江苏省2026年中考模拟数学试题含答案

这是一份江苏省2026年中考模拟数学试题含答案，共6页。
A．﹣6B．6C．﹣5D．5
2．（3分）ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.75×103B．1.75×1012C．1750×108D．1.75×1011
3．（3分）如图△ABC的边BC的长为4cm，将△ABC向上平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8cm2B．4cm2C．12cm2D．6cm2
4．（3分）如图，上午8：30，时针与分针的夹角是（ ）
A．75°B．65°C．55°D．45°
5．（3分）已知一次函数y＝5x+a﹣3（a为常数）的图象过第一、三、四象限，则a的值可以是（ ）
A．8B．5C．3D．0
6．（3分）如图是某几何体从不同角度看到的图形，这个几何体是（ ）
A．圆柱B．三棱柱C．圆锥D．三棱锥
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（2，0），将△ABO绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（ ）
A．(−3，1)B．(1，−3)C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）
8．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，若正方体的展开图恰好放置在△ABC内，则sinA的值为（ ）
A．14B．12C．55D．33
9．（3分）如图，△ABC中，BC＝8，BC边上的高为4，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，四个点的坐标分别为A（m﹣1，n+2），B（m，n），C（m+1，n﹣4），D（m+3，n﹣10）．若一次函数y＝kx+5的图象经过上述四个点中的三个点，则3m+n的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二．填空题（共8小题，满分30分）
11．（3分）分解因式5a﹣5a3的结果是 ．
12．（3分）已知y=x−3+3−x+4，则xy= ．
13．（4分）如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB，DC可分别绕点A，B转动，当AB，DC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝45°时，点E在DC的延长线上，若AE＝10cm，则AB＝ cm．
14．（4分）如图，在3×3幻方中，填入9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等按以上规则填成的幻方中，x﹣y的值为 ．
15．（4分）如图，一块砖的A，B两个面的面积之比是5：3，如果A、B两个面分别向下在地上，地面所受压强分别为p1、p2，压强的计算公式为p=FS，其中p是压强，F是压力，S是受力面积，则p1、p2的大小关系为 ．
16．（4分）《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白．与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从偶，开平方得积”，若把这段文字表述为数学语言即为：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则其面积为S=14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，可利用其解决下列问题，如图，在△ABC中，AB=5，AC=10，BC＝5，则S△ABC＝ ．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在双曲线y=kx(k＞0)上，分别以点O和点A为圆心，大于12OA的长为半径作弧，两弧相交于B，C两点，作直线BC交x轴于点E，交y轴于点F（0，3）．若点A的纵坐标为1，则OFOE的值为 ．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，tanB=12，点M，N分别在边AB和AC上，且∠AMN＝∠C，作DM⊥AB交BC于D，NE⊥AC交BC于E（D在E左侧），若MN上存在一点P，使得∠MDP＝∠DPE＝∠PEN＝90°，则AMAB= ．
三．解答题（共8小题，满分90分）
19．（12分）（1）解不等式组2x−1＜x+1x+8＞4x−1；
（2）计算(3a+3+1)⋅a2−9a+6．
20．（10分）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇异数”，如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，因此8、16、24都是“奇异数”．
（1）试说明32是否为“奇异数”；
（2）你能说明“奇异数”一定是8的倍数吗？若能，请说明理由，若不能，请举一个反例．
