空间向量的应用5种高频考点专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份空间向量的应用5种高频考点专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】A
【详解】对于A，若，则，即，故A正确；
对于B，若，得，则，解得，故B错误；
对于C，若，得，所以，所以，
则或，故C错误；
对于D，若，得，则，解得，，故D错误.
故选：A
例2．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则x的值为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B
【详解】由于，可得：，即，
解得：.
故选：B
例3．（25-26高三上·天津·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是___________．
【答案】平行
【详解】由题意, 因，即平面和平面的法向量是共线向量，故两平面互相平行.
故答案为：平行.
例4．（25-26高二上·河北邯郸·月考）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______.
【答案】2
【详解】由题可得，
所以.
故答案为：2
变式1．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【详解】A：当，则，可得，错，
B：当，则，可得，错，
C：当，则，此时，
所以不垂直，显然不成立，错，
D：当，则，此时，即，则，对.
故选：D
变式2．（25-26高二上·河南·月考）已知直线l的方向向量，平面的法向量，则与的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．直线在平面内D．相交但不垂直
【答案】D
【详解】因为直线l的方向向量，平面的法向量，
所以，
所以与不垂直，故直线与平面不平行，也不可能在平面内；
同时不存在常数使得，即，
即直线的方向向量与平面的法向量不共线，所以直线不垂直于平面，
所以直线与相交但不垂直.
故选：D.
变式3．（25-26高二上·四川内江·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数的值是____.
【答案】/
【详解】因为直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
当，可得，所以，
即，所以，解得.
故答案为：.
变式4．（25-26高二上·山东·期中）已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点，，若平面，则实数的值为_____.
【答案】/
【详解】以D为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
则，，，
设，因，可得，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，即，
又因为平面，则，解得.
故答案为：.
考点二 线线角的空间向量求法
例1．（2026·四川巴中·一模）已知正四面体，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】以点为原点，为轴，在平面内过点作轴与垂直，过作轴垂直于平面，建立空间直角坐标系如下：

不妨设正四面体的边长为2，则，
设点，则有，解得，
因为是的中点，则有，即，
因为是的中点，则有，即，
则，
则，
故选：A.
例2．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足，则异面直线与所成的角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．D．75°
【答案】A
【详解】由于，，故均为等边三角形，
不妨设，
，，
则，即，则，
，，
又，平面
平面，
以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
可得，
设异面直线与所成角为，而故,
由于，故，
故选：A
例3．（25-26高三上·广东汕尾·月考）已知四棱柱的底面为平行四边形，，，且，则异面直线与的夹角余弦值为___________．
【答案】
【详解】根据图形可知
，
所以,
则异面直线与的夹角余弦值为.
故答案为：.
例4．（25-26高二上·上海·月考）在直棱柱中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________.
【答案】
【详解】如图，以 B 为原点，BA 为 x 轴，BC 为 y 轴， 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
则，，
则，,
设异面直线与所成角为，
则，
所以异面直线与所成角的大小为.
故答案为：.
变式1．（25-26高三上·河南鹤壁·月考）如图，已知正三棱柱的棱长均为，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】以的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正三棱柱的棱长均为，
可得，
所以，可得，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故选：C.
变式2．（25-26高二上·安徽六安·期末）我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，作，以为原点，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，
因为，分别为，的中点，所以由中点坐标公式得，，
则，，设异面直线与所成角为，
可得，而，则，
由同角三角函数的基本关系得，解得（负根舍去），
则异面直线与所成角的正弦值为，故C正确.
故选：C
变式3．（25-26高二上·江西宜春·期末）在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为___________．
【答案】
【详解】
因为为的中点，所以．以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，.
因为为线段的一点，且，所以．所以，．
设直线与直线所成的角为，则.
故答案为：
变式4．（25-26高二上·广东佛山·期末）如图，平面，，，，，，则直线与所成角的余弦值为________.
【答案】
【详解】设，，
平面，，故，
，，
平方得：，
代入得：，
即，所以：，
设与的夹角，则，即.
故答案为：
考点三 线面角的空间向量求法
例1．（25-26高二上·上海·月考）如图，四棱锥中，底面为矩形，， 平面，为的中点．
(1)证明：平面
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）∵平面，平面，∴，
∵四边形为矩形，∴，又，平面，
∴平面，
∵平面，∴，
在中，，E为中点，∴
∵，平面，平面，∴平面.
（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
由（1）知：平面，
∴为平面的一个法向量，，.
记直线与平面所成角为，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
例2．（25-26高三下·甘肃白银·月考）如图，在三棱台中，平面，．
(1)证明：．
(2)为的中点，是上一点，若平面，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）∵平面，平面，∴，
∵，平面，
∴平面，
因为平面，∴，
∵，∴；
（2）由（1）可以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，
所以，，
设，，
则，所以，
所以，
设平面的一个法向量，
由题意，即，令，则，
又，解得，所以．
设直线与平面所成的角为，
则．
例3．（2026·陕西西安·模拟预测）在矩形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，得到如图所示的四棱锥．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
在矩形中，，，为的中点，
所以，所以，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以．
（2）取的中点，的中点，连接，则，所以平面，
由题可得，所以，所以两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，
则，取，得，，
所以．设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
变式1．（2026·河南南阳·模拟预测）如图，在三棱台中，底面，，，M，N，P分别为，，的中点.
(1)求证：；
(2)若平面与直线的交点为R.
（i）证明：；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【详解】（1）在三棱台中，由，得，由平面，
平面，得，而平面，
则平面，而平面，于是，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令，则，
，
因此，，即，
所以.
（2）（i），令，得，，
又，由点平面，则存在实数对使得，
则，，
解得，点，，
所以.
（ii），设平面的法向量，
则，令，得，设直线与平面所成的角为
因此，
所以直线与平面所成角的正弦值是.
变式2．（25-26高三上·云南昭通·期末）如图，四边形是等腰梯形，，，，是的中点，是与的交点，将沿折到的位置.
(1)证明：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，因为，为的中点，
所以.
又因为且，
所以四边形为菱形，，
所以，，
又，平面，
所以平面.
同理可得：四边形为菱形，
所以，即平面.
又平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知即是边长为2的等边三角形，
因为，，
所以平面，
所以，，两两互相垂直.
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
已知，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则
取，得，，
故平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，，
，
所以
直线与平面所成角的余弦值为.
变式3．（25-26高二上·湖北十堰·月考）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，且是的中点.

