2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业53《最值、范围、证明问题（学生版）

课时作业53　最值、范围、证明问题

第一次作业　基础巩固练

1．已知动圆C与圆C1：(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线l：x＝－1相切．

(1)求动圆圆心轨迹E的方程；

(2)若动点M为直线l上任一点，过点P(1,0)的直线与曲线E相交于A，B两点，

求证：kMA＋kMB＝2kMP.

2. 如图，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F(1,0)，过点A且斜率为1的直线交椭圆E于另一点B，交y轴于点C，＝6.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，连接MO(O为坐标原点)并延长交椭圆E于点Q，求△MNQ面积的最大值及取最大值时直线l的方程．

3．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．

(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；

(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切．

4．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且＝λ，λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值．

5．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．

第二次作业　高考·模拟解答题体验

1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，△ABF2的周长为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△ABF2的面积最大时，求l的方程．

2．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左、右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为.

(1)求椭圆M的标准方程；

(2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求·的取值范围．

3．已知点C是圆F：(x－1)2＋y2＝16上任意一点，点F′与圆心F关于原点对称．线段CF′的中垂线与CF交于P点．

(1)求动点P的轨迹方程E；

(2)设点A(4,0)，若直线PQ⊥x轴且与曲线E交于另一点Q，直线AQ与直线PF交于点B，证明：点B恒在曲线E上，并求△PAB面积的最大值．

4．已知椭圆W：＋＝1(a>b>0)的焦距与椭圆Ω：＋y2＝1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A，直线l与直线OA(O为坐标原点)垂直，且l与W交于M，N两点．

(1)求W的方程；

(2)求△MON的面积的最大值．

5．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b,0)，且|FB|·|AB|＝6.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线l：y＝kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.

若＝sin∠AOQ(O为原点)，求k的值．