2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题7.3直线平面平行的判定与性质(七类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题7.3直线平面平行的判定与性质(七类重难点题型精练)(学生版+解析)，共66页。

重难点题型1 平行的判定
1．（2025·安徽合肥·模拟预测）设是两条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．（24-25高二下·北京·期中）已知直线，平面，给出下列四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．（2025·福建福州·模拟预测）如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·四川达州·模拟预测）（多选题）已知直线，不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，且，则
5．（2024·江苏徐州·模拟预测）（多选题）如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平面的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·贵州贵阳·二模）（多选题）设是三个不同的平面，是两条不同的直线，在命题“，，且__________．则”中的横线处填入下列四组条件中的一组，使该命题为真命题，则可以填入的条件有（ ）
A．B．
C．D．
重难点题型2 线面平行（三角形的中位线法）
7．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到直线的距离.
8．（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示在直三棱柱中，，，M是的中点，
(1)求证：平面，
(2)试问在棱上是否存在点，使得与与所成角为?若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由，
(3)在（2）题设条件下，试求平面与平面所成角的余弦值.
9．（2025·湖南·三模）如图，在长方体中，，点E是棱的中点．
(1)求证：平面BDE；
(2)求直线与平面BDE所成角的正弦值．
10．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为正三角形，且侧面底面分别为线段的中点.
(1)求证：平面.
(2)求平面和平面夹角的正弦值.
重难点题型3 线面平行（平行四边形法）
11．（2025·四川成都·一模）如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的大小.
12．（2025·河北保定·二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点．
(1)当为棱的中点时，证明：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．
13．（2025·安徽淮北·模拟预测）在如图所示的五面体中，四边形ABCD与FECD均为等腰梯形 M，N分别为EF，CD的中点，AC与BN相交于点P.
(1)求证: MP平面BCE.
(2)若平面，求二面角M-AC-E的余弦值.
14．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
重难点题型4 线面平行的性质定理（用线面平行证明线线平行）
15．（2025·重庆·三模）如图，在四面体 中， 分别为 的中点，过 的平面 分别交棱 (不含端点) 于 两点．
(1)证明： ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值．
16．（2025·北京西城·一模）如图，在多面体中，平面，平面平面，，于点．

(1)求证：；
(2)设，，求直线与平面所成角的正弦值．
17．（24-25高三上·河北承德·开学考试）正四棱柱中，点分别在上，且四点共面.
(1)若，记平面与底面的交线为，证明：；
(2)已知，若，求四边形面积的最大值.
18．（2024·江苏·模拟预测）如图，在四棱台中，，，．
(1)记平面与平面的交线为，证明：；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
重难点题型5 面面平行的证明
19．（2025·上海杨浦·三模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F，G分别为PD，AB，AC的中点.
(1)求证：平面平面PBC；
(2)若，
（i）求点F到平面AEG的距离.
（ii）画出四边形ABCD的斜二测直观图，并求斜二测直观图面积
20．（2025·安徽·模拟预测）如图1，E，F，G，H分别是正方形各边中点，将分别沿折起，使得所在平面与底面均垂直（如图2），连接．

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的正切值．
21．（2025·四川德阳·三模）如图，四边形是矩形，平面，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与棱交于点，求平面与平面所成角的正弦值.
22．（23-24高一下·福建龙岩·期中）如图，梯形是圆台的轴截面，E，F分别在底面圆，的圆周上，EF为圆台的母线，，已知，，G，H分别为，的中点.
(1)证明：平面平面.
(2)若三棱锥的体积为，求圆台的侧面积.
重难点题型6 面面平行的性质
23．（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，、分别为、的中点．

(1)证明：平面；
(2)求异面直线与夹角的余弦值．
24．（2025高三·全国·专题练习）如图，在五面体中，，为的中点，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)已知平面，，，为正三角形，，当二面角的余弦值为时，求.
25．（2025·浙江·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，M，N为别为棱PB，CD的中点．