(1)求与所成的角余弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为四边形为直角梯形，且平面，所以两两垂直，
以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为，且是的中点，
可得，
所以，
设直线与所成的角为，则，
所以直线与所成的角的余弦值为.
（2）解：由（1）知，向量，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设直线与平面所成的角为，可得，
所以直线与平面所成的角正弦值为.

考点四 二面角的空间向量求法
例1．（25-26高二上·陕西西安·期末）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．
(1)证明：．
(2)证明：平面．
(3)求平面与平面夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系．设，则．
所以，，，，则，．
因为，所以，即．
（2）由题中数量关系可得，，，，，
则，，．
设平面AEG的法向量为，
则，令，得．
因为，
所以，又平面，所以平面．
（3）由（2）可知平面的一个法向量为．
因为平面的一个法向量为，所以．
设平面与平面的夹角为，则，．
故平面与平面夹角的正弦值为.
例2．（25-26高三下·北京·开学考试）如图，在三棱台中，，，侧面侧面，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)已知，，，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点，连接，因为的中点，则，
在三棱台中，，
则，故四边形是平行四边形，则，
又平面，平面，故平面.
（2）因平面平面，且平面平面，
又平面，则平面.
故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，在平面中，
过点作的垂线为轴，建立空间直角坐标系.
连接，易得，作于点，
因，是的中点，则，，
则，
设平面的法向量为，
则，可取；
设平面的法向量为，
则，可取.
则，
设二面角的平面角为，
则，
即二面角的正弦值为.
例3．（25-26高三上·江西赣州·月考）如图，四棱锥顶点A在平面内，其余顶点均在平面同侧，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，点M为PD的中点，点B与点D到平面的距离为．
(1)求证：；
(2)求平面PCD与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）在四棱锥中，平面，且四边形为正方形，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，因此，即，
所以.
（2）由（1）得，设平面的法向量，
则，取，得，设平面的法向量，
点， ，由点B与点D到平面的距离为，
得，则，由顶点均在平面同侧，
取，得，因此，
平面PCD与平面夹角的余弦值.
变式1．（25-26高三上·陕西西安·期末）如图，在四棱锥中，，为的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，平面，
可得平面，由平面，所以，
且，所以，
又因为，为的中点，则，
且平面，
所以平面.
（2）以为坐标原点，直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，
可得.
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
可知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
变式2．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）如图，四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，，M是AD的中点.
(1)证明：平面平面.
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题可得，，，
所以在中由余弦定理得，
所以，所以，
因为，M为AD的中点，所以.
又，，故，
所以，
又平面，平面，，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知平面，故可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由得，，，，
所以，，，.
设平面的一个法向量.
易得，即，取，可得，
设平面的一个法向量，
易得，即，取，可得，
易得，
故平面与平面夹角的余弦值为.
变式3．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，侧面是矩形，，.
(1)证明：；
(2)若三棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为底面ABCD为正方形和侧面是矩形，
所以，，
又，平面，所以平面.
又平面，
所以.
（2）过点作于E，因为，
由（1）得平面，
又平面，所以，
又，平面ABCD，
所以平面ABCD.
过点E作交AB于F，
以E为原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
设，因为平面，
所以由三棱锥的体积为3，得三棱锥的体积为3，
即三棱锥的体积为3，即，得.
由，，
得，，
则，，，，，
，，，.
设平面的法向量为，
由，可得，
令，可得，，
所以.
设平面的法向量为，
由，可得，
令，可得，
所以，
设平面与平面的夹角为，
则.
考点五 空间距离的空间向量求法
例1．（2026·江西萍乡·一模）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，
则，，，
所以点到直线的距离为
故选：D
例2．（25-26高二上·陕西商洛·期末）在长方体中，，，E为上一点且，则点C到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图所示，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，取，则，得，
所以点C到平面的距离为，
