2026年高考数学第一轮专题复习：课时突破练36数列中的综合问题 [含答案]

这是一份2026年高考数学第一轮专题复习：课时突破练36数列中的综合问题 [含答案]，共21页。试卷主要包含了定义在区间D上的函数f满足等内容，欢迎下载使用。
1.(15分)(2024·江苏常州期末)已知数列{an}为等差数列,{bn}为公比为3的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.
(1)证明:a1=3b1;
(2)若集合M={k|bk=am+a1,1≤m≤100},求集合M中的元素个数.
2.(15分)(2024·河北秦皇岛期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且2S1,S3,S2成等差数列,a4+a5=332.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=1(2n-1)(1-2lg2an),证明:数列{bn}的前n项和Tnx1-x2x1+x2,则称f(x)是D上的“好函数”.
(1)若f(x)=ax2是[1,+∞)上的“好函数”,求a的取值范围.
(2)①证明:g(x)=ln x是(0,+∞)上的“好函数”;
②设n∈N*,证明:ln(2n+1)>1+12+13+14+…+1n.
答案：
1.(1)证明 设数列{an}的公差为d,
则a1+d-3b1=a1+2d-9b1,a1+d-3b1=27b1-(a1+3d),
解得d=6b1,a1=3b1.
(2)解 由(1)知b1=a13=d6,所以d=2a1,所以bk=am+a1,即a13×3k-1=a1+(m-1)×2a1+a1.
因为a1≠0,所以2m=3k-2,
因为m∈N*,所以2m是偶数,
所以k无正整数解,故集合M中的元素个数为0.
2.(1)解 设等比数列{an}的公比为q,
由2S1,S3,S2成等差数列知,2S3=2S1+S2,即2(a1+a2+a3)=2a1+(a1+a2),
所以2a3+a2-a1=0,有2q2+q-1=0,即q=12或-1.
①当q=-1时,a4+a5=a4-a4=0≠332,不合题意;
②当q=12时,a4+a5=18a1+116a1=3a116=332,得a1=12,所以等比数列{an}的通项公式an=12n.
(2)证明 由(1)知1-2lg2an=1-2lg212n=1+2n,
所以bn=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1−12n+1),
所以数列{bn}的前n项和Tn=12(1-13+13−15+…+12n-1−12n+1)=12(1-12n+1),
由12n+1>0,可得Tn2(x1+x2)2.
因为x1+x2∈(2,+∞),所以a≥12,即a的取值范围为[12,+∞).
(2)证明 ①设x1,x2∈(0,+∞),
则g(x1)-g(x2)2−x1-x2x1+x2=ln x1-ln x22−x1-x2x1+x2=ln x1x22−x1x2-1x1x2+1.
令t=x1x2,且t∈(1,+∞),h(t)=ln t-2(t-1)t+1,t∈(1,+∞),
则h'(t)=1t−4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2>0,则h(t)在(1,+∞)上单调递增,所以h(t)>h(1)=0,
即g(x1)-g(x2)2>x1-x2x1+x2,
所以g(x)=ln x是(0,+∞)上的“好函数”.
②由①可知,当x∈(1,+∞)时,ln x1-ln x22>x1-x2x1+x2,
令x1=2n+1,x2=2n-1,n∈N*,
则ln(2n+1)-ln(2n-1)2>12n,
即ln(2n+1)-ln(2n-1)>1n.
故ln 3-ln 1+ln 5-ln 3+…+ln(2n+1)-ln(2n-1)>11+12+13+…+1n,
化简可得ln(2n+1)>1+12+13+14+…+1n.