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
26．（2025·上海松江·二模）已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)当时，求直线和平面所成角的大小.
重难点题型7 平行关系的综合应用
27．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为正方形，，AD=AE=BC=BF=3，EF=2AB=4．
(1)设平面ADE∩平面BCF=l，证明：；
(2)直线DE上是否存在点G，使得DE⊥平面 ABG？若存在，确定点G的位置并说明理由；若不存在，请说明理由；
(3)若，λ∈[0,1]，求平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围．
28．（2025·重庆·二模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，点在线段上(与不重合).
(1)若平面平面，证明: 平面；
(2)当的面积最小时，求 值；
(3)在 (2) 的条件下，若点 是线段的 等分点，分别过点 在四棱锥上作平行于平面的截面，记相应的截面面积为 ，证明: .
参考公式:
29．（2025·辽宁沈阳·三模）如图所示，在直角梯形中，，A，D分别是，上的点，且，，，，将四边形沿向上折起，连接，，，在折起的过程中，记二面角的大小为，记几何体的体积为V．
(1)求证：平面；
(2)当时，请将V表达为关于的函数，并求该函数的最大值；
(3)若平面和平面垂直，当取得最大值时，求V的值．
30．（2025·河北·模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面是矩形，点为上不同于的一点，点在上，且，动点满足，动点在上底面上，满足．
(1)证明：平面；
(2)①求动点的轨迹长度；
②当点为的中点时，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
序号
题型
重难点题型1
平行的判定
重难点题型2
线面平行（三角形的中位线法）
重难点题型3
线面平行（平行四边形法）
重难点题型4
线面平行的性质定理（用线面平行证明线线平行）
重难点题型5
面面平行的证明
重难点题型6
面面平行的性质
重难点题型7
平行关系的综合应用
专题7.3 直线、平面平行的判定与性质
目录●重难点题型分布
重难点题型1 平行的判定
1．（2025·安徽合肥·模拟预测）设是两条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、面面平行证明线线平行、线面垂直证明线线平行
【分析】根据空间中直线与直线位置关系可判断A；根据面面平行的性质定理可判断B；根据线面垂直的性质可判断C；根据面面平行与线面垂直的性质可判断D.
【详解】若，则或与互为异面直线，故A错误；
若，由面面平行的性质定理，可得，故B正确；
若，由线面垂直的性质，可得，故C正确；
若，则，
又因为是两个不同的平面，是两条不重合的直线，则，D选项正确；
故选：A
2．（24-25高二下·北京·期中）已知直线，平面，给出下列四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断线面平行、线面关系有关命题的判断
【分析】根据线面平行的判定定理及性质即可求解.
【详解】对于①，若，则或，故①错误；
对于②，若，则可共面，也可异面，不一定得到，故②错误；
对于③，若，则或，故③错误；
对于④，若，则不一定平行，也可以与异面,，故④错误.
故选：A.
3．（2025·福建福州·模拟预测）如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、证明面面平行
【分析】根据线面平行、面面平行的判定定理及性质即可判断.
【详解】对于A选项，如图①所示，在正方体中，
且，
因为分别为的中点，
则且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面平面，
所以平面，同理可证平面，
因为平面，
所以平面平面，
因为平面，
故平面,故A满足；
对于B选项，如图②所示，连接，

在正方体中，且，
因为分别为的中点，则且，
所以四边形为平行四边形，故，
因为分别为的中点，则，
所以，
因为平面平面，
所以平面，故B满足；
对于C选项，如图③所示，在正方体中，取的中点，
连接，

因为且分别为的中点，
所以且，故四边形为平行四边形，则，
因为分别为的中点，
所以，则，
所以四点共面，
因为且，则四边形为平行四边形，
所以，
因为分别为的中点，则，
所以，
因为平面平面，
所以平面故C满足；
对于D选项，如图④所示，在正方体中，取的中点，
连接，

因为且分别为的中点，
则且，
所以四边形为平行四边形，则，
因为分别为的中点，
所以，故，
所以四点共面，
同理可证，故，
同理可得，
反设平面，
因为，且平面，则平面，
但与平面有公共点，这与平面矛盾，
故平面，故D不满足.
故选：D.
4．（2025·四川达州·模拟预测）（多选题）已知直线，不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，且，则
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】面面关系有关命题的判断、判断面面平行、判断面面是否垂直
【分析】根据点，线，面位置关系的定理和性质逐一判断即可.
【详解】A，因为，，所以，
又，所以不同的平面满足，故A正确；
B，若，且，则或两平面相交，
比如：正方体的底面和侧面中分别取直线，且，但是底面和侧面并不平行，故B错误；
C，若，且，则两平面相交或平行，
比如：正方体的上下两个底面中分别取直线，且，上底面与平行，但是上底面与下底面并不垂直；故C错误；
D，因为，，则，又，所以，故D正确.
故选：AD
5．（2024·江苏徐州·模拟预测）（多选题）如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【难度】0.85
【知识点】证明线面平行
【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.
【详解】对A：如图：

