新高考数学二轮复习大题题型归纳训练专题06 数列中的恒成立和存在性问题（2份，原卷版+解析版）

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1．设为正项数列的前项和，满足.
（1）求的通项公式；
（2）若不等式对任意正整数都成立，求实数的取值范围；
（3）设（其中是自然对数的底数），求证：.
【答案】（1）（2）（3）证明见解析；
【分析】（1）根据题中的关系式，利用得出数列是等差数列，可得通项公式；
（2）时，求出的范围，接着证明的此范围对的正整数都成立，首先由，放缩，然后结合二项式定理证明结论；
（3）根据（1）中的结论得到数列的通项公式，求出变形并放缩
，再由当时， 放缩裂项相消法求和证明结论.
【详解】（1）∵，
∴，
两式相减，得，
即，
∴，
∵为正项数列，∴，
又由，解得或（舍去），
∴.
（2），即，
当时，，
解得且，
下面证明当且时，对任意正整数都成立，
当时，，
∴，
又当时，上式显然成立，
故只要证明对任意正整数都成立即可，
又，
∴实数的取值范围为.
（3）证明：由题得，
∵ ，
∴.
当时，
，
∴ .
【点睛】本题考查已知与关系求数列的通项公式，考查不等式恒成立问题以及不等式的证明．在利用时，注意，数列不等式恒成立，可从特殊值出发，如时成立得出参数的范围，然后再考虑它对时是否也成立．不等式的证明，根据不等式的形式首先考虑能否求和，.由于是不等式可能考虑用放缩法，适当放缩后再求和．本题对学生分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力要求较高，属于困难题．
2．已知数列是首项的等差数列，设.
(1)求证：是等比数列；
(2)记，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，记，若对任意正整数，不等式恒成立，求整数的最大值.
【答案】(1)证明见解析.
(2)
(3)11
【分析】(1)运用等差数列的通项公式，可得公差，进而得到，再由对数的运算性质和等比数列的定义，即可得证；
(2) 由（1）得 ，再利用裂项相消法求和即可；
(3)根据题意，求得，设，判断其为单调递增，求得最小值为，再由恒成立思想可得的范围，进而得到整数的最大值.
【详解】（1）解：由及，得，所以.
因为，所以，即.
则，所以数列是首项，公比的等比数列.
（2）解：由（1）得，所以
（3）解：因为，
则问题转化为对任意正整数使不等式恒成立.
设，则
.
所以，故的最小值是.
由，所以，则整数可取最大值为11.
3．已知数列的前n项和为，满足：
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，令，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用关系可得，即有，将两式相减并整理有，即可证结论.
（2）由（1）结论及题设可得，令、，应用作差法比较它们的大小，即可确定的单调性并求其最大值，结合恒成立求m的取值范围．
【详解】（1）由题设，，则 ，
所以，整理得，则，
所以，即，，
所以，故数列为等差数列，得证.
（2）由，可得，又，结合（1）结论知：公差，
所以，故，则，
所以，且，
所以，即，
所以，在且上递减，则，
要使对任意恒成立，即，
所以.
4．设．
（1）当时，求证：；
（2）证明：对一切正整数n，都有．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】(1)利用导数确定函数在上单调递增，从而有当时，恒成立；
(2) 放缩法构造数列不等式，再利用裂项相消法证明不等式.
【详解】(1)由题知，，，故单调递增.
当时，，
所以在单调递增，有恒成立.
(2)由(1)知当时，，取
有，
故
即待证不等式成立．
5．已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设的前项和为，求
（3）设，的前n项和为，若恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1）；；（2）；（3）．
【分析】(1) 设等差数列的公差为，由已知条件，结合等差数列的通项公式和求和公式可得，从而可求出首项和公差，即可求出通项公式；设等比数列公比为，由已知条件结合等比数列的通项公式即可求出公比，从而可求出的通项公式.
(2)由错位相减法即可求出前项和.
(3)由(1)可知，整理可得，由裂项相消法可得 ，由恒成立可得恒成立，结合的单调性即可求出实数的最大值.