21．（10分）某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生视力情况统计表
（1）求抽取的轻度近视学生人数；
（2）该校共有学生约1800人，请估算该校重度近视的学生人数．
22．（10分）某超市为吸引顾客设置如下的翻奖牌，奖品有纸巾、牙刷、太阳伞，进店消费可翻一次牌翻奖牌的正面、背面如图所示．已知翻奖牌正面除数字外其他完全相同．请解决下面的问题：
（1）翻一次牌翻到“纸巾”的概率是 ；
（2）翻一次牌获得奖品的概率是 ；
（3）请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后翻到“纸巾”的概率是49，翻到“谢谢参与”的概率是29，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”．
23．（10分）如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB，PC，且PA＝PB．
（1）PB也是⊙O的切线吗？请说明理由；
（2）若∠APB＝60°，PA=43，则图中阴影部分的面积是 ．
24．（12分）某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地设计一片矩形菜地，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，此次活动记录如下：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求菜园面积S（单位：m2）关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当菜园面积最大时，求此时矩形菜园的长和宽；
（3）判断该方案围成面积最大时是否符合墙长要求？
25．（13分）如图1，矩形ABCD中，∠ADB＝60°，AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AD于点E，OF⊥AB于点F．
（1）求OEOF的值；
（2）如图2，当旋转OE，OF，且OE⊥OF时，求OEOF的值；
（3）如图3，当DO：OB＝1：4时，过点O作OE⊥OF，OE交DA的延长线于点E，OF交AB的延长线于点F，此时OEOF的值是否变化？证明你的结论．
26．（13分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为m，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上．P，Q两点从点O，B处同时出发，分别沿着O→C和B→A的方向运动a个单位长度，运动到C，A两点处同时停止运动，连接PQ．其中a，m均为常数且am≠0．
（1）求证：在运动过程中线段PQ经过一定点，记作M，并直接写出点M的坐标；（用含有m的代数式表示）
（2）如图2，点M'与点M关于原点O对称．过点M作双曲线y1=kx（k为常数，k≠0）与AB交于点D，作直线DM'与x轴、y轴分别交于E，F两点，连接ME．
①求证：ME∥BA；
②若四边形MEDQ是平行四边形，求出a与m之间的函数关系式；
（3）当m≠2时，在（2）中②的条件下，延长ME交双曲线y2=−ax(x＞0)于G，将直线DE沿y轴向下平移经过点G得到直线y3＝sx+t．结合图象，直接写出不等式−ax＞sx+t的解集．
江苏省2026年中考数学模拟试卷（6）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）计算：（﹣2）×（﹣3）＝（ ）
A．﹣6B．6C．﹣5D．5
【分析】运用有理数的乘法法则进行计算、辨别．
【解答】解：（﹣2）×（﹣3）
＝2×3
＝6，
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的计算能力，关键是能准确理解并运用有理数的乘法法则进行正确地计算．
2．（3分）ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.75×103B．1.75×1012C．1750×108D．1.75×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：175000000000＝1.75×1011．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图△ABC的边BC的长为4cm，将△ABC向上平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8cm2B．4cm2C．12cm2D．6cm2
【分析】根据平移的性质得出阴影部分的面积等于长方形BB′C′C的面积解答即可．
【解答】解：由平移可知，三角形A′B′C′的面积＝三角形ABC的面积，
∴阴影部分的面积等于长方形BB′C′C的面积＝BC×BB'＝4×2＝8（cm2）．
故选：A．
【点评】本题考查了平移的性质，熟知①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键．
4．（3分）如图，上午8：30，时针与分针的夹角是（ ）