连接，因为为正方体棱的中点，所以，又，所以，
平面，平面，所以平面.故A正确；
对B：如图：

因为是正方体棱的中点，所以，，，
所以，
同理：，.
所以5点共面，所以平面不成立.故B错误；
对C：如图：

因为是正方体棱的中点，所以，，所以.
平面，平面，所以平面.故C正确；
对D：如图：

因为为正方体棱的中点，连接交于，连接，
则为的中位线，所以，
平面，平面，所以平面.故D正确.
故选：ACD
6．（2024·贵州贵阳·二模）（多选题）设是三个不同的平面，是两条不同的直线，在命题“，，且__________．则”中的横线处填入下列四组条件中的一组，使该命题为真命题，则可以填入的条件有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】平行公理、线面关系有关命题的判断、面面平行证明线线平行、线面平行的性质
【分析】作出相应图形，再由线面平行、面面平行的性质和线线平行判定判断求解．
【详解】解：A．如图：，，，，
，利用面面平行的性质可知：，故A正确，符合题意；
B．，，，，如下图：
或与是异面直线，故B错误，不符合题意；
C．，，，，如下图：
因为，，，
，故正确，符合题意；
D．，，，，如下图：
，
，
，
，故D正确，符合题意．
故选：ACD．
重难点题型2 线面平行（三角形的中位线法）
7．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到直线的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法、点到直线距离的向量求法
【分析】（1）法一合理作出辅助线，利用中位线定理得到，再利用线面平行的判定定理得到线面平行，法二建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明求解即可.
（2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，结合线面角的向量求法求解即可.
（3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间中点到平面的距离公式求解即可.
【详解】（1）法一：如图，连接交于，连接，
因为底面为矩形，所以为的中点，
因为为的中点，所以是的中位线，
得到，而平面，平面，故平面.
法二：根据题意，以点为坐标原点，
分别以为轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，
则，
设为平面的法向量，
则，即，
令，则，故，
平面，平面.
（2），
，
直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由已知得，
由点到直线的距离公式得，
故点到直线的距离为.
8．（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示在直三棱柱中，，，M是的中点，
(1)求证：平面，
(2)试问在棱上是否存在点，使得与与所成角为?若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由，
(3)在（2）题设条件下，试求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点为的中点
(3)
【难度】0.65
【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、面面角的向量求法
【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为构造中位线，证明线线平行，即连结，使得与交于点，证明；
（2）利用补体法，结合线线角的定义，转化为相交线所成角，即可说明；
（3）以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，根据法向量求二面角的夹角的余弦值.
【详解】（1）在直三棱柱中，连接，使得与交于点，
易知为中点，再连接，则为的中位线图①（如图①），
于是，
而在平面外，平面，
所以平面
（2）根据题意可将已知直三棱柱补成如图②直四棱柱，
取中点中点，连接，DF，取中点，连接，
于是有，
与直线所成角等于与所成角，即为所成角，
不妨令，
易得，即为正三角形，
即，进而知与直线所成角等于，
显然点与点重合，故存在点，且点为的中点，
（3）在（2）的题设条件下，两两垂直，
取为空间原点，即，，的正方向依次为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图③所示，即得相关点的坐标，
即依次为，，，，，，
相关向量，，，，
设平面的法向量为，则有
，取，则得
设平面的法向量为，
则有，取，则得，
设法向量为与法向量为夹角为，则，
事实上平面与平面所成角为锐角，
显然平面与平面的余弦值为，
9．（2025·湖南·三模）如图，在长方体中，，点E是棱的中点．
(1)求证：平面BDE；
(2)求直线与平面BDE所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法
【分析】（1）连接AC与BD交于点O，连接OE，由证明出线面平行；
（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到线面角的正弦值；
解法二：几何法，过C作于点H证平面BDE，在中计算所求.
【详解】（1）证明：连接AC与BD交于点O，连接OE．
则O为AC的中点，又点E是棱的中点，所以，
又平面BDE，平面BDE，所以平面BDE．
（2）解法一：以DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则，
则点，，，，
则，，，
设平面BDE的法向量为，
则得，
令，得平面BDE的一个法向量为，
设直线与平面BDE所成角的大小为，则，
故直线与平面BDE所成角的正弦值是．
解法二：（几何法）
设直线与平面BDE所成角为，则，
其中d为点到平面BDE的距离，即点C到平面BDE的距离．
设，过C作于点H，则平面BDE，所以．
在中，易求得，又，∴．
10．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为正三角形，且侧面底面分别为线段的中点.
(1)求证：平面.
(2)求平面和平面夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法
【分析】（1）通过连接菱形对角线交点与线段中点，构造中位线，得到线线平行关系，再利用线面平行的判定定理证明线面平行.
（2）根据菱形和正三角形性质及面面垂直关系建立空间直角坐标系，确定各点坐标.接着求向量坐标，再利用向量垂直性质分别求出平面与平面的法向量.最后用向量夹角公式求法向量夹角余弦值，根据二面角与法向量夹角关系求出二面角正弦值.
【详解】（1）证明：如图1，连接，交于点，连接.
四边形为菱形，
为线段的中点.
为线段的中点，
.
平面平面，
平面.
（2）解：如图2，连接.
四边形为菱形，，
为正三角形.
为正三角形，为线段的中点，
