三角形中的三角恒等变换问题、解三角形中的最值与范围问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

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A．B．
C．D．的最小值为
【答案】ACD
【详解】对于A，由和余弦定理，可得，整理得，
即得，故A正确；
对于B，由和正弦定理，可得，则，
即，由和差化积公式可得，
因，则得，
展开得，
整理得，则有，故B错误；
对于C，因是锐角三角形，故，
则得，即，故，即C正确；
对于D，又，，
设，则，且，则，
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增.
故，
即当时，的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
例2．（2026·江西九江·一模·多选）在中，内角的对边分别为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】对于A选项 ，由，所以，
得，A选项正确；
对于B选项 ，由 ，
则，
得，由正弦定理，即 ，
代入 ，得 ，
解得 或，B选项错误；
对于C， ，
由,，
，C选项错误；
对 D选项，，
，D选项正确.
故选:AD
例3．（2026·安徽黄山·一模·多选）是的最大内角，且，则下列结论正确的是（ ）
A．可能为锐角三角形B．的最大值为
C．面积的最小值为D．的最小值为2
【答案】BD
【详解】对于A，由
，
则，
即，
所以，
则，
即，由于是的最大内角，
则，所以，则，即，
故为直角三角形，故A错误；
对于B，由于，则，即，
又，则，
所以，
则时，取得最大值为，故B正确；
对于C，由于，，
则面积为，故C错误；
对于D，由于，则，即，
又，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为2.
故选：BD
例4．（25-26高三上·广东江门·月考·多选）已知的面积为，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】对于A，由二倍角公式，
，
则，故A正确；
对于C，由A分析可得，下证.
因，则.
则，.
从而，由正弦定理边角互化可得.
若，则.
注意到，，则，
又三角形中至多1个钝角，则，均为锐角.
又，正弦函数在上单调递增，
则，.
从而，这与矛盾.
故.从而，,,，
.
则，易得，不妨设，则.
从而，故C错误.
对于BD，因，则，
从而，则，
则，.
从而，故B错误，D正确.
故选：AD
变式1．（25-26高三上·安徽·月考·多选）在中，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】对于A，因为在中，，所以由正弦定理得，，
所以，所以A错误；
对于B，由题可得，
所以，
所以，
所以.
因为，所以，所以，所以.
所以，即.所以B正确；
对于C，设所对的边分别为.
由A知，.设，则.
因为，所以，
即，
所以，
所以，所以.
所以，即.
由正弦定理，得.所以C正确；
对于D，由C知.
所以.
所以D错误.
故选：BC.
变式2．（25-26高三上·安徽·月考·多选）在中，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】设中角的对边分别为.
对于A，因为，由正弦定理得，所以，即，故A错误；
对于B，将已知的两式相乘可得，所以，
所以，
因为在中，，所以，所以，故B正确；
对于C，设由知，所以.
因为，由余弦定理得，所以，将代入化简得，将，代入可解得，即，由正弦定理可得，即，故C正确；
对于D，，所以，故D错误.
故选：BC.
变式3．（2025·山东聊城·模拟预测·多选）在中，A，B，C成等差数列.若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】由A，B，C成等差数列，得.
因为，所以，则，所以，A正确.
又，由，
得，
所以，B正确.
，C错误.
，D正确.
故选：ABD
变式4．（2025·浙江丽水·一模·多选）在中，若，且，则（ ）
A．B．
C．D．的最大值是
【答案】BD
【详解】由，可得，
所以，
所以，
所以，即，
所以，
所以，
所以，
即，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，故B正确；
又，则或，
当时，则，不能得出，故A错误，
若，则时，符合题意，但，所以，故C错误；
由，得，
所以，解得，
所以，当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：BD.
考点二 解三角形中的最值与范围问题
例1．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知函数.
(1)求在上的单调递增区间；
(2)在锐角中，内角所对的边分别为，且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由函数
，
因为，可得，
令，解得，即函数的单调递增区间为.