A．75°B．65°C．55°D．45°
【分析】根据钟面角的定义，以及钟面上时针、分针转动过程中所成角度的变化关系进行计算即可．
【解答】解：如图，由钟面角的定义可知，
∠AOC＝∠COD＝360°×112=30°，
∠BOD＝30°×3060=15°，
所以∠AOB＝30°×2+15°＝75°，
故选：A．
【点评】本题考查钟面角，理解钟面角的定义，掌握钟面上时针、分针转动过程中所成角度的变化关系是解决问题的关键．
5．（3分）已知一次函数y＝5x+a﹣3（a为常数）的图象过第一、三、四象限，则a的值可以是（ ）
A．8B．5C．3D．0
【分析】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＜0时，图象经过一、三、四象限，据此解答即可．
【解答】解：由条件可知a﹣3＜0，即a＜3，
观察选项，只有选项D中的0满足a＜3．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
6．（3分）如图是某几何体从不同角度看到的图形，这个几何体是（ ）
A．圆柱B．三棱柱C．圆锥D．三棱锥
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆锥．
【解答】解：∵主视图和左视图都是三角形，
∴此几何体为锥体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆锥．
故选：C．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点为：三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（2，0），将△ABO绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（ ）
A．(−3，1)B．(1，−3)C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）
【分析】过点C作x轴的垂线，根据旋转的性质及特殊角的三角函数值，求出垂线段长及垂足到原点的距离即可．
【解答】解：过点C作x轴的垂线，垂足为M，
∵点B坐标为（2，0），
∴OB＝2．
由旋转可知，
BC＝OB＝2，∠OBC＝60°．
在Rt△CBM中，
sin∠CBM=CMCB，
则CM2=32，
∴CM=3．
∴BM=22−(3)2=1，
则OM＝2﹣1＝1，
∴点C的坐标为(1，−3)．
故选：B．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
8．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，若正方体的展开图恰好放置在△ABC内，则sinA的值为（ ）
A．14B．12C．55D．33
【分析】依题意得EF∥BC，∠DFE＝90°，进而得∠A＝∠EDF，△DEF是直角三角形，设EF＝a，则DF＝2a，由勾股定理得DE=5a，再根据正弦函数的定义得sin∠EDF=EFDE=55，据此可得sinA的值．
【解答】解：如图所示：
依题意得：EF∥BC，∠DFE＝90°，
∴∠A＝∠EDF，△DEF是直角三角形，
设EF＝a，则DF＝2a，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：DE=EF2+DF2=a2+(2a)2=5a，
∴sin∠EDF=EFDE=a5a=55，
∴sinA＝sin∠EDF=55．
故选：C．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正弦函数的定义是解决问题的关键．
9．（3分）如图，△ABC中，BC＝8，BC边上的高为4，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】过点A作BC边上的高AH，交EF于点G，交BC于点H．根据相似三角形的性质求出EF的长，再根据三角形面积公式列出函数关系式，根据函数关系式判断图象．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交EF于点G，
由条件可知AH＝4，GH＝x，
∴AG＝AH﹣GH＝4﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC=AGAH，即EF8=4−x4，
∴EF＝2（4﹣x）＝8﹣2x，
∴点D到EF的距离等于点E到BC的距离，即为x，
∴y=S△DEF=12⋅EF⋅x=12(8−2x)x=−x2+4x，
∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴该函数图象是开口向下，顶点坐标为（2，4）的抛物线，当x＝0时，y＝0；当x＝4时，y＝0，观察选项，只有A选项符合．
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象，理解题意，正确列出函数解析式是关键．
