2026年高考数学一轮复习计算专项练习05 平面向量的运算 (2份，原卷版+教师版)

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1．已知a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，2，x），且a→⊥b→，则x＝ ．
2．已知a→=（1，1），b→=（2，﹣4），则a→在b→上的数量投影是 ．
3．已知向量a→=（2，1），a→•（a→+2b→）＝7，则b→在a→上的投影向量的坐标为 ．
4．已知向量a→，b→满足|a→|＝2，|b→|＝3，|a→+b→|＝4，则|a→-2b→|＝ ．
5．在△ABC中，AD→=34DC→，P是直线BD上一点，若AP→=mAB→+35AC→，则实数m的值为 ．
6．已知点A（2，﹣1，1），B（3，﹣2，1），C（0，1，﹣1），则AB→在AC→上的投影向量的模为 ．
7．已知向量a→=（2，m），b→=（﹣1，m），若2a→+b→与b→垂直，则|a→|= ．
8．已知向量a→，b→满足|a→|＝2，|a→+2b→|＝|a→-b→|，则|a→+b→|＝ ．
9．设θ为非零向量a→与b→的夹角，定义：|a→×b→|=|a→|⋅|b→|sinθ．若|a→|=2，|b→|=5，a→⋅b→=-8，则|a→×b→|= ．
10．在△ABC中，点M，N满足AM→=3MC→，BN→=NC→．若MN→=xAB→+yAC→，则x＝ ；y＝ ．
二．解答题（共20小题）
11．计算：
（1）(-3)×4a→；
（2）3(a→+b→)-2(a→-b→)-a→；
（3）(2a→+3b→-c→)-(3a→-2b→+c→)；
（4）AB→-AD→-DC→；
（5）NQ→+QP→+MN→-MP→．
12．已知|a→|=1，|b→|=2，a→与b→的夹角是60°，计算：
（1）计算a→⋅b→，|a→+b→|；
（2）求a→+b→和a→的夹角的余弦值．
13．已知|a→|=4，|b→|=3，a→与b→的夹角是120°，计算：
（1）(2a→-3b→)⋅(2a→+b→)；
（2）|a→+b→|．
14．已知向量a→与b→的夹角为120°，且|a→|=2，|b→|=4．
（1）计算：|4a→-2b→|；
（2）若(2a→+b→)⊥(ka→-b→)，求k的值．
15．已知向量a→与b→的夹角为120°，且|a→|＝2，|b→|＝4．
（1）计算：|4a→-2b→|；
（2）当k为何值时，（a→+2b→）⊥（ka→-b→）．
16．已知向量α→和β→的夹角φ=2π3，|α→|＝3，|β→|＝4，试计算：
（1）|α→+β→|2；
（2）（3α→-2β→）•（α→+2β→）．
17．设|a→|＝3，|b→|＝2，|c→|＝5，向量a→与b→的夹角为π6，向量b→与c→的夹角为π3，计算：
（1）|（a→•b→）•c→|；
（2）|a→•（b→•c→）|
18．已知|a→|＝4，|b→|＝6，a→与b→的夹角是150°，计算：
（1）（a→+2b→）•（2a→-b→）；
（2）|4a→-2b→|
19．计算：
（1）已知a→=（﹣2，3），b→=（2，5），c→=（0，﹣3），求a→+b→-c→；
（2）已知a→=（5，7），b→=（﹣2，﹣1），求2a→-5b→．
20．已知a→=(2，-1)，b→=(3，1)．
（1）求向量a→-2b→的坐标；
（2）求向量a→，b→的夹角θ．
21．如图，在△ABC中，AM→=12AB→，CN→=23CB→，设AB→=a→，AC→=b→．
（1）用a→，b→表示AN→，MN→；
（2）若P为△ABC内部一点，且BP→=-49a→+19b→．求证：M，P，N三点共线．
22．已知向量a→=(2cs2x，3)，b→=(1，sin2x)，函数f(x)=a→⋅b→，g(x)=b→2．
（1）求函数g（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）＝3，c＝1，ab=23，且a＞b，且a，b的值．
23．如图，在等边三角形ABC中，点D满足AB→=3AD→，点E满足BC→=3BE→，点F是AC边上的中点，设a→=CA→，b→=CB→．
（1）用a→，b→表示EF→；
（2）若△ABC的边长为2，试求CD→与EF→夹角的余弦值．
24．已知向量a→=(1，2)，b→=(-3，2)，c→=a→-2b→．
（1）求|c→|；
（2）若向量d→=(5，2)，试用a→，b→表示d→；
（3）若c→∥ka→+2b→，求实数k的值．
25．已知向量a→=(2，-2)，|b→|=4，且(2a→+b→)⋅b→=32．
（Ⅰ）求向量a→与b→的夹角；
（Ⅱ）求|2a→-b→|的值；
（Ⅲ）若向量ka→+b→与a→-kb→互相垂直，求k的值．
26．如图，在菱形ABCD中，BE→=12BC→，CF→=2FD→．
（1）若EF→=xAB→+yAD→，求3x+4y的值；
（2）若|AB→|=3，∠BAD=60°，求AE→⋅EF→．
27．已知a→=(1，0)，b→=(2，1)．
（1）若AB→=2a→-b→，BC→=a→+mb→，且A、B、C三点共线，求m的值．
（2）当实数k为何值时，ka→-b→与a→+2b→垂直？
28．已知向量a→=(1，2)，b→=(1，t)(t∈R)．
（1）若(a→+b→)⊥(5a→-8b→)，求t的值；
（2）若t＝1，a→与a→+mb→的夹角为锐角，求实数m的取值范围．
29．已知向量a→=(1，3)，b→=(2，5)，求：
（1）a→⋅b→；
（2）|3a→-b→|；
（3）(a→+b→)⋅(2a→-b→)．
30．已知向量a→，b→的夹角为θ=3π4，|a→|=3，|b→|=22．
（1）求|a→-2b→|；
（2）a→-2b→在a→+2b→的投影数量；
（3）若ka→+2b→与a→-2b→夹角为钝角，求实数k的取值范围．