利用导数研究函数恒成立求参数问题、利用导数证明不等式恒成立专项训练-2026届高考数学二轮复习

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A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由恒成立，可得：在恒成立，
令，
则，
当时，在恒成立，
故在单调递增，
又，
故当时，恒成立，故当时，恒成立，
当时，令，解得，负值舍去，
当时，，令，得，
令，得，
故在单调递增，在单调递减，
当时，，
故当时，不恒成立，即当时，不恒成立，
当时，，
由，得，
则在上恒成立，
所以在单调递减，
又，
故当时，恒成立，即当时，恒成立，不符合题意，
综上可知：实数的取值范围为，
故选：A
例2．（2026·山东济南·一模）若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】任意的，都有，
则有在上恒成立，
令，函数定义域为，
，令，解得，
时，，在上单调递减；
时，，在上单调递增，
，
因此存在，使，
令，，令，解得，
时，在上单调递增；
时，在上单调递减，
有，
所以时，的最大值为.
故选：C
例3．（25-26高三上·福建泉州·月考）函数，若恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】若恒成立，则恒成立，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，且，且，
于是．
当时，，
在上单调递增，且时，，
从而存在满足，所以，
此时在上单调递减，在上单调递增，
则
，
因为，
又因为，所以，
，满足题意．
综上，实数的取值范围是．
故答案为：．
例4．（25-26高三上·陕西榆林·月考）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】原式可化为在上恒成立，
令，
易得在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
即在上恒成立，即在上恒成立，
可得在上恒成立，所以，
令，则，由，解得；
由，解得．所以在上单调递增，
在上单调递减，所以，
即，故实数的取值范围是．
故答案为：.
例5．（25-26高三上·广东江门·月考）已知函数.
(1)若，且，求a的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若，且对任意，均有，求b的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）时，，则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故，即，
所以的最小值为.
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
（3）因为，可得，依题意在上恒成立，
设，则，
则有在上恒成立，
因为，可设，
所以
①当时，由知，，所以，
所以在单调递增.
1.当，即时，对任意都成立，
所以在上单调递减，则；
2.当，即时，而当时，，
所以，使，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以舍去；
②当时，所以在上单调递增，则，所以舍去；
③当时，与在上都单调递增，
所以在上单调递增，则，所以舍去.
综上，.
例6．（25-26高三上·天津滨海·月考）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，，
∴，又∴，
∴切线方程为.
（2）方法一：设，
只需在时恒成立即可，
又，且，
所以要使当时，，
必须满足，即．
下面证明时满足题意：
①当时，由，，
令，
则，令，则，
当时，恒成立，所以函数在区间上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以，所以当时，，即；
②当时，，
令，，则，
所以在上单调递增，
又，当时，，
所以存在，使得，
当时，，即在上单调递减，
当时，，所以当时，不恒成立．
综上所述，实数的取值范围是．
方法二：设，则，
令，则，
当时，，
，在上单调递增，
即在上单调递增，
所以所以在上单调递增，
所以，所以符合题意；
当时，令得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，即在上恒成立，
所以，所以符合题意；
当时，在上恒成立，
在上单调递增，即在上单调递增，
又因为，当时，，
所以存在，使得，
当时，，即在上单调递减，
当时，，
综上所述，实数的取值范围是．
方法三：参变分离得：，
令，，则，
而，
且，，
∵，∴，∴在区间上单调递减，
∴，∴，
∴在区间上单调递减，
∴，∴，
∴在区间上单调递减，∴，
由洛必达法则可得，
综上所述，实数的取值范围是．
例7．（25-26高三上·浙江温州·月考）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，，求实数λ的取值范围．
【答案】(1)分类讨论，答案见解析.
(2)
【详解】（1）依题意，，，
由得．
当时，，令，得，，
故当时，，
故当时，，当时，，当时，，
所以在单调递增；在单调递减；在单调递增．
（2）令，因为，所以，故，
令，则，
令，则，
易知为减函数，则在上，，
故在上单调递减，则，
故，在上单调递减，故，
故实数λ的取值范围为．
变式1．（2026·河北邯郸·模拟预测）对于任意的，不等式恒成立，则实数的值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【详解】令，求导得，
令，得，解得，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上单调递增，
又，
当时，，，
所以存在，使得，存在，使得，
当时，；当时，；当时，，
对任意的恒成立，
则当时，；当时，；
当时，；当时，，
即是方程的解，所以且
又因为是的解，即的解，所以，，
所以，，所以，，
所以.