【详解】解：(1)设等差数列的公差为，
，，.
设等比数列公比为（其中），因为，
由，可得，解得或（舍去）；
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
则①．
②
由①减去②得，
则，所以的前n项和.
（3）由(1)可知，，
则
恒成立，恒成立，
单调递增，时，，
最大值为.
【点睛】方法点睛:
常见数列求和的方法有：公式法；裂项相消法；错位相减法；分组求和法等.
6．已知数列中，，点 ，在直线上.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，Sn为数列的前 n项和，试问：是否存在关于n的整式，使得恒成立，若存在，写出 的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，，证明见解析.
【解析】（1）根据点在直线上，将点坐标代入方程，可得与的关系，根据等差数列的定义，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，进而可求得的表示式，化简整理，可得，利用累加法，即可求得的表达式，结合题意，即可得答案.
【详解】（1）因为点，在直线上，
所以，即，且，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以；
（2），所以，
所以，即，
所以，
，
所以
所以，
根据题意恒成立，
所以，
所以存在关于n的整式，使得恒成立，
【点睛】解题的关键是根据表达式，整理得与的关系，再利用累加法求解，若出现（关于n的表达式）时，采用累加法求通项，若出现（关于n的表达式）时，采用累乘法求通项，考查计算化简的能力，属中档题.
7．记为数列的前项和，已知．证明：
(1)为等比数列；
(2)．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【分析】（1）根据递推式可得，即，由等比数列定义证明即可；
（2）由（1）求得，进而求出的通项公式，结合，即可证结论.
【详解】（1）由已知得①，②，
②①：，即，
特别地，①中令得：，即，
所以是首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）知：，所以，
故，注意到，
显然时成立；
当时，，
所以得证.
8．已知数列的前n项和为，．
(1)求；
(2)若，对任意的，，，求 的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用和的关系可得，进而即得；
（2）由题可得，令，然后求数列的最小值即得.
【详解】（1）由，
，
可得，即，
所以，
所以，
令，可得，令，可得，
所以为奇数时，，
当为偶数时，，
即；
（2）因为，，
当时，，
令，则
当时，
，
所以，当时，，
所以的最小值为，
所以.
9．已知等差数列 满足：的前n项和为 ．
(1)求及 ；
(2)令，若对于任意 ，数列的前n项和 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1) ；
(2).
【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意可列出方程组，即可求得d，进而求得答案；
（2）利用裂项求和法求得数列的前n项和，说明，结合数列不等式恒成立可求得参数的范围.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由题设可得： ，解得：，
∴ ， ；
（2）由（1）可得：，
∴
，
又恒成立，
∴，
即实数m的取值范围为[，+∞）．
10．已知数列的前n项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，记数列的前n项和为，若，对任意恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即得；
（2）利用错位相减法求出，然后分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，由有，两式相减可得，
即是以为首项，以为公比的等比数列，
所以．
（2）由得，
所以，
，
两式相减得
，
所以．
由，得，
即恒成立．
当时，，所以；
当时，不等式恒成立；
当时，，所以；
综上，．
11．已知等比数列的前项和为，且，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)， ；，
(2) ．
【分析】（1）设等比数列的公比为，由求得公比，再由求解；进而由求解.
（2）由对于任意的恒成立，令，，求得其最小值即可.
【详解】（1）解：设等比数列的公比为，
由，显然，所以，解得，
由于，所以的通项公式为，；
所以，，
所以的通项公式为，．
（2）因为恒成立，即对于任意的恒成立．
令，，
则，
当时，所以，即的最小值为，
所以实数的取值范围为.
12．设等差数列的前n项和为，数列是首项为1公比为的等比数列，其前n项和为，且，对任意恒成立.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据已知条件及等差等比数列的通项公式及前n项和公式即可求解；
（2）利用（1）得出的通项公式，再利用错位相减法求出，将不等式恒成立问题转化为最值问题即可求解.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为则
由，得即
由①得，由②得，由③得，
所以数列的通项公式为，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，所以，
①
②
②-①得：
化简得：，
又因为，即
即，
（i）当时，，所以；
（ii）当时，，
令，则
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增；
当时，取得最小值为
，即,
所以的取值范围是.
