2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业53《最值、范围、证明问题》（教师版）

课时作业53　最值、范围、证明问题

第一次作业　基础巩固练

1．已知动圆C与圆C1：(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线l：x＝－1相切．

(1)求动圆圆心轨迹E的方程；

(2)若动点M为直线l上任一点，过点P(1,0)的直线与曲线E相交于A，B两点，求证：kMA＋kMB＝2kMP.

解：(1)由题知，动圆C的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x＝－2的距离，所以由抛物线的定义可知，动圆C的圆心轨迹是以(2,0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，所以动圆圆心轨迹E的方程为y2＝8x.

(2)证明：由题知当直线AB的斜率为0时，不符合题意，所以可设直线AB的方程为x＝my＋1，联立消去x，得y2－8my－8＝0，Δ＝64m2＋32>0恒成立，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(－1，t)，

则y1＋y2＝8m，y1·y2＝－8，x1＋x2＝8m2＋2，x1·x2＝1，

而2kMP＝2·＝－t，

kMA＋kMB＝＋

＝

＝

＝＝－t，

所以kMA＋kMB＝2kMP.

2. 如图，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F(1,0)，过点A且斜率为1的直线交椭圆E于另一点B，交y轴于点C，＝6.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，连接MO(O为坐标原点)并延长交椭圆E于点Q，求△MNQ面积的最大值及取最大值时直线l的方程．

解：(1)由题知A(－a,0)，C(0，a)，故B，

代入椭圆E的方程得＋＝1，结合a2－b2＝1，得a2＝4，b2＝3，

故椭圆E的方程为＋＝1.

(2)由题知，直线l不与x轴重合，故可设l：x＝my＋1，代入＋＝1得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则y1＋y2＝，y1y2＝，

连接ON，由Q与M关于原点对称知，

S△MNQ＝2S△MON＝|y1－y2|

＝＝

＝，

∵≥1，

∴3＋≥4，

∴S△MNQ≤3，

当且仅当m＝0时，等号成立，

∴△MNQ面积的最大值为3，此时直线l的方程为x＝1.

3．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．

(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；

(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切．

解：(1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p.

∴S△ABD＝p2＝1.

∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.

(2)证明：显然直线AB的斜率存在，设其方程为y＝kx＋，A，B.

由消去y整理得，x2－2kpx－p2＝0.

∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.

∴M，N.

∴kAN＝＝＝＝＝.

又x2＝2py，∴y′＝.

∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝.

∴直线AN与抛物线相切．

4．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且＝λ，λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值．

解：(1)由题易知c＝1，＋＝1，

又a2＝b2＋c2，解得b2＝1，a2＝2，

故椭圆E的标准方程为＋y2＝1.

(2)设直线l：x＝ky＋1，由

得(k2＋2)y2＋2ky－1＝0，Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)>0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则可得y1＋y2＝，y1y2＝.

＝＋＝(x1＋x2－4，y1＋y2)＝，

∴||2＝|＋|2＝16－＋，由此可知，||2的大小与k2的取值有关．

由＝λ可得y1＝λy2，λ＝，＝(y1y2≠0)．

从而λ＋＝＋＝＝，

由λ∈[－2，－1]得∈，

从而－≤≤－2，解得0≤k2≤.

令t＝，则t∈，

∴||2＝8t2－28t＋16＝82－，∴当t＝时，|QC|min＝2.

5．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．

解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

由条件知，解得a＝2，c＝，b＝1，

故椭圆C的方程为＋x2＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，

故x1＋x2＝－，x1x2＝－，

设△OAB的面积为S，

由x1x2＝－<0，

知S＝×1×|x1－x2|＝＝2 ，

令k2＋3＝t，知t≥3，∴S＝2.

对函数y＝t＋(t≥3)，知y′＝1－＝>0，

∴y＝t＋在t∈[3，＋∞)上单调递增，∴t＋≥，

∴0<≤，∴0<S≤.

故△OAB面积的取值范围为.

第二次作业　高考·模拟解答题体验

1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，△ABF2的周长为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△ABF2的面积最大时，求l的方程．

解：(1)由椭圆的定义知4a＝4，a＝，

由e＝知c＝ea＝1，b2＝a2－c2＝1.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，|F1F2|＝2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my－1，

联立x＝my－1与＋y2＝1，

得(m2＋2)y2－2my－1＝0，|y1－y2|＝，

S△ABF2＝2＝2，

当m2＋1＝1，m＝0时，S△ABF2最大为，l：x＝－1.

