2022版新高考数学一轮总复习课后集训：22+利用导数研究不等式恒（能）成立问题+Word版含解析

课后限时集训(二十二)　利用导数研究不等式恒(能)成立问题

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1．设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.

(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；

(2)如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．

[解]　(1)存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M.

由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3x.

令g′(x)＞0得x＜0或x＞，

令g′(x)＜0得0＜x＜，

又x∈[0,2]，

所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以g(x)min＝g＝－，

又g(0)＝－3，g(2)＝1，

所以g(x)max＝g(2)＝1.

故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝≥M，

则满足条件的最大整数M＝4.

(2)对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)min≥g(x)max，

由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)＝1.

在区间上，f(x)＝＋xln x≥1恒成立等价于a≥x－x2ln x恒成立．

设h(x)＝x－x2ln x，h′(x)＝1－2xln x－x，

令m(x)＝xln x，由m′(x)＝ln x＋1＞0得x＞.

即m(x)＝xln x在上单调递增，

可知h′(x)在区间上是减函数，

又h′(1)＝0，所以当1＜x＜2时，h′(x)＜0；

当＜x＜1时，h′(x)＞0.

即函数h(x)＝x－x2ln x在区间上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h(x)max＝h(1)＝1，

所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)．

2．(2020·烟台模拟)已知函数f(x)＝px2－(4p＋1)x＋2ln x，其中p∈R.

(1)当p＞0时，试求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若不等式f(x)≤px2－(4p＋1)x－2q(x－1)·ex在x∈(1，＋∞)时恒成立，求实数q的取值范围．

[解]　(1)f′(x)＝2px－(4p＋1)＋

＝(x＞0，p＞0)，

当＜2即p＞时，由f′(x)＞0解得x＞2或0＜x＜；

当＝2即p＝时，f′(x)≥0在(0，＋∞)恒成立；

当＞2即0＜p＜时，由f′(x)＞0解得x＞或0＜x＜2.

综上，当p＞时，f(x)的单调递增区间为，(2，＋∞)；

当p＝时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；

当0＜p＜时，f(x)的单调递增区间为(0,2)，.

(2)由f(x)≤px2－(4p＋1)x－2q(x－1)ex，

化简得：ln x＋q(x－1)ex≤0在(1，＋∞)时恒成立，

记g(x)＝ln x＋q(x－1)ex，

当q≥0时，g(x)在x∈(1，＋∞)为单调递增，g(1)＝0，所以g(x)＞0，不合题意；

当q＜0时，g′(x)＝＋qxex在x∈(1，＋∞)为单调递减，g′(1) ＝1＋qe，

若g′(1)＝1＋qe≤0，即q≤－时，g′(x)＜g′(1)，所以g′(x)＜0，

所以g(x)在x∈(1，＋∞)为单调递减，所以g(x)＜g(1)＝0，所以q≤－符合题意．

若g′(1)＝1＋qe＞0，即q＞－时，

g′(x)＝＋qxex在x∈(1，＋∞)为单调递减，∃x0∈(1，＋∞)使得x∈(1，x0)，g′(x)＞0，即g(x)在x∈(1，x0)为单调递增，所以g(x)＞g(1)＝0与g(x)≤0矛盾，所以q＞－，不合题意．

综上，q∈.

3．(2020·龙岩模拟)已知函数f(x)＝ln x(其中e为自然对数的底数)．

(1)证明：f(x)≤f(e)；

(2)对任意正实数x、y，不等式a(ln y－ln x)－2x≤0恒成立，求正实数a的最大值．

[解]　(1)证明：f′(x)＝－ln x＋

＝－ln x＋－＝，

令g(x)＝－xln x＋2e－x，

g′(x)＝－ln x＋(－x)·－1＝－ln x－2，

在(0，e－2)上，g′(x)＞0，g(x)单调递增，

在(e－2，＋∞)上，g′(x)＜0，g(x)单调递减，

所以g(x)max＝g(e－2)＝－e－2ln e－2＋2e－e－2＝2e－2＋2e－e－2＝e－2＋2e＞0，

又因为x→0时，g(x)→0；g(e)＝0，

所以在(0，e)上，g(x)＞0，f′(x)＞0，f(x)单调递增，

在(e，＋∞)上，g(x)＜0，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

所以f(x)max＝f(e)，即f(x)≤f(e)．

(2)因为x，y，a，都大于0，

由a(ln y－ln x)－2x≤0两边同除以ax整理得：

≥ln ，

令＝t(t＞0)，所以≥ln t恒成立，

记h(t)＝ln t，则≥h(t)max，

由(1)知h(t)max＝g(e)＝1，

所以≥1，即0＜a≤2，amax＝2.

所以正实数a的最大值是2.