2026年高考数学一轮复习分层练习（中档题）11：计数原理（20题）（含答案详解）

这是一份2026年高考数学一轮复习分层练习（中档题）11：计数原理（20题）（含答案详解），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．将3个1和2个0随机排成一个五位数，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．某同学将英文单词“”中字母的顺序记错了，则该同学写错的情况有（ ）
A．种B．种C．种D．种
3．因工作需要，甲乙丙丁4人需要交流工作岗位，现要求甲乙2人均不能在原岗位工作，则不同的交流方法数为（ ）
A．24B．14C．12D．8
4．将3个1和2个0随机排成一个五位数，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．从集合中任取三个数，取出的三个数之和是3的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，湖面上有4个相邻的小岛，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有（ ）
A．12种B．16种C．20种D．24种
7．6名同学到三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（ ）
A．30B．60C．120D．360
8．高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（ ）
A．66种B．93种C．195种D．273种
9．有5名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从5人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．从高一新生中选出3名男生、3名女生组成护旗方队，方队共2排3列，第1排是，，，3名女生，第2排是甲、乙、丙3名男生，且女生与男生甲不同列，则不同的排法种数为（ ）
A．12B．18C．24D．30
二、填空题
11．的展开式中含项的系数为 .
12．若展开式中的系数与的系数相等，则 .
13．的展开式中，的系数为 ．
14．的展开式中的系数是 .（用数字填写）
15．已知，且，则的二项展开式中含项的二项式系数为 ．
16．在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中x的系数为 用数字作答
17．在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 .
18．已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含项的系数为 （用数字作答）
19．已知函数为其导函数，则的展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
20．已知，则 .（用数字作答）
《计数原理》参考答案
1．C
【分析】通过插空法确定基本事件个数，再由古典概型概率公式求解即可；
【解析】将3个1和2个0随机排成一行，可利用插空法.
首先万位必须是1，则余下的2个1产生3个空，
若2个0相邻，则有3种排法；若2个0不相邻，则有种排法.
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
2．D
【分析】先求出英文单词“”中字母所有排列，即可求解.
【解析】因为“”中字母共有种排法，所以该同学写错的情况有种，
故选：D.
3．B
【分析】分甲交流到乙岗位和甲交流到丙或丁岗位两类情况讨论即可；
【解析】当甲交流到乙岗位时，有种方法；
当甲交流到丙或丁岗位时，有种方法；
因此共有14种方法.
故选：B
4．C
【分析】利用插空法，万位必须是1，余下的2个1产生3个空，然后分两种情况：2个0相邻和2个0不相邻求出所有排法，再利用古典概型的概率公式求解即可.
【解析】将3个1和2个0随机排成一行，可利用插空法.
首先万位必须是1，则余下的2个1产生3个空，若2个0相邻，则有3种排法；
若2个0不相邻，则有种排法.
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
5．B
【分析】分析和为3的可能性情况，结合组合数运算求解即可.
【解析】设集合，，，
任取三个数的和为3的倍数，分为两类情形，一类是从集合或取三个数，一类是从三个集合各取一个数，
所以概率是
故选：B.
6．B
【分析】确定可以建设桥梁的位置有几个地方，进而求出建设3个桥梁的所有可能选法，去掉不符合题意的选法，即可得答案.
【解析】由题意知要将4个相邻的小岛A，B，C，D连接起来，
共有个位置可以建设桥梁，
从这6个位置中选3个建设桥梁，共有种选法，
但选出的3个位置可能是仅连接或或或三个小岛，不合题意，
故要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（种）不同的方案.
故选：B.
7．B
【分析】根据场馆安排，对6名同学依次分组，利用分步乘法原则即可求得结果.
【解析】首先安排C场馆的3名同学，即；
再从剩下的3名同学中来安排A场馆的1名同学，即；
最后安排2名同学到丙场馆，即.
所以不同的安排方法有：种.