.
侧面底面，
两两垂直.
如图2，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.
，
.
如图2，过点作交的延长线于点，
则在中，，
.
，
.
设为平面的法向量，
则
令，则，
为平面的一个法向量.
设为平面的法向量，
则
令，则，
为平面的一个法向量，
.
设平面和平面的夹角为，
则.
故答案为：.
重难点题型3 线面平行（平行四边形法）
11．（2025·四川成都·一模）如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.85
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法
【分析】（1）作辅助线构造平行四边形，得到线线平行通过线面平行的判定定理可证；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量进而求法向量夹角的余弦值即可.
【详解】（1）连接交于点，连结，.
因为底面是正方形，所以是的中点.
又，所以，故.
由棱台的定义，与共面，因为棱台的上、下底面平行，所以它们与平面的交线平行，即.
所以四边形为平行四边形，故.
又因为平面，平面，所以平面.
（2）以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，.
故，，，.
设平面的法向量，由得.
取，得平面的一个法向量.
设平面的法向量，由得.
取，得平面的一个法向量.
故.
所以平面与平面夹角的大小为.
12．（2025·河北保定·二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点．
(1)当为棱的中点时，证明：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.85
【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）通过线线平行即可证得线面平行；
（2）建系后，写出相关点的坐标，出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】（1）
取的中点，连接，，
因为为的中点，
所以，
因为，
所以，
所以四边形为平行四边形，所以．
又平面平面，
所以平面．
（2）
因为平面，即两两垂直，
故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
因为，所以，
所以．
设平面的法向量为，
则
取，得，
所以．
因为平面，
所以平面．
所以为平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，
则．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
13．（2025·安徽淮北·模拟预测）在如图所示的五面体中，四边形ABCD与FECD均为等腰梯形 M，N分别为EF，CD的中点，AC与BN相交于点P.
(1)求证: MP平面BCE.
(2)若平面，求二面角M-AC-E的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法
【分析】（1）先证明是平行四边形，得出，最后根据线面平行判定定理得出线面平行；
（2）先根据平面建系，再分别求出平面和平面一个法向量，进而得出二面角余弦值即可.
【详解】（1）连接，取的中点，连接、，结合已知可得且，
所以四边形为平行四边形，所以为中点，
因为为的中点，为中点，则，且，
因为为的中点，则，且，
则，且，故四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，所以平面；
（2）因为，，为的中点，则，
又因为，所以四边形为平行四边形，所以，
因为，则，故，
因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设平面的一个法向量为，
，，
由，
令，则，，可得平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，
由，
令，则，，可得平面的一个法向量为，
所以，，
由图可知，二面角的平面角为锐角，所以，二面角的余弦值为．
14．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在点为的中点
【难度】0.85
【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、面面角的向量求法、已知面面角求其他量
【分析】（1）取中点记为，连接EF，CF，通过证明四边形为平行四边形，然后可证平面；
（2）中点为，连接，，由勾股定理可得，结合可得
平面，即，又由即可证明平面；
（3）以为坐标原点建立空间直接坐标系，设，然后利用待定系数法求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式求解方程即可.
【详解】（1）证明：取中点记为，连接EF，CF，
则，且；
，且；
所以平行且等于CD，
所以四边形为平行四边形，所以.
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）记中点为，连接，，
则四边形为正方形，
且根据勾股定理得，
所以，
则，所以.
又因为，，平面，所以平面.
因为平面，所以.
又因为，
所以，且，平面，
所以平面.
（3）由（2）知，平面，且.
以为坐标原点，以，BA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
设，，则，
则，，，
设平面与平面的法向量分别为和
则
令，得.
令，得.
设平面与平面的夹角为，，
则，解得.
因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为.
重难点题型4 线面平行的性质定理（用线面平行证明线线平行）
15．（2025·重庆·三模）如图，在四面体 中， 分别为 的中点，过 的平面 分别交棱 (不含端点) 于 两点．
(1)证明： ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、线面平行的性质
【分析】（1）根据中位线性质得，再利用线面平行的判定与性质即可证明；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再利用面面角计算公式即可得到答案.
【详解】（1）分别为的中点，，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，
又.
（2）取中点，连接，
，
又，
在中，，
则两两垂直；
以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向如图所示建立空间直角坐标系．
，
设平面的法向量，
，取，
设平面的法向量，
，取，
，记二面角的平面角为．
16．（2025·北京西城·一模）如图，在多面体中，平面，平面平面，，于点．