13．已知数列、满足，，，﹒
(1)求证：为等差数列，并求通项公式；
(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．
【答案】(1)证明见解析；.
(2).
【分析】(1)证明为常数即可证明为等差数列，根据等差数列通项公式即可求通项公式，于是可求通项公式；
(2)根据累乘法求，再求出，根据通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和，求单调性并求其范围即可求λ的范围.
【详解】（1）∵，，两边同除以得：
，从而，，
是首项为1，公差为1的等差数列，，
∴；
（2）由，，
∴，∴，
∴，
∴，
，
两式相减得，，
∴
＝，
中每一项，为递增数列，∴，
∵，∴，
，
.
14．已知正项数列的首项，前n项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）化简数列的递推公式，得，进而可求解数列的通项公式；
（2）利用裂项法，求解，列出不等式，即求.
【详解】（1）当时，，
∴，即，又，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故，
又由 （），
当时，也适合，
所以.
（2）∵，
∴，
又∵对任意的，不等式恒成立，，
∴，解得或.
即所求实数的范围是或.
15．已知各项为正数的数列的前项和为，若.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用公式，时，，代入化简得到数列的递推公式，即可求解通项公式；
（2）由（1）的结果，利用裂项相消法求和，再结合数列的单调性证明不等式.
【详解】（1）当时，，解得；
当时，由，得，
两式相减可得，，又，
，即是首项为，公差为的等差数列，
因此，的通项公式为；
（2）证明：由可知，所以，
，
因为恒成立，所以，
又因为，所以单调递增，所以，
综上可得．
16．函数满足，，且与直线相切.
(1)求实数，，的值；
(2)已知各项均为正数的数列的前项和为，且点在函数的图象上，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据已知条件，可推得，又已知切线方程，设出切点，根据导函数即可解得的值；
（2）由已知可得，，进而可推得是等差数列，求出，.则原不等式可转化为，对是奇数以及偶数进行讨论，即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）因为，，
，
又，，
所以有，解得，所以，.
因为函数与直线相切，设切点为，
则，，
即，解得，所以，，，，
所以.
（2）由（1）知，，即.
当时，，解得或（舍去）；
当时，有，，
所以有，整理可得，
因为，所以，即.
所以，是以为首项，1为公差的等差数列.
所以，，.
则不等式对于任意恒成立，可转化为
，
即对于任意恒成立.
①当为偶数时，即有恒成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立，此时有；
②当为奇数时，即有恒成立，
令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
又，，
所以当为奇数时，最小值为.
所以，，即有.
综上所述，.
【点睛】在求解数列不等式恒成立时，常采用分离参数转变为求最值的方法，然后结合不等式或者构造函数求导得到数列的单调性，进而得到最值.本题将分离后，转化为对于任意恒成立.考虑到的正负问题，对分为奇数和偶数讨论，然后结合基本不等式以及构造函数求导得到的单调性，进而得到最值，最终求得的取值范围.
17．已知为等差数列，为公比的等比数列，且，，．
(1)求与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）利用等差和等比数列通项公式可构造方程组求得，由此可得；
（2）采用分组求和的方式，根据等比数列求和公式和裂项相消法可求得；
（3）将恒成立的不等式转化为，令，利用作差的方式可求得的单调性，得到，由此可得的取值范围.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由得：，又，，
，.
（2）由（1）得：，
.
（3）由（2）得：对任意的，恒成立，
对任意的，恒成立；
令，则；
则当时，；当时，；
，，即实数的取值范围为.
18．已知数列的前项和为，满足：.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，数列满足，记为的前项和，求证：；
(3)在（2）的前提下，记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由条件可得、，然后可得、，两式相减即可证明；
（2）首先可求出、，然后计算出即可；
（3）首先可得，然后利用裂项求和法求出，然后求出，然后分为偶数、为奇数求解即可.