当时，设，，
时，，为增函数，
时，，为减函数，
而，
故时，即，
当时，即；
当时，即；
当时，即
符合题设条件，
故选：D.
变式2．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意，即，
令，
求导得，
令，
故在单调递增，且，
令，解得（舍）或，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
在处取得极小值（也是最小值）：，
所以．
故选：A．
变式3．（2026·四川巴中·一模）若不等式 恒成立，则 的取值范围 .
【答案】
【详解】左右两边同时加，并将移项得
，
整理得，
设，，故在R上单调递增，
则原不等式可化为，
所以，
整理得，
令，，设，，
则，令，则，
故当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
对方程，，故存在实数使成立，
所以，即.
故答案为：.
变式4．（25-26高三上·江西赣州·月考）已知函数.若对，都有恒成立，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】由题意知，当时，.
，
①当时，恒成立，即在上单调递减，
所以恒成立，所以.
②当时，由，得到，由，得到，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
当，即时，在区间上单调递增，
所以，（舍去），
当，即时，在上单调递减，，所以，
当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，
所以，得到，所以，
综上，的取值范围为．
故答案为：．
变式5．（25-26高三上·湖南株洲·月考）已知函数，其中．
(1)求函数的极值；
(2)当时，恒成立，求实数a的范围．
【答案】(1)当时，，无极大值；当时，，无极小值.
(2)．
【详解】（1）因为，
当时，令，得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，有极小值，，无极大值，
当时，令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有极大值，，无极小值.
（2）记，
即，在上恒成立，
，
又恒成立，故，得，
充分性：下面证时原式恒成立，即证，且，，
令，
则，
当时，，
所以单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以成立，
当时，因为
所以，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递减，所以成立，
综上，当时成立，
所以a的取值范围为．
变式6．（25-26高三上·广西南宁·月考）已知函数.
(1)设为的极小值，求证：；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1），则，
因为时，时，，
所以在区间上单调递增，上单调递减．
因为，
所以存在，使得，
且当时，；当时，；当时，．
因此在区间上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
所以的极小值为．
因为，且，
所以．
（2）由知，，即．
设，则，于是上述不等式化为，即．
令，则，
知时，时，．
所以在区间上单调递减，在上单调递增．
因为，且时，，所以，
因为恒成立，所以时，不等式恒成立．
设，则．
因此时，；时，．
于是在上递减，在上递增，则．
所以．
所以的取值范围为．
变式7．（25-26高三上·湖南湘西·期末）已知函数.
(1)当为偶函数时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，证明：；
(3)若实数使得对任意恒成立，当取最大值时，求.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）若为偶函数，即，
则，即得，
即，由于，则，
此时，
所以，
故所求的切线方程为，即；
（2）当时，，要证，
即证.
设，则.
令，得，由于，故，
等号仅在时取得，故是R上的增函数，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，得证.
（3）恒成立，即恒成立，则.
设函数，即，
则，由（2）可知是增函数，且易知其值域为，
故存在，使得，即，
当时， ，单调递减，当时， ，单调递增，
所以，
要使最大，则取，再分析的最大值.
设函数，
则，
因为，且仅在处等号成立，
所以当时， ，单调递增，当时， ， 单调递减，
所以
即的最大值为，当时， ，
得.
考点二 利用导数证明不等式恒成立
例1．（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）记函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若不等式对于任意恒成立，求的取值范围；
(3)求证：对于任意恒成立．
（参考数据：）
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）因为，所以，所以，
所以切线方程为，即.
（2）令，则且.
令，则.
显然函数在上为增函数，且，
若，即，由可得，
即函数在上单调递减，所以，
故函数在上单调递减，所以，不合题意，所以.
当时，对于任意，.
所以在上单调递增，即对于任意，，
所以在上单调递增，所以对于任意，，符合题意.
综上所述，的取值范围为.
（3）法一：令，所以，
令，则，
当时，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
又，，，
所以存在，使得；存在，使得，
所以当时，，从而在上单调递增，
当时，，从而在上单调递减，
当时，，从而在上单调递增，
又，所以只需证明即可，又即，
所以，
下证即可说明，
又，单调递增.
所以，即需证
又，由（2）知，
所以
，
由已知得，，代入可知：
，
于是，所以恒成立.
法二：我们证明当时，即可.
记，所以，
记，所以，
所以当时，，即在上单调递减，
当时，，在单调递增.
又，，，所以，.
所以存在使得，即.
则当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以为函数的唯一极小值点.