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，四个点的坐标分别为A（m﹣1，n+2），B（m，n），C（m+1，n﹣4），D（m+3，n﹣10）．若一次函数y＝kx+5的图象经过上述四个点中的三个点，则3m+n的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据题意，先求出任意两点确定直线的k值，进一步得出一次函数经过的三个点，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为A（m﹣1，n+2），B（m，n），C（m+1，n﹣4），D（m+3，n﹣10），
则A、B确定直线的k值为n+2−nm−1−m=−2，B、C确定直线的k值为n−(n−4)m−(m+1)=−4，C、D确定直线的k值为n−4−(n−10)m+1−(m+3)=−3，A、C确定直线的k值为n+2−(n−4)m−1−(m+1)=−3，
所以点A，C，D在一次函数y＝kx+5的图象上，
则k＝﹣3．
将点A坐标代入y＝﹣3x+5得，
﹣3（m﹣1）+5＝n+2，
整理得，3m+n＝6．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分30分）
11．（3分）分解因式5a﹣5a3的结果是 5a（1+a）（1﹣a） ．
【分析】先提取多项式的公因式，再利用平方差公式继续分解因式即可得到结果．
【解答】解：5a﹣5a3
＝5a（1﹣a2）
＝5a（1+a）（1﹣a）．
故答案为：5a（1+a）（1﹣a）．
【点评】本题考查的是因式分解，熟知因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键．
12．（3分）已知y=x−3+3−x+4，则xy= 23 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数非负得到不等式组，求出x，y值，代入求值即可．
【解答】解：由条件可得x−3≥03−x≥0，
解得x＝3，
∴y＝0+0+4＝4，
∴xy=3×4=23．
故答案为：23．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数非负．
13．（4分）如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB，DC可分别绕点A，B转动，当AB，DC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝45°时，点E在DC的延长线上，若AE＝10cm，则AB＝ (5+53) cm．
【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，根据垂直定义可得：∠AFE＝∠BFE＝90°，从而可得∠AEF＝30°，然后在Rt△AFE中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AF＝5cm，EF=53cm，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠ABC＝∠BEF＝45°，从而可得BF=EF=53cm，最后根据AB＝AF+BF计算即可解答．
【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∴∠AFE＝∠BFE＝90°，
∵∠BAE＝60°，∠ABC＝45°，
∴∠AEF＝90°﹣∠BAE＝30°，
∵AE＝10cm，
∴AF=12AE=5cm，EF=3AF=53cm，
∴∠BEF＝90°﹣∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BEF＝45°，
∴BF=EF=53cm，
∴AB=AF+BF=(5+53)cm，
故答案为：(5+53)．
【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
14．（4分）如图，在3×3幻方中，填入9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等按以上规则填成的幻方中，x﹣y的值为 ﹣1 ．
【分析】根据题意可知每行、每列上的三个数之和都相等可知5+y＝6+x，即可得解．
【解答】解：∵每行、每列每对角线上的三个数之和都相等，
∴5+y＝6+x，
∴x﹣y＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
15．（4分）如图，一块砖的A，B两个面的面积之比是5：3，如果A、B两个面分别向下在地上，地面所受压强分别为p1、p2，压强的计算公式为p=FS，其中p是压强，F是压力，S是受力面积，则p1、p2的大小关系为P1＜P2 ．
【分析】设A、B、C三个面的面积分别为5S、3S，砖块受到的重力为F，根据压强的计算公式和地面受到的压力等于砖块受到的重力分别计算，而后比较即得．
【解答】解：设A、B两个面的面积分别为5S、3S，砖块受到的压力为F，
∵地面受到的压力等于砖块受到的重力，
∴A，B三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为：P1=F5S，P2=F3S，
∴P1＜P2．
