2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 073-课时作业66 最值与范围问题（一）（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 073-课时作业66 最值与范围问题（一）（教用），共13页。试卷主要包含了一动圆与圆O1，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
1．（15分）一动圆与圆O1:x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆O2:x2+y2−6x−91=0内切.
（1） 求动圆圆心M的轨迹方程；
（2） 记（1）所求的轨迹方程对应的曲线为E，点P为曲线E上一动点，点Q的坐标为(1,0)，求点P到点Q距离的最小值，并写出此时点P的坐标.
【解析】
（1） 圆O1:x2+y2+6x+5=0，即(x+3)2+y2=4，圆心为O1(−3,0)，半径为2，
圆O2:x2+y2−6x−91=0，即(x−3)2+y2=100，圆心为O2(3,0)，半径为10.
设M(x,y)，圆M的半径为R，
因为动圆M与圆O1外切，所以|O1M|=R+2①，
因为动圆M与圆O2内切，所以|O2M|=10−R②，
将①②两式相加，得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|=6，
所以点M的轨迹是焦点为O1(−3,0),O2(3,0)，长轴长为12的椭圆，
即c=3,a=6，所以b2=36−9=27，
所以动圆圆心M的轨迹方程为x236+y227=1.
（2） 设P(x1,y1),则|PQ|=(x1−1)2+y12，
因为点P(x1,y1)在椭圆上，所以x1236+y1227=1，故y12=27(1−x1236)，
所以|PQ|=14(x1−4)2+24,−6≤x1≤6，
所以当x1=4时，|PQ|取得最小值，为26，
此时点P的坐标为(4,15)或(4,−15).
2．（2025·安徽马鞍山模拟）（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P(0,1)，动点M在x轴上的投影为M′，且|M′M|=|M′P|，记动点M的轨迹为曲线Γ .
（1） 求曲线Γ 的方程；
（2） 已知点A，B在曲线Γ 上，点A在x轴上方且异于点P，点B在x轴下方，直线AP，BP，AB与x轴分别交于点C，D，Q.
（i） 若PA⊥PB，求|AB|的取值范围；
（ii） 求证：|QC|⋅|QD|=|PQ|2.
【解析】
（1） 设M(x,y)，则M′(x,0)，
由|M′M|=|M′P|，得|y|=x2+12，整理得曲线Γ 的方程为y2−x2=1.
（2） （i） 易知直线PA的斜率存在，且不为0，所以设直线PA的斜率为k，
则直线PA:y=kx+1，
联立y=kx+1,y2−x2=1,得(k2−1)x2+2kx=0，故xA=−2kk2−1，
因为PA⊥PB，所以直线PB的斜率为−1k，xB=−2(−1k)(−1k)2−1=2k1−k2，所以xA=xB，即AB⊥x轴，
所以|AB|=2yA>2，即|AB|的取值范围为(2,+∞).
（ii） 证明：由题意可设直线AB:x=my+t，则Q(t,0),|PQ|2=t2+1，
联立x=my+t,y2−x2=1,得(1−m2)y2−2mty−(t2+1)=0，
由Δ>0，得t2+1>m2，
yA+yB=−2mtm2−1,yAyB=t2+1m2−1，
在直线AP的方程y=yA−1xAx+1中，令y=0，得x=−xAyA−1，故C(−xAyA−1,0)，
同理可得D(−xByB−1,0)，
又Q(t,0)，所以|QC|⋅|QD|=|t+xAyA−1|⋅|t+xByB−1|=|tyA−t+myA+tyA−1|⋅|tyB−t+myB+tyB−1|=(t+m)2⋅|yAyByAyB−(yA+yB)+1|=(t+m)2⋅|t2+1(t2+1)−(−2mt)+(m2−1)|=t2+1=|PQ|2.
3．（2025·河北模拟）（15分）已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为53，对称轴为坐标轴，且经过点(22,23).
（1） 求E的方程；
（2） 若过P(0,1)的直线交椭圆E于C，D两点，求|CP||DP|的取值范围.
【解析】
（1） 依题意，可设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
由ca=53，得a=355c，又a2=b2+c2，所以b=255c，则x295c2+y245c2=1，
将点(22,23)代入，得c2=5，则a2=9,b2=4，
所以E的方程为x29+y24=1.
（2） 设A(0,2),B(0,−2)，
当直线CD的斜率不存在时，若点C与A重合，D与B重合，则|CP||DP|=|AP||BP|=13；
若点D与A重合，C与B重合，则|CP||DP|=|BP||AP|=3.
当直线CD的斜率存在时，设直线CD:y=kx+1,C(x1,y1),D(x2,y2)，
则|CP||DP|=x12+(y1−1)2x22+(y2−1)2=x12(1+k2)x22(1+k2)=|x1x2|,
联立y=kx+1,x29+y24=1,消去y可得(4+9k2)x2+18kx−27=0，显然Δ>0，
则x1+x2=−18k4+9k2,x1x2=−274+9k2，
因为4+9k2≥4,所以x1x2