(1)求证：；
(2)设，，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、求线面角、线面平行的性质
【分析】（1）先利用线面平行的判定定理证平面，再利用线面平行的性质定理即可；
（2）以为原点建系，计算平面的法向量，再利用向量夹角的余弦公式求，最后利用线面角与向量夹角之间的关系求即可.
【详解】（1）如图，因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，

（2）在平面内过点作．
因为平面，所以平面，
因平面，平面，所以，，
因平面，平面，则平面平面，
又因为，平面平面，则平面，
所以，，两两互相垂直．
以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，
，，，，
由题意，得，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，于是，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
17．（24-25高三上·河北承德·开学考试）正四棱柱中，点分别在上，且四点共面.
(1)若，记平面与底面的交线为，证明：；
(2)已知，若，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.4
【知识点】三角形面积公式及其应用、空间向量模长的坐标表示、线面平行的性质
【分析】（1）连接，利用已知可得四边形是平行四边形，进而可得平面，由线面平行的性质可得；
（2）以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得四边形是平行四边形，进而可得，结合已知计算可求四边形面积的最大值.
【详解】（1）连接，
由正四棱柱，可得，，，又因为，所以由勾股定理可得，
又，所以，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以，所以；
（2）以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，又底面是正方形，所以，
又，所以，
所以，
所以，
所以，
，
由正四棱柱，可得平在面，
又四点共面，过有唯一平面，
又平面平面，平面平面，
所以，同理可得，所以四边形是平行四边形，
又，所以，
所以，又，
所以，解得，
所以
，
所以四边形面积的最大值为.
18．（2024·江苏·模拟预测）如图，在四棱台中，，，．
(1)记平面与平面的交线为，证明：；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、线面平行的性质
【分析】（1）利用线线平行证明线面平行，再由线面平行即可证线线平行；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法来求两平面夹角的余弦值.
【详解】（1）
因为 平面，平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，平面 平面，所以 .
（2）在 中， .
由余弦定理得， ，则 ，得 .
又 ，则 .因为 平面 ，
所以，又 ，所以 平面 ，
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得，所以.
又是平面 的一个法向量.
记平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为
重难点题型5 面面平行的证明
19．（2025·上海杨浦·三模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F，G分别为PD，AB，AC的中点.
(1)求证：平面平面PBC；
(2)若，
（i）求点F到平面AEG的距离.
（ii）画出四边形ABCD的斜二测直观图，并求斜二测直观图面积
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）；（ii）直观图见解析，面积为.
【难度】0.65
【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、锥体体积的有关计算、证明面面平行、求点面距离
【分析】（1）延长交于点，利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证.
（2）（i）在三棱锥中由等体积法求得点F到平面AEG的距离；（ii）用斜二测画法作图，并进行计算.
【详解】（1）由分别为的中点，得，而平面，平面，
则平面，延长交于点，连结，由，得，
由是的中点，得是的中点，又是的中点，
则，而平面，平面，
因此平面，又平面，且，
所以平面平面.
（2）（i）设点到平面的距离为，取的中点，连结，
则，且，
由平面，得平面，由，
得，
在△中,，则，
又，于是，解得，
所以点F到平面AEG的距离.
（ii）取直角梯形底边的中点，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，
作坐标系，使，在上取点，使，且为的中点，
在轴上取点，使，过作轴，且使，
连接，则梯形是直角梯形的斜二测直观图，如图，
梯形的面积.
20．（2025·安徽·模拟预测）如图1，E，F，G，H分别是正方形各边中点，将分别沿折起，使得所在平面与底面均垂直（如图2），连接．

