专题08 数列中的奇偶项和插入项问题（考点专练)-2026年高考数学二轮复习培优讲义（含答案）

这是一份专题08 数列中的奇偶项和插入项问题（考点专练)-2026年高考数学二轮复习培优讲义（含答案），文件包含试卷定稿pdf、化学阅卷细则1pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。

高考中的题型分布：客观题以中档题为主，侧重奇偶项通项求解、局部和计算；解答题可能作为第二问，结合函数、不等式综合考查，难度中档偏难
基础知识必备：等差、等比数列的通项公式与前 n 项和公式，这是处理奇偶项、插入项问题的核心依据。 数列递推关系的基本处理方法，包括累加法、累乘法、构造法等基础技巧。 分奇偶项的数列通项拆分原则，以及插入项问题中原有数列与新数列的项数、公差 / 公比关联逻辑。 数列前 n 项和的分组求和、并项求和等基础方法，适配奇偶项分段求和场景
2026高考预测：考查重点：奇偶项数列的分段通项推导、前 n 项和的分类计算，插入项问题中公差 / 公比的求解与新数列性质分析。 命题趋势：强化知识交汇，可能结合新定义、实际情境设计题目，突出对分类讨论、转化化归思想的考查，与近三年高考 “情景新颖、素养导向” 的命题风格保持一致。


重难知识汇总：奇偶项数列的通项推导 隔项递推型（如 ）：需分别构造奇数项、偶数项两个独立数列求解。 含 型：通过并项转化为等差或等比数列，或直接分 n 为奇、偶讨论。 分段型：明确 n 为奇数、偶数时的不同递推关系，分别求通项后整合。 奇偶项数列的前 n 项和计算 分 n 为奇、偶两种情况讨论，准确判断奇数项、偶数项的项数及对应数列类型。 利用 与 、的关系简化计算，规避项数计数错误。 插入项问题的核心逻辑 等差插入：在两项间插入 k 项后，新数列仍为等差数列，利用中项性质或公差公式建立等式。 等比插入：插入项后保持等比性质，通过公比的传递性求解参数，注意正负项的讨论。
常用技巧方法：分类讨论法：处理奇偶项问题的核心，明确 n 的奇偶性后，将复杂数列拆分为两个常规等差或等比数列。 构造新数列法：将奇数项、偶数项分别构造为新数列，利用等差、等比数列公式求解。 分组 / 并项求和法：奇偶项交替的数列优先并项（如相邻两项相加为常数或等比数列），再整体求和。 方程法：插入项问题中，设新数列的公差 / 公比，根据原有项与插入项的关系列方程求解。

易错避坑提效：项数误判：计算前 n 项和时，混淆奇数项、偶数项的项数（如 n 为奇数时，奇数项有项，偶数项有项）。 公差 / 公比混淆：插入项问题中，误将原有数列的公差 / 公比等同于新数列，忽略插入项对项数间隔的影响。 分类不完整：推导通项或求和时，未明确 n 的取值范围（n∈N*），导致结论遗漏部分情况。 公式应用错误：等比数列求和时忽略 q=1 的特殊情况，奇偶项并项时符号处理失误。

题型一 等差 / 等比数列奇偶项和性质问题
方法点拨：等差数列：项数为 2n 时，S偶−S奇=nd；项数为 2n-1 时，S奇−S偶=an（中间项）。等比数列：项数为 2n 时，S偶S奇=q；项数为 2n+1 时，S奇−a1S偶=q。优先判断项数奇偶性，直接套用性质简化计算，避免复杂通项推导。
【典例01】（25-26高三上·广西南宁·开学考试）《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则值为（ ）
A．15B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题干信息，可得数列是首项为5的等差数列，再结合等差数列的性质和前项和公式，即可求解.
【详解】根据题意，知数列是首项为5的等差数列，
设数列中所有奇数项的和为，则，
设数列中所有偶数项的和为，则，
又由等差数列的性质，知，
所以.
故选：D.
【典例02】（25-26高三上·新疆昌吉·月考）已知数列是等差数列.
(1)若，，求；
(2)若，，求；
(3)若数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列的项数.