2．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左、右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为.

(1)求椭圆M的标准方程；

(2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求·的取值范围．

解：(1)由题意知＝，·2c·b＝，a2＝b2＋c2，解得c＝1，a＝2，b＝.所以椭圆M的标准方程是＋＝1.

(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x1，－y1)，直线AB：y＝kx＋m.

将y＝kx＋m，代入＋＝1得，

(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.

则x1＋x2＝－，x1x2＝.

因为B，C，F2共线，所以kBF2＝kCF2，

即＝，

整理得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，

所以2k－(m－k)－2m＝0，解得m＝－4k.

所以直线AB：y＝k(x－4)，与x轴交于定点P(4,0)．

因为y＝3－x，所以·＝(x1－4，y1)·(x1－1，－y1)

＝x－5x1＋4－y＝x－5x1＋1＝2－.

因为－2<x1<2，所以·的取值范围是.

3．已知点C是圆F：(x－1)2＋y2＝16上任意一点，点F′与圆心F关于原点对称．线段CF′的中垂线与CF交于P点．

(1)求动点P的轨迹方程E；

(2)设点A(4,0)，若直线PQ⊥x轴且与曲线E交于另一点Q，直线AQ与直线PF交于点B，证明：点B恒在曲线E上，并求△PAB面积的最大值．

解：(1)由题意得，F点坐标为(1,0)，因为P为CF′中垂线上的点，所以|PF′|＝|PC|.又|PC|＋|PF|＝4，所以|PF′|＋|PF|＝4>|FF′|＝2，由椭圆的定义知，2a＝4，c＝1，所以动点P的轨迹方程E为＋＝1.

(2)设P点坐标为(m，n)(n≠0)，则Q点的坐标为(m，－n)，且3m2＋4n2＝12，

所以直线QA：y＝(x－4)，即nx－(4－m)y－4n＝0，

直线PF：y＝(x－1)，即nx－(m－1)y－n＝0.

联立方程组解得xB＝，yB＝，

则＋＝＋＝＝＝1，

所以点B恒在椭圆E上．

设直线PF：x＝ty＋1，P(x1，y1)，B(x2，y2)，

则由消去x整理得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，

所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，

所以|y1－y2|＝

＝＝，

从而S△PAB＝|FA||y1－y2|＝

＝＝.

令μ＝(μ≥1)，则函数g(μ)＝3μ＋在[1，＋∞)上单调递增，故g(μ)min＝g(1)＝4，所以S△PAB≤＝，即当t＝0时，△PAB的面积取得最大值，且最大值为.

4．已知椭圆W：＋＝1(a>b>0)的焦距与椭圆Ω：＋y2＝1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A，直线l与直线OA(O为坐标原点)垂直，且l与W交于M，N两点．

(1)求W的方程；

(2)求△MON的面积的最大值．

解：(1)由题意可得

∴故W的方程为＋＝1.

(2)联立得∴＝.

又A在第一象限，∴kOA＝＝.

故可设l的方程为y＝－3x＋m.

联立得31x2－18mx＋3m2－12＝0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

∴|MN|＝×＝×.

又O到直线l的距离为d＝，

则△MON的面积S＝d·|MN|＝，

∴S＝≤(m2＋31－m2)＝，

当且仅当m2＝31－m2，即m2＝时，满足Δ>0，

故△MON的面积的最大值为.

5．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b,0)，且|FB|·|AB|＝6.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线l：y＝kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.

若＝sin∠AOQ(O为原点)，求k的值．

解：(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.

由已知可得，|FB|＝a，|AB|＝b，

由|FB|·|AB|＝6，可得ab＝6，从而a＝3，b＝2.

所以，椭圆的方程为＋＝1.

(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)．

由已知有y1>y2>0，

故|PQ|sin∠AOQ＝y1－y2.

又因为|AQ|＝，而∠OAB＝，故|AQ|＝y2.

由＝sin∠AOQ，可得5y1＝9y2.

由方程组消去x，可得y1＝ .

易知直线AB的方程为x＋y－2＝0，

由方程组消去x，可得y2＝.

由5y1＝9y2，可得5(k＋1)＝3，两边平方，整理得56k2－50k＋11＝0，

解得k＝，或k＝.

所以，k的值为或.