2024高考数学二轮专题复习——计数原理测试卷含答案

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1．将甲､乙､丙､丁4个人全部分配到三个地区工作，每个地区至少有1人，则不同的分配方案为（ ）
A．36种B．24种C．18种D．16种
【答案】A
【分析】
把4个人按分成3组，再分配到三个不同地区即可.
【详解】依题意，三个地区中必有一个地区有2人，
先在甲､乙､丙､丁4个人中选2个人有种组合，将这两个人捆绑在一起看作一个元素，
与其他2个人一起分配到三个地区，共有种.
故选：A
2．的展开式中常数项为（ ）
A．28B．56C．70D．76
【答案】A
【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后确定其常数项即可.
【详解】的展开式的通项公式为：
，
令，解得，
故的展开式中常数项为．
故选：A.
3．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……．则此数列的前15项之和为（ ）
A．114B．116C．124D．126
【答案】A
【分析】
依据新数列的构成规律可知杨辉三角前7行所有除1之外的数之和即为所求结果，再利用第行的所有数字之和为即可求得结果.
【详解】根据题意可知构成的新数列的前15项分别为杨辉三角的第三层到第七层除去1之外的所有数构成的，
除第一行有一个1以外，其余每行都有两个1，
又第行的所有数字之和为，
所以构成的新数列前15项之和为.
故选：A
4．第19届亚运会于2023年9月至10月在杭州举行，来自浙江某大学的4名男生和3名女生通过了志愿者的选拔，若从这7名大学生中选出2人或3人去某场馆担任英语翻译，并且至少要选中1名女生，则不同的挑选方案共有（ ）
A．15种B．31种C．46种D．60种
【答案】C
【分析】可用“间接法”解决问题.
【详解】至少要选中一名女生的对立事件是选中的全为男生，故所求挑选方案的种数为.
故选：C
5．某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，每名员工最多值班一天.已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（ ）
A．184种B．196种C．252种D．268种
【答案】C
【分析】采用间接法可直接得到答案.
【详解】从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人安排到假期的四天值班，一共有种方法；
甲在第一天值班有种方法；乙在第四天值班有种方法；
甲在第一天值班且乙在第四天值班有种方法；
因此从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，甲在第一天不值班，乙在第四天不值班共有种方法，
故选：C.
6．已知，则被10除所得的余数为（ ）
A．9B．3C．1D．0E．均不是
【答案】C
【分析】
由题意可得，将其展开式写出后可得，即可得解.
【详解】，
由，
故被10除所得的余数为.
故选：C.
7．已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ）
A．16B．24C．32D．48
【答案】B
【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解.
【详解】若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若、和在上单调递增，则有个；
综上所述：共有个.
故选：B.
【点睛】方法点睛：两个计数原理的应用技巧
（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．
（2）对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
8．从编号分别为1，2，…，9的9张卡片中任意抽取3张，将它们的编号从小到大依次记为，则且的概率是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用古典概型及组合计算即可.
【详解】由而从1，2，…，9中抽取，且最多只能取到5．
当时，，8，9共5种；
当时，共4种；
当时，共3种；
当时，共2种；
当，时，共1种，总共15种．
同理2时共10种，时共6种，时共3种，时共1种，即9，
所以概率为.
故选:D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分
9．下列排列组合数中，正确的是（ ）
A．B．
C．（m，，）D．（m，，，）
【答案】BCD
【分析】根据排列数与组合数的计算公式与性质逐项判断即可.
【详解】A选项，，故A错误；
B选项，，故B正确；
C选项，由于，故C正确；
D选项，左边，
右边，
即左边＝右边，所以（m，，），故D正确．
故选：BCD.
10．2023年国外某智库发布《尖端技术研究国家竞争力排名》的报告，涵盖了超音速、水下无人潜航器、量子技术、人工智能、无人机等二十多个领域.报告显示，中国在其中19个领域处于领先.某学生是科技爱好者，打算从这19个领域中选取这5个领域给班级同学进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则下列结论中正确的是（ ）
A．都在后3天介绍的方法种数为36
B．相隔一天介绍的方法种数为36
C．A不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为72
D．A在，之前介绍的方法种数为40
【答案】ABD
【分析】
A选项，在后3天中选择2天，将和剩余的3天进行全排列，相乘后得到A正确；B选项，采取插空和捆绑法进行求解；C选项，分A在最后一天进行介绍和不在最后一天进行介绍两种情况，求出方法数相加后得到答案；D选项，倍缩法进行求解.
【详解】A选项，在后3天中选择2天，有种选择，
再将和剩余的3天进行全排列，有种选择，
故有种方法数，A正确；
B选项，先把进行全排列，再从选择1个放在之间，有种方法，
再将这三个领域捆绑，和剩余的两个领域进行全排列，共有种选择，
综上，共有种方法数，B正确；
C选项，若A在最后一天进行介绍，则将剩余4个领域进行全排列，有种方法，
若A不在最后一天进行介绍，从3天中选择1天安排A，
再从除了最后一天的剩余3天中选择1天安排，有种选择，
最后将剩余的3个领域和3天进行全排列，有种选择，
则此时有种选择，
综上，A不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为，C错误；
D选项，进行全排列，共有种方法，
将进行全排列，共有种方法，其中A在，之前的有2种，
故120种排列中，A在，之前的有种，故D正确.