【答案】(1)7；
(2)2700；
(3)19.
【分析】（1）求出公差，再根据等差数列通项公式即可得到答案；
（2）利用等差数列求和公式即可得到答案；
（3）根据等差数列的性质得和，从而得到项数.
【详解】（1）在等差数列中，，，公差，
所以.
（2）在等差数列中，，，
所以.
（3）设项数为，，数列公差为，
则，
所以，
而.
∴此数列共有19项.
【变式01】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则的前40项和为 .
【答案】
【分析】根据题中递推式可求得，，即的奇数项为首项为1公差为5的等差数列，偶数项是首项为3公差为5的等差数列，再利用分组并项求和从而可求解.
【详解】因为，，又，所以，
即，所以数列的奇数项是以1为首项，5为公差的等差数列；
同理，由知，数列的偶数项是以3为首项，5为公差的等差数列．
所以前40项和为．
故答案为：.
【变式02】（24-25高三下·广东广州·月考）已知数列满足，其前项和为，且．则 ；若对任意的，恒成立，则首项的取值范围是 ．
【答案】 3036
【分析】对于第一空，因为给定条件是前项和与关系式，所以当时，，根据已知条件列出，与已知条件作差即可得出是奇数项与偶数项均为公差为等差数列的结论，即可得出答案.对于第二空，数列为公差为6的等差数列，最后分别讨论，2，3，4，5，6，成立的条件，以及证明，即可满足对任意的，恒成立，即可求得的取值范围.
【详解】①
当时，，故，
，，即数列的奇数项与偶数项均为公差为3的等差数列，即数列为公差为6的等差数列，
故，则.
②由上可知，数列为公差为6的等差数列，
若对任意的，恒成立，
由得，，即，可解得；
由得，，即，结合，可解得；
由得，，即，结合，可解得；
当时，
由得，，
即，即，
结合，可解得；
同理，由上可得，，
故恒成立，综上，.
故答案为：3036；
【变式03】（2025·山东威海·一模）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)当为偶数时, ; 当为奇数时, ;
【分析】（1）根据的关系可得，进而根据等差数列的性质即可求解，
(2)数列的前项的和分奇偶求和,先求，
又，，，是首项为2，公差为2的等差数列，再求奇数项和即可.
【详解】（1）由得时，
两式相减得,整理得
因为，所以,所以数列是以为公差的等差数列
在中令解得
所以.
（2）当时
，
又，，...，是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，
故．所以
当时
，
又，，...，是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，
故．所以
当为偶数时, ; 当为奇数时, ;
题型二 含分段函数的奇偶项求和问题
方法点拨：分组求和：将奇数项和偶数项分别视为两个独立数列求和。项数区分：n 为偶数时，奇偶项各n2项；n 为奇数时，奇数项n+12项、偶数项n−12项。可先求前 2n 项和（奇偶项成对），再推导 n 为奇数时的和（Tn=Tn+1−bn+1）
【典例01】（25-26高三上·福建福州·月考）已知数列满足，对任意，有，则数列的前项和=（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】D
【分析】根据条件研究，进而可得.
【详解】因为，
，
所以.
所以.
故选：D
【典例02】（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．（又称角谷猜想等）如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：，（为正整数）， ，若，记数列的前项和为，则
【答案】4727或4748
【分析】推出或，从第5项起以1，4，2周期性出现，分组求和可得答案.
【详解】由，可得或，
当时，；
当时，，
则数列的前2026项为，或，
当时，从第5项起以1，4，2周期性出现，且最小正周期为3；
当时，从第2项起以1，4，2周期性出现，且最小正周期为3，
可得或，
故答案为：4727或4748.
【变式01】（24-25高三上·辽宁·期末）已知数列满足且，，记的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据递推公式可得数列奇数项和偶数项的特征，分别求和即可求得结果.
【详解】当为偶数时，，又，的偶数项是以为首项，为公差的等差数列；
当为奇数时，，又，的奇数项是以为首项，为公比的等比数列；
.
故选：B.