故答案为：P1＜P2．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解决问题的关键是掌握反比例函数的性质．
16．（4分）《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白．与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从偶，开平方得积”，若把这段文字表述为数学语言即为：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则其面积为S=14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，可利用其解决下列问题，如图，在△ABC中，AB=5，AC=10，BC＝5，则S△ABC＝ 52 ．
【分析】把数据代入面积公式计算面积即可求解．
【解答】解：在△ABC中，AB=5，AC=10，BC＝5，
∴S△ABC=14[(5)2×52−(5+25−102)2]=14×(125−100)=52．
故答案为：52．
【点评】本题考查了二次根式的应用，考核学生的计算能力，属于基础题．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在双曲线y=kx(k＞0)上，分别以点O和点A为圆心，大于12OA的长为半径作弧，两弧相交于B，C两点，作直线BC交x轴于点E，交y轴于点F（0，3）．若点A的纵坐标为1，则OFOE的值为 5 ．
【分析】根据题意得OF＝3，A（k，1），设E（m，0），先利用基本作图得到EF垂直平分OA，则根据线段垂直平分线的性质得到AF＝OF＝3，EA＝EO＝m，根据两点间的距离公式得到（k﹣0）2+（1﹣3）2＝32，解得k=5，所以A（5，1），接着利用EO＝EA得到m2＝（m−5）2+12，然后求出m后可计算出OFOE的值．
【解答】解：∵F（0，3）．
∴OF＝3，
∵点A的纵坐标为1，
∴A（k，1），
设E（m，0），
由基本作图得EF垂直平分OA，
∴AF＝OF＝3，EA＝EO＝m，
∴（k﹣0）2+（1﹣3）2＝32，
解得k=5或k=−5（舍去），
∴A（5，1），
∵EO＝EA，
∴m2＝（m−5）2+12，
解得m=355，
∴OE=355，
∴OFOE=3355=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和线段垂直平分线的性质．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，tanB=12，点M，N分别在边AB和AC上，且∠AMN＝∠C，作DM⊥AB交BC于D，NE⊥AC交BC于E（D在E左侧），若MN上存在一点P，使得∠MDP＝∠DPE＝∠PEN＝90°，则AMAB= 521 ．
【分析】根据题意可得CNEN=ENPE=PEPD=PDMD=MDBM=12，设AM＝b，AC＝a，则可列方程得到a，b之间的关系，即可解答．
【解答】解：由条件可知∠B＝90°﹣∠C＝90°﹣∠AMN＝∠ANM，
∴tan∠ANM=tanB=12，
∵DM⊥AB，
∴MD∥AC，
∴∠PMD＝∠ANM＝∠B，
由条件可知∠MDB+∠PDE＝∠MDB+∠B，
即∠PDE＝∠B，
同理可得∠NPE＝∠NEC＝∠B，
∴CNEN=ENPE=PEPD=PDMD=MDBM=12，
设AM＝b，AC＝a，
∴AN＝2AM＝2b，
∴CN＝a﹣2b，
∴EN＝2a﹣4b，
∴PE＝4a﹣8b，
∴PD＝8a﹣16b，
∴MD＝16a﹣32b，
∴BM＝32a﹣64b，
∵AB＝2AC，
∴32a﹣64b+b＝2a，
可得b=1021a，
∴AMAB=1021a2a=521，
故答案为：521．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练利用角度的转换得到对应角的正切值相等是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分90分）
19．（12分）（1）解不等式组2x−1＜x+1x+8＞4x−1；
（2）计算(3a+3+1)⋅a2−9a+6．
【分析】（1）解各不等式得出对应的解集后再求得它们的公共部分即可；
（2）将括号内的分式通分并计算，然后再算乘法即可．
【解答】解：（1）解第一个不等式得：x＜2，
解第二个不等式得：x＜3，
故原不等式组的解集为x＜2；
（2）原式=3+a+3a+3•(a+3)(a−3)a+6
=a+6a+3•(a+3)(a−3)a+6
＝a﹣3．
【点评】本题考查分式的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则及解不等式组的方法是解题的关键．
20．（10分）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇异数”，如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，因此8、16、24都是“奇异数”．
（1）试说明32是否为“奇异数”；
（2）你能说明“奇异数”一定是8的倍数吗？若能，请说明理由，若不能，请举一个反例．