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的正切值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【难度】0.65
【知识点】面面角的向量求法、求二面角、证明面面平行、证明线面平行
【分析】（1）A，B，C，D在平面上的投影分别为的中点，先证，再由线面平行的判定证明平面，平面，最后由面面平行的判定证明结论；
（2）法一：构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求出平面与平面的法向量，向量法求面面角的余弦值，进而求其正切值；法二：取的中点，根据面面角定义得到所求角是的二倍并求得，再应用二倍角正切公式求正切值；
【详解】（1）如图1，A，B，C，D在平面上的投影分别为的中点，
因为是全等的等腰直角三角形，所以，
又所在平面与底面均垂直，
所以与底面均垂直，从而，
故四边形均为平行四边形（矩形），因此，
由平面，平面，则平面，
同理可证平面，又相交且都在平面内，
所以平面平面；

（2）法一：如图2建立空间直角坐标系，不妨设，
则，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，
从而，取，则，
设平面的法向量为，则，
从而，取，则，
从而，故，
所以，，即平面与平面所成二面角的正切值为．
法二：如图3，取的中点，易知，，
由都在平面内，则平面，记，
由对称性可知，所求角是的二倍，根据题意，不妨设，
则，所以，因此.
21．（2025·四川德阳·三模）如图，四边形是矩形，平面，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与棱交于点，求平面与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线线平行、面面角的向量求法
【分析】（1）根据得到平面，同理由得到平面，从而得到面面平行；
（2）两两垂直，建立空间直角坐标系，设，由面面平行的性质得到线线平行，进而得到方程，求出的坐标，求出平面和平面的法向量，求出两法向量的夹角余弦值，根据同角三角函数关系得到面面角的正弦值.
【详解】（1）因为，平面，平面，
所以平面，
因为四边形是矩形，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，平面，
所以平面平面ABE；
（2）平面，平面，
所以，故两两垂直，
故以A为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
，，.
由（1）平面平面ABE，由面面平行的性质可得，
设，
则，
由得，
解得，即的坐标为，
设平面的法向量，
，，
则，
令，则，故，
设平面的法向量，
，，
则，
令，则，故，
所以，
故平面与平面所成角的正弦值为.
22．（23-24高一下·福建龙岩·期中）如图，梯形是圆台的轴截面，E，F分别在底面圆，的圆周上，EF为圆台的母线，，已知，，G，H分别为，的中点.
(1)证明：平面平面.
(2)若三棱锥的体积为，求圆台的侧面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】圆台表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、证明线面平行、证明面面平行
【分析】（1）由题意可证得平面，平面，进而可证得结论；
（2）由三棱锥体积可得的面积，进而可得圆台的侧面积．
【详解】（1）∵在梯形中，，，∴，
又G为的中点，∴，∴，
故四边形为平行四边形，∴.
又平面，平面，
∴平面.
∵分别是，的中点，
∴.
又平面，平面，
∴平面.
又，平面，平面，
∴平面平面.
（2）设由（1）可知，则为三棱锥的高h.
故，
由，可得，
∴.
又∵，，
∴.
故，
∴.
在中，.
故圆台的侧面积.
重难点题型6 面面平行的性质
23．（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，、分别为、的中点．

(1)证明：平面；
(2)求异面直线与夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线面平行
【分析】（1）取的中点，利用线面平行、面面平行的判定推理得证.
（2）取的中点，的中点，利用几何法求出异面直线的夹角余弦.
【详解】（1）在三棱台中，设的中点为，连接，由为的中点，
得，又平面，平面，则平面，
由为梯形的中位线，得，又平面，平面，
则平面，而，平面，平面，
因此平面平面，又平面，所以平面.