【变式02】（2024·全国·模拟预测）在等比数列中，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】根据等比数列性质及分组求和法，利用等比数列的前项和及数列的单调性即可求解.
【详解】由可得，
故，设的公比为，则，即，
故，
则．
由于时，，
故随着的增大而增大，而，，
故满足的最小正整数的值为6．
故选：B.
【变式03】（24-25高三上·天津和平·月考）设数列 满足，，，令，则数列的前100项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项公式，进而求出，再利用分组求和法求解即得.
【详解】数列满足，，，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即，
因此，显然的周期为4，
则
，
令，则有，
因为，
所以数列是等差数列，
所以数列的前100项和，即数列的前25项和为.
故选：B.
题型三 连续两项和 / 积型奇偶项问题
方法点拨： = 1 \* GB3 ①隔项递推：由an+2±an=常数（或规律项），判断奇数项、偶数项分别为等差 / 等比数列。 = 2 \* GB3 ②分组求和：相邻两项为一组（如(a1+a2)+(a3+a4)+⋯），利用 f (n) 的规律求和。 = 3 \* GB3 ③通项求解：分别求出奇数项、偶数项通项，统一表达式（若可统一）。
【典例01】（24-25高三·河南焦作·期末）已知数列满足，则的前100项和为（ ）
A．2475B．2500C．2525D．5050
【答案】A
【分析】由题可得，令，将问题转化求，由等差数列的求和公式计算可得.
【详解】由，可得，
，
所以，
令，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
由于，
所以的前100项和为2475，
故选：A
【典例02】（25-26高三上·重庆·期中）(多选)已知数列 的前 项和为 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】合理赋值即可判断A，根据，再升次作和即可判断B；利用分组求和法即可判断C，求出，再代入求解一元二次不等式即可.
【详解】对A，赋值得，所以A正确；
对B，又由，，相加得，所以B正确；
对C，，，
则
，所以C错误；
对D，所以
，
结合，解得，所以D正确.
故选：ABD．
【变式01】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知数列满足，数列满足，其中，则数列的前2025项和为（ ）
A．2025B．2023C．D．0
【答案】A
【分析】由的规律，从而得到的规律，则数列四项之和为，即可求解.
【详解】因为，所以，，
，，，
所以，
所以，，，，，，
，所以数列四项之和为，
故数列的前项和为.
故选：A
【变式02】（2025·湖北黄冈·三模）(多选)已知数列的前项和为，.则下列式子的值可以确定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】推导出，，其中，的值不确定，然后利用分组求和法可判断AB选项；利用并项求和法可判断CD选项.
【详解】由题意得，，即，，
所以，，，，
可得，，
由此可得数列中相邻两奇数项的和可以确定，相邻两偶数项的和可以确定，
其中，的值不确定.
对于A选项，
，
其中的值不确定，故选项A错误；
对于B选项，
，
每一组数都可以确定，故选项B正确；
对于D选项，
，
每一组数都可以确定，故选项D正确；
对于C选项，因为，故，
因为
，每一组数都可以确定，
则为定值，故选项C正确.
故选：BCD.
【变式03】（2025·河北·二模）已知数列的前项和为，且满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A．是等比数列B．是等比数列
C．D．
【答案】AB
【分析】设，求出，可构造等比数列、，进而求出数列的通项，再利用分组求和求.
【详解】设，则，
则，解得或，
当时，，
因，所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以①，故A正确；
当时，，
因，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以②，故B正确；
①②两式作差得，，故C错误；
数列的前项和为，
数列的前项和为，
则，故D错误．
故选：AB．
题型四 插入项构造新数列问题
方法点拨：确定新数列构成：插入 n 项后，相邻原数列项与插入项共 n+2 项，利用等差 / 等比通项公式求插入项的公差或公比。 项数计算：统计原数列项数与插入项总数，确定目标项在新数列中的位置。 分组求和：分原数列项和插入项分别求和，再合并结果
【典例01】（2025·山东日照·二模）已知数列的通项公式，在每相邻两项，之间插入个2（），使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（ ）
A．20B．21C．22D．23
【答案】B
【分析】根据已知列举出的项，再根据数列构成求、，即可得.
