函数与导数：参变分离法与构造函数法解决导数问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

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例1．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数，其中．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围；
(3)若R，对任意的恒成立，求的最小值．
例2．（2026·云南·模拟预测）已知函数，．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若，都成立，求的取值范围；
(3)若函数，证明有且仅有两个零点．
例3．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知．
(1)若，求函数的极值；
(2)若存在单调递增区间，求实数的取值范围．
例4．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若关于的不等式在上恰有3个整数解，求的取值范围.（注：，，）
变式1．（25-26高三上·河北保定·期中）已知函数
(1)若在上不单调，求的取值范围；
(2)当时，若对任意的， 恒成立，求实数a的取值范围.
变式2．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程．
(2)证明：在上单调递减．
(3)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
变式3．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知函数，曲线在处的切线经过点．
(1)求；
(2)当时，，求的取值范围．
变式4．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数，．
(1)当时，求图象在处的切线方程；
(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
(3)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．
考点二 构造函数法解决导数问题
例1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，．
(1)若，证明：；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
例2．（24-25高二下·安徽亳州·期末）已知函数，直线与曲线相切.
(1)求实数；
(2)若函数有三个极值点，
①求实数的取值范围；
②求证：.
例3．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知函数，定义域为，为实数．
(1)若的图象在处的切线的斜率为1，求该切线的方程；
(2)若在定义域上不单调，求的取值范围；
(3)若是的极小值点，证明：．
例4．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数，其中.
(1)当时，求在区间上的最大值；
(2)若在上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围；
(3)设为在内的极小值点，求证：.
变式1．（2026·江西九江·一模）已知函数.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)当时，，求的取值范围；
(3)若在上有两个不同的极值点，证明：.
变式2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数，．
(1)求证：；
(2)记函数．
（ⅰ）若有两个零点，求实数a的取值范围；
（ⅱ）当时，求证：．
变式3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数，.
(1)在处的切线的斜率为，求的值；
(2)若函数有两个极值点，，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
变式4．（25-26高三上·河北·期中）已知函数.
(1)当时，求方程的解；
(2)若，证明： 考点目录
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