【分析】（1）根据“奇异数”的定义，一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇异数”，设两个连续的奇数为2n﹣1、2n+1，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，即8n＝32时，n＝4，32＝92﹣72，因此32是“奇异数”．
（2）设两个连续的奇数为2n﹣1、2n+1，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，因为8n是8的倍数，所以“奇异数”一定是8的倍数．
【解答】解：（1）设两个连续的奇数为2n﹣1、2n+1，
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1）
＝8n，
当8n＝32时，n＝4，
2n﹣1＝7，2n+1＝9，
32＝92﹣72，
所以32是“奇异数”．
（2）设两个连续的奇数为2n﹣1、2n+1，
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1）
＝8n，
因为8n是8的倍数，
所以“奇异数”一定是8的倍数．
【点评】本题考查了因式分解的应用、命题与定理，解决本题的关键是求出“奇异数”的代数式．
21．（10分）某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生视力情况统计表
（1）求抽取的轻度近视学生人数；
（2）该校共有学生约1800人，请估算该校重度近视的学生人数．
【分析】（1）从所取样本中根据正常的人数和所占比例求出样本总数，总数乘以抽取的轻度近视学生人数所占比例即可求解；
（2）由扇形统计图可直接求近视程度为中度和重度的总人数．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：88÷44%＝200（人），
抽取的轻度近视学生人数为：200×23%＝46（人）；
答：抽取的轻度近视学生人数为46人；
（2）抽取的重度近视学生人数所占比例为：
（200﹣88﹣46﹣59）+200＝7÷200＝3.5%，
该校学生重度近视的学生人数约为：
1800×3.5%＝63（人）．
答：该校学生重度近视的学生人数约为63人．
【点评】本题考查扇形统计图、统计表以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据．
22．（10分）某超市为吸引顾客设置如下的翻奖牌，奖品有纸巾、牙刷、太阳伞，进店消费可翻一次牌翻奖牌的正面、背面如图所示．已知翻奖牌正面除数字外其他完全相同．请解决下面的问题：
（1）翻一次牌翻到“纸巾”的概率是 13 ；
（2）翻一次牌获得奖品的概率是 23 ；
（3）请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后翻到“纸巾”的概率是49，翻到“谢谢参与”的概率是29，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”．
【分析】（1）用“纸巾”的数量除以总数量即可；
（2）用获得奖品的数量除以总数量即可；
（3）根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由图可得，翻一次牌翻到“纸巾”的概率是39=13．
故答案为：；
（2）由图可得，翻一次牌获得奖品的概率是69=23．
故答案为：23；
（3）设计九张翻奖牌中有4张写着纸巾，2张写着谢谢参与，其它的3张牌中牙刷2张，太阳伞1张（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查概率公式，掌握概率公式是解题的关键．
23．（10分）如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB，PC，且PA＝PB．
（1）PB也是⊙O的切线吗？请说明理由；
（2）若∠APB＝60°，PA=43，则图中阴影部分的面积是 8π3 ．
【分析】（1）连接OP，OB，BC，根据切线得出直角，证明△PAO≌△PBO，即可得出结论；
（2）结合（1）中的结论得到相关角的度数，利用锐角三角函数求出半径，然后证明OP∥BC，得出阴影部分的面积等于扇形OCB的面积，求扇形的面积即可．
【解答】解：（1）PB是⊙O的切线，
连接OP，OB，BC，
∵点B在⊙O上，
∴OA＝OB，OP＝OP，PA＝PB，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠OAP＝∠OBP（全等三角形的对应角相等），
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）∵△PAO≌△PBO，∠APB＝60°，
∴∠OPA=∠OPB=12∠APB=30°（全等三角形的对应角相等），
∴∠AOP＝∠BOP＝60°，
∴OB=OA=AP⋅tan∠OPA=43×33=4，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠BOP＝60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠OBC＝∠BOP＝60°，
∴OP∥BC，