故选：ABD
11．若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】将，，代入判断ACD，利用二项式展开式的通项公式判断B即可.
【详解】将代入得，解得，A正确；
由二项式定理可知展开式的通项为，
令得，所以，B错误；
将代入得，
即，C正确；
将代入得，
即①，
将代入得，
即②，
①+②得，所以，
①-②得，所以，
所以，D正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12． 展开式的常数项为 ．
【答案】48
【分析】根据题意结合二项式定理分析求解.
【详解】因为的展开式的通项公式为，
所以展开式的常数项为.
故答案为：48.
13．如图，将1，2，3，4四个数字填在6个“”中，每个“”中填一个数字，有线段连接的两个“”不能填相同数字，四个数字不必均使用，则不同的填数方法有 种．
【答案】264
【分析】按使用数字数的不同分成两类，每一类中分步进行，先确定填A，D，E三点填法数，再讨论点B，F，C的填法数即可.
【详解】如图，计算不同填数方法有两类办法：
当用四个数字时，先填A，E，D，有种填法，再从B，F，C中选一处填第四个数，如B，再填F，
若F与D同，则C有2种填法，若F与D不同，则C有1种填法，于是得有种填法，
当用三个数字时，先填A，E，D，有种填法，再填B，有2种填法，则F，C各有1种填法，于是得有种填法，
利用分类加法计数原理得不同填数方法为：（种），
所以不同的填数方法共有264种.
故答案为：264.
14．已知展开式中的第4项是一次项，则 ，展开式中系数最大的项是 ．
【答案】 10
【分析】写出的通项，由展开式中的第4项是一次项，可得答案；由第一空，可得展开式中各项系数为，后由组合数性质结合函数单调性比较这六项系数即可得答案.
【详解】设展开式中的第项为，因展开式中的第4项是一次项，则；
由上可知，展开式中各项系数为，又，函数函数值随着增大而减小，则系数最大项只能出现在这6项中，注意到，则系数最大的项是第4项，即.
故答案为：10；.
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．解下列方程.
(1)；
(2).
【答案】(1)5
(2)或.
【分析】（1）根据排列数与组合数的计算公式，化简方程，可得答案；
（2）根据组合数的性质，化简方程，可得方程.
【详解】（1）因为，所以，
所以，解得.
（2）因为，所以，
即，…，，所以，
所以或，
解得或.
16．已知，若.
(1)求的值；
(2)求的值.（结果可以用幂指数表示）
【答案】(1)11
(2)
【分析】
（1）根据二项式定理得到通项，从而得到方程，求出；
（2）令和，即可求解.
【详解】（1）
由题意得，
故，
所以，解得；
（2）由（1）中通项公式可得大于0，小于0，
在中，令得，
，
令得，故，
故.
17．已知在的展开式中满足，且常数项为，求：
(1)的值；
(2)从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）写出二项展开式的通项并令的指数为0，利用常数项为即可求得;
（2）由通项可知展开式中有理项共有6项，无理项有5项，再利用分类分步计数原理即可求得结果.
【详解】（1）根据展开式的通项可得
令，解得
即时，常数项，
解得
（2）令，，解得，
即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项；
所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有种；
18．分别求下列情形的方法数：（用数字作答）
(1)从4名男生4名女生中选出2男2女组成一个队伍；
(2)8个人排成一排，其中甲乙二人必须站在一起；
(3)8个人排成一排，甲乙丙三人互相不能相邻．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先从名男生中选出名，然后再从名女生中选出名，分步相乘从而即可求解；
（2）先把甲乙捆绑看成一个整体，再和其他人一起排列即可求解；
（3）先把其他人排列，然后将甲乙丙三人插空，即可求解.
【详解】（1）先从先从名男生中选出名，有种方法，
再从名女生中选出名，有种方法，
所以共有种方法.
（2）先把甲乙捆绑看成一个整体有种方法，再和其他人一起排列有种方法，
所以8个人排成一排，其中甲乙二人必须站在一起的方法为.
（3）先把其他人排列共有种方法，再把甲乙丙三人插空有，
所以个人排成一排，甲乙丙三人互相不能相邻的方法为.
19．6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.
(1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？
(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
(3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？
【答案】(1)144
(2)1560
(3)252
【分析】（1）利用捆绑法和插空法进行排列计算即可得共有144种；
（2）先将6位同学分成4组，再根据题意进行排列计算即可得出结果；
（3）先计算出所有的录用方式，再减去不符合题意的方式即可得出答案.
【详解】（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列，
所以共有.
（2）先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有种；
再分到4个项目，即可得共有；
（3）先考虑全部，则共有种排列方式，
其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种；
甲参加项目同时乙参加项目共有种，
根据题意减去不满足题意的情况共有种.
题号
一
二
三
四
总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分