【详解】（1）因为，所以，，
两式相减可得，即
由可得，
两式相减可得
化简可得，所以，
所以数列为等差数列；
（2）由可得，可得，
因为，所以，
因为数列满足，
所以，所以，
所以数列为等比数列，
因为，所以，，
所以，
所以，即，
（3）由（2）可得；
由已知
可得
设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为，
所以，
当为奇数时，，
所以
当为偶数时，，
所以
由，
得，
即，
当为偶数时，对一切偶数成立，所以，
当为奇数时，对一切奇数成立，所以此时，
故对一切恒成立，则.
19．设是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前n项和为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…，在和之间插入n个数、、…、，使、、、…、、成等差数列，求；
(3)对于（2）中求得的，是否存在正整数m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)存在，所有的正整数对为及.
【分析】（1）设数列的公差，利用等差数列的通项公式基本量计算求出d＝1，从而，再由，推导出是首项为，公比为的等比数列，由此求出通项公式；
（2）由题意推导出公差，从而，利用公式得到，故，由此利用错位相减法能求出；
（3）由及第（2）问得到，求出当，n＝2，n＝3时的值，再利用导函数证明当 时，有，即证，由此能求出所有的正整数对．
【详解】（1）设等差数列的公差为d，（d≠0），
则由，得，
因为，所以，
所以；
由，①
当时，，②
①﹣②，得，
∴，
又当时，，解得：，
∴是首项为，公比为的等比数列，
∴．
（2）在和之间插入n个数、、…、，使、、、…、、成等差数列，设公差为，
∴，
则，
∴，
∴，①
则，②
①﹣②得，
∴．
（3）假设存在正整数m，n，使成立，
．
，
当时，不合题意，
当n＝2时，，
当n＝3时，，
下证，当 时，有，即证，
设，，则，
∴在上单调递增，
故时，，
∴，
∴时，m不是整数，
∴所有的正整数对为及.
【点睛】本题第二问和第三问有难度，第二问需要先理解题意，转化为等差数列通项公式和求和公式，结合错位相减法进行求解，而第三问则是数列与函数的综合，需要利用导函数来证明当 时，有，即证，属于综合题，难度大．
20．已知数列的前n项和为，且，，．
(1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】(1) 要证明数列是等比数列，需要把已知递推公式变形为等于非零常数，求出数列的通项，再利用累加法求的通项公式.
(2) 求出，不等式等价于恒成立，令，利用单调性求的最大值即可.
【详解】（1）由，得，则，
又，则，
所以，数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
则，则时，
．
当时，满足上式，所以，的通项公式为．
（2）由（1）可知，数列的首项为1，公比为2的等比数列，则，
由，即恒成立．
令，则，
则时，，即数列递增；
当时，，即数列递减，
则的最大值为，所以，实数的取值范围是．
21．已知函数满足，若数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）由，运用倒序相加求和，可得所求通项公式；
（2）由（1）可得的通项公式，由数列的裂项相消求和可得，再由参数分离和配方法求得最值，即可得到所求的取值范围.
【详解】（1）因为,
由①,
则②,
所以可得：，
故，.
（2）由（1）知，，则时，，
所以

.
又由对一切恒成立,可得恒成立,
即有对一切恒成立.
当时,取得最大值，所以；
故实数的取值范围是.
22．若为等差数列，为等比数列，．
(1)求和的通项公式；
(2)对任意的正整数，设求数列的前项和．
(3)记的前项和为，且满足对于恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1),
(2)
(3)
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.，，
，分别利用“ ”法和“ ”法求解.
（2）由（1）知当n为奇数时，，
当n为偶数时，，然后分别利用裂项相消法和错位相减法求和，然后相加即可.
(3)把恒成立转化为求最大值问题,作差比较大小,应用单调求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
因为，，
所以，
解得d=1.
所以的通项公式为.
由，
又，得，
解得，
所以的通项公式为.
（2）当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
①
由①得 ②
由①②得，
，
，
所以.
所以.
所以数列的前2n项和为.