故选：B
8．B
【分析】分①每个检测点均为一男一女通过、②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女、③六人均在同一个检测点通过三种情况进行讨论求解即可.
【解析】①每个检测点均为一男一女通过，共有种不同的结果；
②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女，共有种不同的结果；
③六人均在同一个检测点通过，共有种不同的结果.
则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的情况有种.
故选：B.
9．A
【分析】假设其中一个人连续参加两天服务求得总共的排列数，从而知道恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数.再由分步计数求出总排列数.再由古典概型求得概率》
【解析】不妨记五名志愿者为 ，假设a 连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有 种方法，
同理：连续参加了两天社区服务，也各有12 种方法，
所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有 种.
总的情况数为 种.
故恰有1人连续参加两天服务的概率为 .
故选：A .
10．C
【分析】先求出排法总数及女生与男生甲同列时的排法为，做差得出女生与男生甲不同列排法即可.
【解析】由题意得第1排和第2排任意排的排法总数为，
当女生与男生甲同列时，排法总数为，
所以女生与男生甲不同列排法总数为.
故选：C.
11．175
【分析】根据二项式展开式通项公式计算求解系数即可.
【解析】依题意得含项的系数为.
故答案为：175.
12．8
【分析】利用二项式定理及已知有，再解组合数方程求解.
【解析】由题设，，且，，
由题意，即，则，
所以，可得.
故答案为：8
13．
【分析】先将其看作关于与的二项式展开，再对进行展开，最后找出的系数.
【解析】把变形为，可得：
要得到，则的展开式中的次数与的次数之和为，即，解得.
当时，.
再根据二项式定理展开，要得到，则，此时该项系数为.
因为中展开式中的系数为，所以展开式中的系数为.
故答案为:.
14．
【分析】根据，分析的系数可能的相乘情况，再求和即可
【解析】的展开式中，要得到的系数，则可能为或.
故含的项为
，
故答案为：
15．20
【分析】令，结合题目条件可得，根据二项展开式的通项公式可得结果.
【解析】由题意得，当为偶数且时，，当为奇数且时，，
令得，，∴，
∴的二项展开式通项为，
由得，故，
∴的二项展开式中含项的二项式系数为．
故答案为：20.
16．7
【分析】先由展开式中只有第5项的二项式系数最大，可得展开式共9项，从而可得以，再由二项展开式的通项公式得到.
【解析】解：因为只有第五项的二项式系数最大，所以
故的展开式通项为
令解得
所以展开式中x的系数为.
故答案为：7.
17．或
【分析】利用二项式系数的性质求出，再求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项.
【解析】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则，
的展开式的通项公式，
设展开式中系数最大项是，则，即，
解得，而，因此或，，，
所以展开式中系数最大的项是或.
故答案为：或
18．15
【分析】根据二项式系数与项的系数和相等求出n，再由通项公式确定常数项即可得解.
【解析】因为的展开式各项系数的和为，二项式系数的和为，
所以，解得
因为的展开式的通项为，
由，得4，
所以，即含项的系数为15．
故答案为：15
19．81
【分析】函数求导得，求含的项即可求出的常数项，求的常数项和含的项即可求出的常数项，通过求和即可求得的展开式中的常数项.
【解析】由得，
因为的通项公式，
令，，
所以的常数项为.
因为的通项公式,
令，，
令，,
所以的常数项为.
的展开式中的常数项为.
故答案为：81.
20．85
【分析】根据二项式展开式的通项公式来求得正确答案.
【解析】因为，
要求，即求展开式中的系数，
根据二项式展开式的通项公式，
对于，其通项为，
令，则展开式中的系数为，
对于，相当于展开式中的系数乘以，
令，则展开式中的系数为，
所以展开式中的系数为，
对于，相当于展开式中的系数，
令，则展开式中的系数为，
那么就是展开式中的系数，
所以，
把，，代入得：.
故答案为：85
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
C
B
B
B
B
A
C