数的图象有两个交点，作出函数与的图象，如图所示，
由图可知，当时，函数与函数的图象有两个交点，所以实数的取值范围是 .
故选B．
【点睛】本题考查函数的零点问题，属中档题.函数零点的几种等价形式：函数的零点函数的图象与轴的交点的横坐标方程的根函数与函数的图象的交点的横坐标．
6. 已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得结果.
【详解】成等差数列，，又，
，整理可得：，
，解得：（舍）或.
故选：C.
7. 已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用排除法，取特值，求即可判断结果.
【详解】对于选项A：因为，与图象不符，故A错误；
对于选项B：因为，与图象不符，故B错误；
对于选项C：因为，与图象不符，故C错误；
故选：D.
8. 已知，，且时， ，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，由二倍角的正切公式求出，再利用和差角的正弦公式化简计算即得.
【详解】由，得，整理得，又，解得，
由，得，
即，
整理得，因此，
所以.
故选：A
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 数列前n项和为，已知，则（ ）
A. 是递增数列
B.
C. 当时，
D. 当或4时，取得最大值
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，根据求出通项公式，进而得到，单调递减，A错误；B选项，由通项公式直接求解即可；C选项，解不等式即可；D选项，根据二次函数的开口方向和对称轴可得D正确.
【详解】A选项，当时，，
又，所以，
因为，
则是递减数列，故A错误；
B选项，由可得，故B正确；
C选项，令，解得，故C正确；
D选项，因为的对称轴为，开口向下，
又，所以当或4时，取得最大值，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的周期为
B. 函数的图象关于对称
C. 函数在区间上的最大值为2
D. 直线与的图象所有交点的横坐标之和为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定函数的图象，结合五点法作图求出解析式，再逐项分析求解即可.
【详解】观察函数图象，，函数的周期为，，
由，得，而，则，，
对于A，函数的周期为，A正确；
对于B，，函数的图象关于不对称，B错误；
对于C，当时，，当，即时，取得最大值2，C正确；
对于D，当时，，由，即，
得或，解得或，显然，D正确.
故选：ACD
11. （多选）已知，且，则（ ）
A. 的取值范围是B. 的取值范围是[2,3)
C. 的最小值是D. 的最小值是
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，利用基本不等式得到，从而得到，解出，A正确；
B选项，利用基本不等式得到，从而得到，解一元二次不等式，求出答案，B正确；
C选项，先得到，代入得到，从而得到基本不等式求出最值；
D选项，得到，代入得到，利用基本不等式求出最值.
【详解】因为， 所以，所以，
解得:，即，则A错误；
因为.所以 ，所以，
即，又，解得：，
又，则的取值范围是[2,3)，B正确；
因，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
因为，所以，则C错误；
，
当且仅当，即时，等号成立，则D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12. 计算的值为______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦的差角公式即可化简求解.
【详解】因为，
所以.
故答案为:.
13. 已知函数，若在处取得极值，不等式对恒成立，则实数的取值范围为______________.
【答案】
【解析】
【分析】由函数极值点可求得，依题意只需在上恒成立即可，令函数并利用导数求出其在上的最小值即可得结果.
【详解】由题意得，，故，
取，，，
当x>1，，函数fx单调递增，
当时，，函数fx单调递减，
x=1为函数的极值点，满足要求，故，
所以即在上恒成立，
只需在上恒成立；
令，则，令，解得；
当时，，可知在上单调递减；
当时，，可知在上单调递增；
所以在为在内唯一的极小值点，也是最小值点，
故，即，
即只需即可.
故答案为：.
14. 已知定义在上的函数的导函数，若，且，则不等式的解集是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可构造函数，利用导数得出函数在上单调性，解不等式可得结论.
【详解】设，则，
因为，所以，所以在上单调递减；
不等式等价于，即，
因为，所以，
所以，即，解得.
故答案：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用题干信息构造函数，并利用导数得出函数单调性；将不等式转换比较函数值大小问题，利用函数单调性解不等式即可得结果.
四、解答题：本题共5题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算：
（1）；
（2）计算：.
【答案】（1）；
（2）2.
【解析】
【分析】（1）利用指数运算法则计算即得.
（2）利用对数运算法则、对数换底公式计算即得.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
16. 已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，通过，，成等比数列可求得，进而求出.
（2）利用这一步裂项操作即可求和.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
因为，且，，成等比数列，
所以，即，
解得（舍去）或，
所以.
【小问2详解】
由（1）可得，
所以
.
17. 已知函数.
（1）求的单调增区间；
（2）当时，求的值域.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先应用诱导公式及二倍角公式结合辅助角净化简，再应用正弦函数的增区间求解即可；
（2）结合正弦函数的值域求解.
【小问1详解】
，令，解得，故的单调增区间为，.
【小问2详解】
当时，，所以，，
故的值域为.
18. 已知函数是定义域上的奇函数．
（1）求实数的值；
（2）求函数的值域；
（3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由已知结合奇函数的性质可求；
（2）结合指数函数及反比例函数的性质即可求解；
（3）结合辅助角公式，二倍角公式对进行化简，然后结合正弦函数的性质求出其最大值，再由函数单调性及存在性问题与最值关系的转化即可求．
【小问1详解】
因为是定义域R上的奇函数，
所以，即，
所以，
又，
所以此时为奇函数，符合题意；
【小问2详解】
由（1）得，
因为，
所以，
所以，即函数的值域为．
【小问3详解】
因为，
当时，，
所以，
所以，
由无实数解可得的定义域为R，
易知单调递增，所以在R上单调递减，
若关于的不等式在上有解，
则在上有解，
所以在上有解，
所以，即，
故的范围为
19. 已知函数.
（1）当时，证明：；
（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）因为函数的定义域为，当时，，将问题转化为当时，，构造函数，利用导数研究的值域即可证明；
（2）求导，令，再求导g′(x)，利用放缩可知，得到在单调递增，，分类讨论和时的正负，从而确定是否有极值点以及极值点的个数.
【小问1详解】
因为函数的定义域为，当时，.
要证，只需证：当时，.
令，则，
则在单调递增，
所以，即.
【小问2详解】
，
令，
则.
所以在单调递增，，
①时，，.
则在为增函数，在上无极值点，矛盾.
②当时，.由（1）知，，
，则，则使.
当时，，，则在上单调递减；
当时，，，则在上单调递增.
因此，在区间上恰有一个极值点，
所以的取值范围为.
【点睛】方法点睛：利用导数求解参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.