（3）因为,且,
而,故
即,可得,对于恒成立
令,
当时, ,即,所以,
当时, ,即
所以,所以
23．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且为等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，或；
【分析】（1）由题设且，应用关系求数列通项公式；
（2）由（1）知，构造且并利用导数研究单调性判断是否存在最大值，即可得结论.
【详解】（1）由题设且，
当时，，可得；
当时，，则；
由，故，
所以是首项、公差均为1的等差数列，故.
（2）由（1）知：，要使，即恒成立，
令且，则，
若，即，则，
在上，递增，上，递减，
所以在有最大值，又，
对于，当时，，当时，，
综上，，故存在或使恒成立.
24．已知数列是递增的等比数列．设其公比为，前项和为，并且满足，是与的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，是的前项和，求使成立的最大正整数的值．
【答案】(1)（）
(2)5
【分析】（1）根据等比数列的性质结合条件是与的等比中项得到，联立条件得到和，根据题目条件和等比数列的通项公式即可求解.
（2）根据（1）求得，利用错位相减求和得到，从而得到，通过函数法判断出是单调递减数列，即可求解.
【详解】（1）因为是与的等比中项，所以，
则由题意得：，即，解得：或，
因为数列是递增的等比数列，所以，即，，
所以，
故数列的通项公式为（）.
（2）由（1）得：（），
则
，①
即，②
则得：
即（），
所以（），
设，则（），
因为在上单调递减，
所以是单调递减数列，
又有，，
所以当且时，成立，
故使成立的最大正整数的值为.
25．已知数列的前n项和为
(1)证明：数列{}为等差数列；
(2)，求λ的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由得的递推关系，变形后由等差数列的定义得证；
（2）由（1）求得，从而代入已知等式后求得得，然后化简不等式并分离参数转化为求函数的最值，得结论．
【详解】（1），∴，∴，
∴，
又∵，∴，
所以数列是以为首项和公差的等差数；
（2）由(1)知：，
所以，
∴，
∴，
又满足上式，
∴，
因为，
所以，
所以，
记，
又在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以，
所以，
所以的最大值为．
26．已知函数，其中
(1)当时，求；
(2)设，记数列的前n项和为，求使得恒成立的m的最小整数.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）依据题给条件，利用等差数列前n项和公式即可求得；
（2）先利用裂项相消法求得数列的前n项和，再依据题给条件列出关于m的不等式，解之即可求得m的最小整数
【详解】（1）由，可得
则当时，
（2）由（1）可得，当时，
则当时，
，
则当时，数列的前n项和
又当时，，，
由恒成立，可得，解之得
则当时，使得恒成立的m的最小整数为2
当时，成立，
综上，使得恒成立的m的最小整数为2
27．已知数列的前项和为
(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，；
(2)或.
【分析】（1）由递推关系变形可得，结合等差数列定义证明结论，利用等差数列通项公式求出数列的通项公式，再根据和的关系求数列的通项公式；
（2）由（1）计算，判断数列 的单调性，令的最大值小于即可求解.
【详解】（1）由得，又，
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，
，即
当时，
，
又不满足上式，
所以；
（2）由（1）知，
当时，；
当时，，即
所以的最大值为，
依题意，即，
解得或.
28．已知为等差数列，公差为d，是公比为2的等比数列，且，．
(1)证明：；
(2)求集合的子集个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)128个
【分析】（1）根据题意列出方程组即可证明结论；
（2）根据题意化简可得，从而可求出集合中的元素个数，进而可求解其子集个数．
【详解】（1）由题意知，即，消去得，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，，
所以，
，，
所以，即，
所以，，故可取，解得，
故集合中共有7个元素，
所以集合的子集个数为个．
29．已知数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，设数列的前n项和，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由数列的递推公式，利用累乘法求数列通项；
（2）利用错位相减法求数列的前n项和，可得结论.
【详解】（1）由及，得，
所以，
当时，有
．
当时，，符合上式，所以．
（2）由（1）得，所以，
所以，
所以，
两式相减，得
，
所以．
因为，所以。
30．已知数列中，，为数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，为数列的前项和，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用的关系结合递推式可得，分奇偶项计算即可；
（2）结合（1）的结论利用递推关系可得，再利用，放缩求证不等式即可.