（2）由（1）知：，
因为，可得，即，
因为为锐角三角形，可得，则，
所以，解得，
设的外接圆的半径为，因为，
由正弦定理得，则，
又因为，可得，所以，
则
，
因为为锐角三角形，可得，解得，
则，所以，则，
所以的取值范围为.
例2．（25-26高三上·河南鹤壁·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求角；
(2)若，为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）由（1）知，由正弦定理得，
又，
所以，
因为，所以，
所以，则，
所以，则的取值范围为．
例3．（25-26高三上·黑龙江·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，，求的面积；
(3)若角C为钝角，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）已知，
由余弦定理，则，
代入可得：.
由正弦定理（为外接圆半径），
可得，，，
代入上式得：，
整理得：，
根据两角和的正弦公式，即，
因为，所以得，解得，
又因为，所以.
（2）已知，，由余弦定理：
，代入得 ，
，所以，
面积为：.
（3）因角为钝角，则，即，而，故，
由正弦定理，，且，因此：
，
由，得，因此：，
代入的表达式：
所以得：.
即：的取值范围是.
例4．（25-26高三上·广东肇庆·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若，求周长的取值范围；
(3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由已知及正弦边角关系得，
因为，所以，而，
所以，，，
所以，，故，即；
（2）方法一：由余弦定理，得，即
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即，，
由三角形三边关系知，所以，即，
所以周长的取值范围为；
方法二：由正弦定理，得，，
所以
，
因为，所以，即，即，，
所以周长的取值范围为；
（3）因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以，
设，，
在中，由正弦定理，
所以，即，，
所以
，
因为，为锐角三角形，所以，即，
所以，即，
则，
所以面积的取值范围为.
变式1．（24-25高二上·贵州遵义·月考）已知的内角所对的边分别为，，且满足：.
(1)当_____时，从条件：①，②的面积为；中选择一个条件填到横线上，求c的值；
(2)若D是边AC上一点，且，求面积的最大值及此时线段BD的长度.
【答案】(1)所选条件见解析，；
(2)面积的最大值，此时.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
即，而，
所以，则，又，所以，
选择①，由，得，而，
由余弦定理得，即，解得或（舍），
当时，，是钝角三角形，符合题意，所以.
选择②，因为，则，
由余弦定理可得，即，
所以，解得，
所以是的两个根，故；
（2）由（1）知，
当且仅当时取等号，则，
由题设，在中，
所以，
所以面积的最大值，此时，则，
所以，
所以，
综上，面积的最大值，此时.
变式2．（2025·甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)证明：；
(2)求的最大值.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）由正弦定理可知，，
得，且，
即，整理为，
即；
（2），
由（1）可知，，且，
所以，上下同时除以，
，
因为，得，
所以，当时等号成立，
所以，
所以的最大值为.
变式3．（25-26高三上·山东·月考）在 中，内角所对的边分别是，且满足.
(1)求B；
(2)若，点是边上一点，且平分∠ABC，求的最大值；
(3)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，
因为，
可得，
即，
又因为，则，所以可得，即，
因为，则，可得，解得.
（2）解：由余弦定理得，
即，即，所以，
因为BD是∠ABC的平分线，所以，
又因为，
可得，
即，所以，
因为，当且仅当时等号成立，所以.
令，则，
令，因为在上单调递增，所以当时，最大，最大值为.
（3）解：由正弦定理得
，
令，则，
所以，
即，
因为，可得，则，可得，
由二次函数的性质得在时单调递减，
所以当时，取得最大值为；
当时，取得最小值为-1，
故的取值范围为.
变式4．（25-26高三上·山东东营·期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，，的面积为.
(1)求；
(2)若，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）由，两边平方得，故，
所以的面积，
由余弦定理及，
得，
因为，所以，因为为锐角，所以.
（2）设，，则，
在中，由正弦定理得，
因为，
所以，
则①，
在中，由正弦定理得，
则②，
由①②得，，
因为，所以，所以
所以，故的最小值为1.考点目录
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解三角形中的最值与范围问题