【详解】由题设，数列各项依次为，
当时，，
当时，，
所以成立的n的最小值为21.
故选：B.
【典例02】（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（ ）
A．30B．4944C．9876D．14748
【答案】B
【分析】由题意可得数列的前项和，数列的前项和，用，可求解.q
【详解】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列，
所以数列的前项和为，
数列的通项公式为，所以数列为等比数列，
所以数列的前项和为，
所以
，
，
当时，.
故选：B.
【变式01】（25-26高三上·河南南阳·期中）已知数列的通项公式，在每相邻两项之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（ ）
A．35B．36C．37D．38
【答案】A
【分析】利用列举法分析数列，由此求得正确答案.
【详解】由题可知，数列各项依次为：，
当时，，
当时，，
所以成立的的最小值为35.
故选：A.
【变式02】（25-26高三上·辽宁大连·月考）设数列满足（），，.在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求 .
【答案】84
【分析】由条件证明数列为等比数列，利用累加法求数列的通项公式，数列中在之前共有项，由此确定前项的值，再分组，结合等比求和公式可求得答案.
【详解】因为，所以，
又，，所以数列为首项为1，公比为2的等比数列，
所以，所以当时，
，，，，
所以，
所以当时，，又也满足该关系，
所以数列的通项公式为；
数列中在之前共有项，
当时，，当时，，
所以
.
故答案为：84
【变式03】（25-26高三上·天津滨海新·期中）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求；
(3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）设公差和公比，根据条件列出方程组求解，再根据等差、等比数列的通项公式求出；
（2）求出，再利用错位相减求出奇数项的和，利用裂项相消求出偶数项的和；
（3）依据规律找出的项数和的个数即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，则，故，
所以，
则，由，则，
又由是与的等差中项，所以，则，即，
解得或（舍去），
故；
（2）由（1）可得，，
，
令，
，
两式相减得，，
，
则，
因，
则
则；
（3）根据题意可得，，
之前共有个，
与之间共有个，
所以共有7项，共有个2，
则.
题型五 含(−1)n的奇偶项并项求和问题
方法点拨：并项求和：n 为偶数时，相邻两项合并（如(−a1+a2)+(−a3+a4)+⋯）；n 为奇数时，先求前 n-1 项和（偶数项）再加第 n 项。裂项辅助：若含分式，先裂项再并项（如(−1)n(12n−1+12n+1)），简化计算。分类表达：最终和式按 n 的奇偶性分类书写，避免统一表达式复杂
【典例01】（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得其前20项和为82，则写错之前这个数为（ ）
A．64B．C．100D．
【答案】A
【分析】由并项求和及等差数列的求和公式即可直接求得答案．
【详解】，则其前20项和为．
设写错项为，则，解得，
故写错之前这个数为．
故选：A．
【典例02】（25-26高三上·重庆·期中）(多选)已知数列 的前 项和为 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】合理赋值即可判断A，根据，再升次作和即可判断B；利用分组求和法即可判断C，求出，再代入求解一元二次不等式即可.
【详解】对A，赋值得，所以A正确；
对B，又由，，相加得，所以B正确；
对C，，，
则
，所以C错误；
对D，所以
，
结合，解得，所以D正确.
故选：ABD．
【变式01】（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等差数列求和公式计算，再结合分组求和计算求解.
【详解】数列的通项公式为，其前n项和为，
所以，
则数列的前2025项和为

.
故选：D.
【变式02】（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（ ）
A．B．C．505D．1013
【答案】D
【分析】根据成等比数列，结合等差数列的通项公式可得，进而得到，，进而求和即可.
【详解】设首项为，因为成等比数列，
所以，则，
解得或，当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除，
当时，，此时令，
而其前2025项和为，
.
故选：D
【变式03】（2025高三上·湖北孝感·专题练习）数列满足：，，．
(1)求数列的通项公式.
(2)数列满足：，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由题意可得，可求通项公式；
（2）利用分组求和法可求数列的前项和．
【详解】（1）因为，所以，
又，
故数列是以3为首项，公比是的等比数列；
所以 ，；
（2）由（1）得 ，
则
．
（限时训练：15分钟）
1． （25-26高三上·四川绵阳·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解.