故选：D.
例3．（25-26高三上·山东临沂·月考）已知，，，则M到直线的距离为______.
【答案】
【详解】由题意可得，
所以直线AB的单位方向向量为，
所以，
所以点M到直线AB的距离.
故答案为：.
例4．（25-26高二上·陕西渭南·期末）在棱长为的正方体中，所有顶点位于过点的平面的同侧，若和与平面所成角均为，则到平面的距离为___________．
【答案】
【详解】以D点为原点，建立空间坐标系如图，，
，
设平面法向量，
则①，
②，
联立①②可得③,
若,则,
若,则取,不符合题意,
若,代入③得,取,符合题意,
若,即,
代入③得,
整理得,即,则(舍),
所以,
则到平面的距离.
故答案为:.
例5．（25-26高三下·安徽·开学考试）如图几何体是圆锥的一部分，且，点是上一点（不与重合），二面角的大小为．
(1)求证：；
(2)取的中点，连接，若平面．
（i）求的度数；
（ii）求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）因为二面角的大小为，所以二面角的大小为，
如图1，取的中点，连接，
则，
所以为二面角的平面角，所以，
所以，又，所以，所以，
所以，，所以，即．
又，且平面，
所以平面，又平面，
所以．
（2）（i）如图2，取的中点，连接，则，
因为在平面外，平面，所以平面，
因为平面，，平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面平面，所以，
由（1）知，又，所以；
（ii）由（1）可知可以为坐标原点，分别以为轴建立如图3所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的一个法向量为，
由得，令，得，
所以平面的一个法向量为．
所以点到平面的距离．
例6．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）在如图所示的多面体中，底面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）取棱的中点，连接.
因为为的中点，所以∥，且.
因为，且，所以∥.
所以四边形是平行四边形，所以∥.
因为平面，平面
所以平面；
（2）因为底面是边长为2的正方形，平面，
所以如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
由题可知，.
则.
所以.
设平面的法向量为，则.
令，则，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（2）得.
设平面的法向量为，则.
令，则，所以平面的一个法向量为.
所以点到平面的距离为.
变式1．（25-26高二上·广东深圳·期末）在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，，
所以直线的单位方向向量为，
所以点到直线的距离为.
故选：D
变式2．（25-26高二上·广东广州·期末）在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则直线到平面的距离为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
则，即，
又平面，则平面，
所以直线到平面的距离等于到平面的距离，
则到平面的距离为，
所以直线到平面的距离为.
故选：D
变式3．（25-26高二上·四川泸州·期末）在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________．
【答案】
【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP.
由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直，
则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.
因为，，所以，，
则，
所以，
则点到直线的距离是.
故答案为：.
变式4．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为_____.
【答案】
【详解】在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.

因为点是棱的中点，所以.
设，其中，
连接，则，，
所以点到直线的距离
．
设，，则，
所以．
所以当，即，即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为.
故答案为：.
变式5．（25-26高二上·广东汕头·期末）如图，已知直四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．

(1)求证平面；
(2)求平面与平面的夹角余弦值；
(3)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：取中点，连接，，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有、，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
平面．
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
已知平面，，其中，是的中点，是的中点，
、、、、、，
则有、、，
设平面与平面的法向量分别为、，
，，
分别取，则有、、，，
，
，
平面与平面的夹角余弦值为．
（3）由，平面的法向量为，
则有，
点到平面的距离为．
变式6．（25-26高三上·湖北武汉·期末）如图，在三棱柱中，平面平面，分别是的中点．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，为中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
在中，，即，解得，所以，
所以
以为原点，分别以为轴方向建立空间直角坐标系，
则，
，所以，
因为，所以；
（2）设平面的法向量为，
由，即，令，则，
所以是平面的一个法向量，
又，所以点到平面的距离.
考点目录
空间向量法证明空间位置关系
线线角的空间向量求法
线面角的空间向量求法
二面角的空间向量求法
空间距离的空间向量求法