【详解】（1）由题意得，所以，
所以，所以，①
因此．②
由②-①，得，即，
因此或．
因为，所以，所以，
所以数列的奇偶项分别成等差数列，且公差为2．
又因为，得，
所以，．所以．
（2）证明：由（1）知，
可得，
两式相减，得，即．
又，所以．又，
所以，
所以．
31．已知是等差数列，是等比数列（公比不为1），的前n项和，且，
(1)求数列：，的通项公式；
(2)设的前项和为.对于任意正整数，当恒成立时，求的最小值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设出公比和公差，得到方程组，求出公差和公比，得到，的通项公式；
（2）求出的通项公式并得到为等比数列，利用等比数列求和公式得到，求出的最小值.
【详解】（1）设的公差为的公比为，
由已知可得，且，
解得
所以的通项公式为，
的通项公式为.
（2）由（1）知，则，
所以为等比数列，公比为，
所以.
因为恒成立，所以，
而，
所以，
所以的最小值为.
32．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求满足条件的的最小值.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）设等差数列的公差为，由成等比，求得，再由，求得或者，进而得到，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）求得，得到，
令，进而得到的最小值.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，因为成等比，所以，
可得，整理得，
又因为，所以，
因为，所以，
可得，解得或者，
当时， ，不合题意舍去；
当时， ，则，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由，可得，
所以，
当时，
，
令，可得，
即，解得，所以的最小值为.
33．已知数列满足，且
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．
【答案】(1)
(2)20
【分析】（1）通过构造得，则可得到的通项；
（2）利用等比数列求和公式得，通过作差得，，则得到是一个增数列，计算即可得到答案.
【详解】（1）因为
所以，，，所以．
又因为，所以，所以．
因为，所以，
又因为，所以，所以，所以，
即，
所以，
又因为，所以，所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
（2）由（1）可知，所以，
所以，
又因为，所以，
即，所以，
所以，
因为，
，
所以是一个增数列，
因为，，
所以满足题意的n的最小值是20．
34．已知函数.
(1)若函数在点处的切线在两坐标轴上截距相等，求的值；
(2)（i）当时，恒成立，求正整数的最大值；
（ii）记，，且.试比较与的大小并说明理由.
【答案】(1)或
(2)（i） （ii），证明理由见解析.
【分析】（1）求出切线，令切线过原点或切线斜率为即可；
（2）（i）利用导数，求出的最小值，令求解即可；
（ii）分别对和取对数，对进行放缩，再利用（i）的结论进行累加和裂项求和，证明即可.
【详解】（1）由已知，定义域为，
∵，
∴，∴切点即，
又∵，
∴由导数的几何意义，函数在点处的切线斜率为，
∴函数在点处的切线方程为，
整理得，.
若切线在两坐标轴上截距相等，则
①当切线过原点时，，解得，切线方程为，
②当切线不过原点时，斜线斜率，解得，切线方程为.
∴的值为或.
（2）（i）由（1）知，，令，解得，，
若为正整数，则，
∴当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
∴当时，的极小值，也是最小值为，
若当时，恒成立，则的最小值，
设，则，
当时，，在区间上单调递减，
∴当时，单调递减，
又∵，，
∴使的正整数的最大值为，
∴当时，使恒成立的正整数的最大值为.
（ii），理由证明如下：
∵当且时，
∴
（），
又∵，∴，
①当时，，
②当时，
由（i）知，，恒成立，，
∴当时，，，即恒成立，
∴，
∴
，
综上所述，当且时，，即有.
【点睛】易错点睛：本题用到了两次放缩，一次是对的放缩，一次是应用题中证明结论进行放缩后裂项求和，如果直接进行第二次放缩，再求和时会发现放缩过度，导致无法证明，因此对进行了分类讨论，当时，不进行第二次放缩，当时，再进行二次放缩裂项求和.