所以只需证明，且，
将代入，整理得，
所以即，即，因，则得，
即只需证即可，
注意到，
所以，故原不等式得证；
法三：要证，只需证，即证，
构造函数，其中，则，
令，解得（舍去）或，
令，当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减，
所以，即证，即证，
即证，
由（2）知，
所以
，
由已知得，，代入可知：
，
所以恒成立.
例2．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知函数为无理数且
(1)求在区间的最值；
(2)若对恒成立，求的取值范围；
(3)对于，证明：．
【答案】(1)．
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1），可知，
令，则，
易得当时，，当时，，
即在单调递减，在上单调递增，
，则在单调递增，
所以．
（2）构造函数，
，
易知，若，
则使得在上单调递减，，与题意矛盾，
则，
此时，
令，只需证在恒成立即可．
，
令，则，
恒成立，即在单调递增，
在单调递增，则恒成立，
所以的取值范围是.
（3）由（2）可知在恒成立，
则有在恒成立，
令，则有恒成立，
所以，
又，
则.
例3．（25-26高三上·四川成都·期末）记函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若不等式对于任意恒成立，求的取值范围；
(3)求证：对于任意，恒成立.
（参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，所以，
所以切线方程为，整理得.
（2）令，
所以且，令，则.
则函数在上为增函数，且，
若，即，由可得，
即函数在上单调递减，所以，
故函数在上单调递减，所以，矛盾，所以，
当时，对于任意，.
所以在上单调递增，所以对于任意，，
所以在上单调递增，所以对于任意，，符合题意.
综上所述，的取值范围为.
（3）法一：令，所以，
令，则，
当时，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
又，，，
所以存在唯一，使得；存在唯一，使得，
所以当时，，从而在上单调递增，
当时，，从而在上单调递减，
当时，，从而在上单调递增，
又，所以只需证明即可，又即，
所以，
下证即可说明，
又，单调递增.
所以，
又，由（2）知，
所以
，
由已知得，，代入可知：
，
于是，所以恒成立.
法二：我们证明当时，即可，
记，所以，
记，所以，
所以当时，，即在上单调递减，
当时，，在单调递增.
又，，所以，.
所以存在使得，，，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以为函数的唯一极小值点.
所以只需证明，且，
将代入，整理得，
所以等价于，即只需要证明即可，
注意到，
所以，故原不等式得证；
法三：要证，只需证，即证，
构造函数，其中，则，
令，解得（舍去）或，
令，当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减，
所以，即证，即证，
即证，
由（2）知，
所以
，
由已知得，，代入可知：
，
所以恒成立.
变式1．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，定义域为，
，
所以切线斜率为，
因为，所以切点坐标为，
设切线方程为，
代入得，
整理得：；
（2）法一：
令，
①当即时，在上单调递增，
故，满足条件；
②当即或时，
当时，对称轴，且，故时，，
满足条件；
当时，，且，
故存在，使得时，，即在单调递减，
此时，不满足条件；
综上所述：．
法二：（参数分离）恒成立，即在上恒成立
．
令
令，则
所以在上单调递增，又，所以恒有即，
故在上单调递增
由洛必达法则，得
所以即的取值范围为
（3）由（2）知，取时，恒成立，即；
令，，
有，
故，
，
综上，.
变式2．（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数，为的导函数.
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)当时，，求的取值范围；
(3)求证：当时，.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由，则，
所以，又，
所以的图象在点处的切线方程为，
即.
（2）设，，
所以.
令，，
则，
因为，所以，即，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得唯一的极小值，即为最小值.
即，即，
因为当时，，
所以，即的取值范围为.
（3）令，，
则，
由（2）知，在上单调递增，
所以当时，，
此时，即在上单调递减，
所以，即，所以.
当时，，，.
所以，即.
所以，即.
综上所述，当时，.
变式3．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数.
(1)当 时，求函数在区间的最值;
(2)若，求 的取值范围；
(3)当 时，求证: ．
【答案】(1)最大值为，最小值为0
(2)
(3)见详解
【详解】（1）当 时，，，
，，解得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则，又，
所以函数在区间的最大值为，最小值为0；
（2）令，
，
当时，，
，
在单调递增，，即成立；
当时，，
若，即时，，，
，
在上单调递减，
，
又，所以，即，
则，
在单调递增，，
若，即，存在，使得时，，
，所以不满足成立，
综上，的取值范围为；
（3）令，
，
令，
，
当时，，
所以，单调递增，，
即，单调递减，，
当时，
，又，所以，
即，单调递增，，
综上，当 时，．考点目录
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