设点O到BC的高为h，
∴S△OBC＝S△PBC，
∴阴影部分的面积等于扇形OCB的面积，
∴S扇形OCB=60πr2360=60π×16360=8π3，
故答案为：8π3．
【点评】本题主要考查切线的判定和性质，掌握切线的判定和性质是解题的关键．
24．（12分）某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地设计一片矩形菜地，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，此次活动记录如下：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求菜园面积S（单位：m2）关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当菜园面积最大时，求此时矩形菜园的长和宽；
（3）判断该方案围成面积最大时是否符合墙长要求？
【分析】（1）根据矩形的面积公式即可得到结论；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）根据自变量x的取值范围，即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得，S＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x（0＜x≤6）；
（2）由（1）知，S＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25，
∴当x＝5时，S有最大值，
∴当菜园面积最大时，此时矩形菜园的长和宽分别为5m和5m；
（3）∵当菜园面积最大时，此时矩形菜园的长和宽分别为5m和5m；4≤x≤6，
∴该方案围成面积最大时符合墙长要求．
【点评】本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，熟练掌握矩形的性质和二次函数的性质是解题的关键．
25．（13分）如图1，矩形ABCD中，∠ADB＝60°，AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AD于点E，OF⊥AB于点F．
（1）求OEOF的值；
（2）如图2，当旋转OE，OF，且OE⊥OF时，求OEOF的值；
（3）如图3，当DO：OB＝1：4时，过点O作OE⊥OF，OE交DA的延长线于点E，OF交AB的延长线于点F，此时OEOF的值是否变化？证明你的结论．
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠DAB＝90°，DO＝BO，求得tan∠ADB＝tan60°=ABAD=3，根据三角形中位线定理得到OE=12AB，OF=12AD，于是得到OEOF=12AB12AD=3；
（2）过O作OM⊥AD于M，ON⊥AB于N，根据矩形的性质得到∠MON＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）过O作OM⊥AD于M，ON⊥AB于N，得到∠OMD＝∠DAB＝90°，根据相似三角形的性质得到ON=45AD，根据矩形的性质得到∠MON＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，DO＝BO，
∵∠ADB＝60°，
∴tan∠ADB＝tan60°=ABAD=3，
∵OE⊥AD于点E，OF⊥AB于点F，
∴OE∥AB，OF∥AD，
∴AE＝DE，AF＝BF，
∴OE，OF是△ABD的中位线，
∴OE=12AB，OF=12AD，
∴OEOF=12AB12AD=3；
（2）过O作OM⊥AD于M，ON⊥AB于N，
∴∠OMA＝∠MAN＝∠ONA＝90°，
∴四边形AMON是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠MOE＝∠NOF，
∵∠OME＝∠ONF＝90°，
∴△OME∽△ONF，
∴OEOF=OMON，
由（1）知，OMON=3，
∴OEOF=3；
（3）OEOF的值的变化，OEOF=34；
证明：过O作OM⊥AD于M，ON⊥AB于N，
∴∠OMD＝∠DAB＝90°，
∴OM∥AB，
∴△DOM∽△DBA，
∴OMAB=ODBD，
∵DO：OB＝1：4，
∴OMAB=ODBD=15，
∴OM=15AB，
∵∠ONF＝∠DAB＝90°，
∴ON∥AD，
∴△OBN∽△DBA，
∴ONAD=OBBD=45，
∴ON=45AD，
∵∠OMA＝∠MAN＝∠ONA＝90°，
∴四边形AMON是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠MOE＝∠NOF，
∵∠OME＝∠ONF＝90°，
∴△OME∽△ONF，
∴OEOF=OMON=15AB45AD=AB4AD，
∵AD=3AB，
∴OEOF=3AD4AD=34，
【点评】本题是相似形的综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．（13分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为m，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上．P，Q两点从点O，B处同时出发，分别沿着O→C和B→A的方向运动a个单位长度，运动到C，A两点处同时停止运动，连接PQ．其中a，m均为常数且am≠0．