35．设对任意，数列满足，，数列满足．
(1)证明：单调递增，且；
(2)记，证明：存在常数，使得．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由可证明单调性，由反证法即可证明，
（2）由裂项求和即可求解.
【详解】（1）证明：由于，则，
所以，即单调递增．
假设存在，使得，则，
所以．
不妨取，即，即，则，这与任意，恒成立相矛盾，故假设不成立，所以．
（2）由（1）有，又，所以
．
于是，
故可取，即有．
36．设函数.
(1)求函数在点处的切线方程;
(2)证明:对每个，存在唯一的，满足；
(3)证明:对于任意，由（2）中构成的数列满足.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出导函数，然后求解导数值即切线斜率，代入点斜式方程即可求解；
（2）根据，得函数在上是增函数，又，，根据零点存在性定理可证；
（3）由在上单调递增，可得，再减变形化简，利用放缩法得证.
【详解】（1），所以，
所以，又，
所以函数在点处的切线方程为，即；
（2）对每个，当时，
由函数，
可得，故函数在上是增函数.
由于，当时，，即.
又 ，
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足；
（3）对于任意，由（1）中构成数列，当时，
，.
由在上单调递增，可得，即，故数列为减数列，
即对任意的，
由于 （1），
（2）
用（1）减去（2）并移项，利用，可得
.
综上可得，对于任意，由（1）中构成数列满足.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
37．已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两式相减可得结果；
（2）将不等式恒成立化为对恒成立，再利用数列的单调性求出右边的最小值即可得解.
【详解】（1）当时，，得，
当时，，
整理得，即，
又时，也适合上式，
故.
（2）若不等式对恒成立，即对恒成立，
即对恒成立，
令，
则

，
则为递增数列，所以当时，取得最小值，
所以.
38．已知正项数列的前项和满足关系式.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，证明.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用，得到，进而得到，得到为等差数列，求出通项公式；
（2）由得到，
当时，，当时，显然成立，当时，，当（且）时，，，故当时，有.
【详解】（1）由得，
当时，，
两式相减得，
，
当时，由，得，也满足上式.
.
当时，，则，
又，所以，
∴数列是等差数列，.
（2）证明：由（1）得，
，
注意到当时，
.
当时，.
当时，显然成立.
当时，，
从而时，.
当（且）时，，
.
综上可知当时，有.
【点睛】对于公式，
（1）当时，用替换中的得到一个新的关系式，利用，可得时的表达式，
（2）当时，，求出，
（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，如果不符合，则要分开写.
39．图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设，是否存在实数，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，.
【分析】（1）设出第一行从左到右成等差数列的公差，再结合已知列出方程组求解，然后用等差数列、等比数列的通项公式写出通项作答.
（2）由（1）的信息结合等比数列前n项和公式求出，再按奇偶分类讨论求解作答.
【详解】（1）设，第一行从左到右成等差数列的公差为，
则，
由，得，即有，
于是，又，解得，因此，，
所以，即.
（2）由（1）知，
当为奇数时，不等式等价于恒成立，而恒成立，则；
当为偶数时, 不等式等价于恒成立，而恒成立，则 ，
因此, 所以存在，使得恒成立.
40．记为数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)设单调递增的等差数列满足，且成等比数列.
（i）求的通项公式；
（ii）设，证明：.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【分析】（1）由数列的递推关系式得到，再根据等比数列的通项公式，即可求解；
（2）（i）设数列的公差为，根据题意，结合等比中项公式列出方程，求得，再利用等差数列的通项公式，即可求解；
（ii）由（i）得到，利用放缩法和裂项求和，即可求解.
【详解】（1）解：因为，可得，
两式相减可得，即，
则，
又因为，可得，
所以当时，，即，
当时，不满足上式，
所以数列的通项公式为
（2）解：（i）设数列的公差为，
因为成等比数列，且，
所以，
整理得，解得或，
因为，可得，
又因为，所以数列的通项公式为.
（ii）由（i）知，，
可得，
当时，；
当时， ，
综上可得，对于任意，都有.