【详解】等差数列共项，其中奇数项有项，偶数项有项，
奇数项和为①，
偶数项和为②．
因为，所以①÷②，得，则．
故选：A．
2． （2025高三·全国·专题练习）一个等差数列共有项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，则此数列第项为（ ）
A．31B．30C．29D．28
【答案】C
【分析】由题中条件及等差数列的性质可得：，两式相减即可求解.
【详解】由题中条件及等差数列的性质可知：，
所以.
故选：C.
3．（24-25高三下·河北张家口·开学考试）已知数列的前项和为，且，，则的值为（ ）
A．360B．480C．960D．1280
【答案】D
【分析】根据给定的递推公式可得，再求出数列的前40项中的奇数项的和及偶数项的和即可.
【详解】当n为奇数，，，
当n为偶数，，，
因此，的奇数项是以3为首项，3为公差的等差数列；
的偶数项是以为首项，3为公差的等差数列，
所以
.
故选：D
4．（2025·广东广州·模拟预测）已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（ ）
A．9143B．9145C．10009D．10154
【答案】D
【分析】由题意得，结合题意可得，当时，，利用等差数列的前项和公式求出这10 项和，当时，，这些项的和为，利用分组求和法及等差数列、等比数列的前项和公式求解，再加上时的10项和即可求解.
【详解】由题意得，
，，，
所以，
当时，，
共10项，这10项的和为,
其余项有项，
当时，，
这些项的和为
，
所以.
故选：.
5. （2025·江西·三模）已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据递推关系即可判断A选项；再利用迭代法可求数列的通项公式判断B选项；利用分组求和判断C选项；利用等差数列求和公式判断D选项.
【详解】因为，所以，解得，故A错误；当时，
，
则，且也符合，故B正确；
，故C正确；
，则，故D正确.
故选：BCD
6. （2025·山东日照·二模）已知数列的通项公式，在每相邻两项，之间插入个2（），使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（ ）
A．20B．21C．22D．23
【答案】B
【分析】根据已知列举出的项，再根据数列构成求、，即可得.
【详解】由题设，数列各项依次为，
当时，，
当时，，
所以成立的n的最小值为21.
故选：B.
7.24-25高三上·黑龙江牡丹江·期中）(多选)数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则前n项和为B．
C．数列的前n项和为D．数列最大项为第10项
【答案】ACD
【分析】由，可得是首项为1公差为2的等差数列，求等比数列前n项和判断A选项；由等差数列的性质判断B选项；并项求和法判断C选项；列不等式求数列最大项判断D选项.
【详解】由，可得，又，
所以是首项为1公差为2的等差数列，，
对于A，，
则前n项和为，
A选项正确；
对于B，由等差数列性质可得，
B选项错误；
对于C，，数列的前n项和为，
为奇数时，；
为偶数时，，
所以数列的前n项和为，C选项正确；
对于D，设，则，，
当时，即，解得，
由，则有，即数列最大项为第10项，D选项正确.
故选：ACD.
8. （2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)求的通项公式；
(3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
(3)12182
【分析】（1）构造数列为等比数列，通过等比数列通项公式即可求的通项公式；
（2）易知是常数列，即可求的通项公式；
（3）根据新数列的形成规则，判断其前100项中数列，分别有多少项，再分组求和可求.
【详解】（1）由可得，又，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，即.
（2）方法一：由已知得，所以，
所以，又，
等式两边同时相乘，可得，
得，该式对也成立.
故.
方法二：由可知是常数列，
所以，
即.
（3）设在的前100项中，来自的有项.
若第100项来自，则应有，
整理可得，该方程没有正整数解，不满足题意.
若第100项来自，则应有，整理可得.
易知在时单调递增，
当时，，不满足题意，当时，，满足题意，
故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自，
所以.
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题型二 含分段函数的奇偶项求和问题（）
题型三 连续两项和 / 积型奇偶项问题（）
题型四 插入项构造新数列问题（）
题型五 含(−1)n的奇偶项并项求和问题（）
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