（1）求证：在运动过程中线段PQ经过一定点，记作M，并直接写出点M的坐标；（用含有m的代数式表示）
（2）如图2，点M'与点M关于原点O对称．过点M作双曲线y1=kx（k为常数，k≠0）与AB交于点D，作直线DM'与x轴、y轴分别交于E，F两点，连接ME．
①求证：ME∥BA；
②若四边形MEDQ是平行四边形，求出a与m之间的函数关系式；
（3）当m≠2时，在（2）中②的条件下，延长ME交双曲线y2=−ax(x＞0)于G，将直线DE沿y轴向下平移经过点G得到直线y3＝sx+t．结合图象，直接写出不等式−ax＞sx+t的解集．
【分析】（1）运用待定系数法得出直线PQ的解析式，得出点M的坐标即可；
（2）①根据中心对称得出点M′的坐标，再求得点D的坐标，运用待定系数法可得直线M′D的解析式；
②由平行四边形性质可得MQ∥ED，即PQ∥M′D，建立方程求解即可；
（3）先求得点G的坐标，再求得直线DE平移后的直线解析式，联立方程求得两个交点的横坐标即可求得答案．
【解答】（1）证明：由题意得：P（0，a），Q（m，m﹣a），
设直线PQ的解析式为y＝nx+b，则b=anm+b=m−a，
解得：b=an=m−2am，
∴直线PQ的解析式为y=m−2amx+a，
当x=m2时，y=m−2am•m2+a=m2，
∴点M的坐标为（m2，m2），即线段PQ经过一定点M；
（2）①证明：由（1）知：M（m2，m2），
∵点M'与点M关于原点O对称．
∴M′（−m2，−m2），
∵双曲线y1=kx（k为常数，k≠0）经过点M，
∴k=m2×m2=m24，
∵双曲线y1与AB交于点D，
∴D（m，m4），
设直线M′D的解析式为y＝k1x+b1，则−m2k1+b1=−m2mk1+b1=m4，
解得：k1=12b1=−m4，
∴直线M′D的解析式为y=12x−m4，
令y＝0，得12x−m4=0，
解得：x=m2，
∴E（m2，0，），
∴ME⊥x轴，
∵AB⊥x轴，
∴ME∥BA；
②解：∵四边形MEDQ是平行四边形，
∴MQ∥ED，即PQ∥M′D，
∴m−2am=12，
∴m＝4a，
即a=14m；
（3）解：由（2）②知，ME⊥x轴，E（m2，0），a=14m，
∴y2=−ax=−m4x，
∴G（m2，−12），
∵将直线DE沿y轴向下平移经过点G得到直线y3＝sx+t
∴y3=12x+t，把G的坐标代入得：14m+t=−12，
解得：t=−14m−12，
∴y3=12x−14m−12．
联立得：12x−14m−12=−m4x，
解得：x1＝1，x2=m2，
当0＜m＜2时，不等式−ax＞sx+t的解集为m2＜x＜1；
当m＞2时，不等式−ax＞sx+t的解集为1＜x＜m2；
综上，当0＜m＜2时，不等式−ax＞sx+t的解集为m2＜x＜1；当m＞2时，不等式−ax＞sx+t的解集为1＜x＜m2．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与不等式的关系，正方形性质，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握并能够灵活运用相关知识，应用方程思想和分类讨论思想是解题关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/10 0:29:02；用户：13961311856；邮箱：13961311856；学号：22772176
类别
检查结果
人数
A
正常
88
B
轻度近视
▲
C
中度近视
59
D
重度近视
▲
活动主题
为学校设计矩形菜园
活动准备
1．准备皮尺等测量工具；2．调研学校需求
采集数据
图1是学校围墙一角的平面图，信息图下：
1．两道墙之间的夹角为直角；
2．两道墙可用于建菜园的长度都不超过6m．
3．可用的篱笆总长度为10m．
设计方案
把篱笆按如图2示的方式扎下后和两道墙构成矩形ABCD．通过改变AB的长度，使得菜园的面积最大．
确定思路
小组成员经过讨论，确定设AB的长为xm，菜园的面积为Sm2，列出S关于x的函数关系，根据x的取值范围确定函数值的范围．从而获得菜园面积的最大值．
题号
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
答案
B
D
A
A
D
C
B
C
A
D
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B
轻度近视
▲
C
中度近视
59
D
重度近视
▲
活动主题
为学校设计矩形菜园
活动准备
1．准备皮尺等测量工具；2．调研学校需求
采集数据
图1是学校围墙一角的平面图，信息图下：
1．两道墙之间的夹角为直角；
2．两道墙可用于建菜园的长度都不超过6m．
3．可用的篱笆总长度为10m．
设计方案
把篱笆按如图2示的方式扎下后和两道墙构成矩形ABCD．通过改变AB的长度，使得菜园的面积最大．
确定思路
小组成员经过讨论，确定设AB的长为xm，菜园的面积为Sm2，列出S关于x的函数关系，根据x的取值范围确定函数值的范围．从而获得菜园面积的最大值．