（2）取的中点，的中点，连接、、、、，
由，是中点，得四边形是平行四边形，
则，又是中点，是中点，则，
即就是异面直线与夹角，
又底面，与都是等腰直角三角形，，
则，，
，因此，
所以异面直线与夹角的余弦值为.
24．（2025高三·全国·专题练习）如图，在五面体中，，为的中点，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)已知平面，，，为正三角形，，当二面角的余弦值为时，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、面面平行证明线面平行、面面垂直证线面垂直、已知面面角求其他量
【分析】（1）记的中点为，连接，结合梯形性质利用线面平行的性质定理证得平面，结合中位线性质利用线面平行的性质定理证得平面，再由面面平行的判定定理得平面平面，最后由面面平行的性质定理即可证明；
（2）先利用线面平行的判定定理和性质定理得，利用平面得，记的中点为，连接，进而得四边形为正方形，再利用面面垂直的判定定理和性质定理得平面，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，结合二面角的余弦值利用向量的夹角公式建立方程求解即可．
【详解】（1）如图：
记的中点为，连接，因为为的中点，为的中点，，
所以，而平面，平面，
所以平面；因为为的中点，为的中点，
所以，而平面，平面，
所以平面；又，平面，
所以平面平面，又平面，所以平面；
（2）因为，平面，平面，所以平面；
又平面平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以，所以四边形为直角梯形，
记的中点为，连接，因为，所以，
所以，，所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为矩形，
又，，所以，所以四边形为正方形，
连接，因为为正三角形，为的中点，所以，
由平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，所以平面，
故以为坐标原点，过点且平行的直线为轴，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
连接，设，则，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
因为二面角的余弦值为，所以，
平方化简得，即，
因为，所以，即.
25．（2025·浙江·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，M，N为别为棱PB，CD的中点．

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线面平行、面面角的向量求法
【分析】（1）取AB中点E，连接ME、NE，易得、，根据线面平行、面面平行的判定及性质定理证明结论；
（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.
【详解】（1）取AB中点E，连接ME、NE，

因为底面为矩形，N为CD的中点，所以，
平面PAD，平面，则平面，
因为M为PB中点，所以，
平面，平面，则平面，
因为且都在平面内，所以平面平面，
因为平面，所以平面．
（2）由题，易知直线DA，DC，DP两两垂直，
以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，，所以，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，，所以，
，所以平面与平面的夹角的余弦值为．
26．（2025·上海松江·二模）已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)当时，求直线和平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、面面平行证明线面平行、证明线面垂直、求线面角
【分析】（1）取的中点，连接、，所以且，根据线面平行的判定定理可得平面，平面，从而可得平面平面，由面面平行的性质定理即可证明；
（2）过点作于点，连接，由题意得平面. 所以就是直线和平面所成角. 二面角的平面角为，由（1）易得，取中点为，连接，可得，利用勾股定理求出，可得.继而即可求解.
【详解】（1）取的中点，连接、，
因为点为棱的中点，且，所以且，
，平面，平面，
所以平面，同理可得平面.
因为平面，平面，且，
所以平面平面.
因为平面，所以平面.
（2）过点作于点，连接，
因为，，，平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面.
所以就是直线和平面所成角.
由题意得：二面角的平面角为，
由（1）易得，
在中，由，，得，
取中点为，连接，
因为分别为的中点，
所以，且，又，
所以四边形为平行四边形，所以，
在中，由，，得，则.
在中，由，得，
即得直线和平面所成角为.
重难点题型7 平行关系的综合应用
27．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为正方形，，AD=AE=BC=BF=3，EF=2AB=4．
(1)设平面ADE∩平面BCF=l，证明：；
(2)直线DE上是否存在点G，使得DE⊥平面 ABG？若存在，确定点G的位置并说明理由；若不存在，请说明理由；
(3)若，λ∈[0,1]，求平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，为中点，理由见解析
(3)
【难度】0.4
【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）根据题意，得到，利用线面平行的判定定理，证得平面，再由线面平行的性质定理，即可证得；
（2）取的中点，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面平面；
（3）设点为中点，取与连线交于点，以建立空间直角坐标系，设到平面的距离为，令，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角，列出关系式，利用函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）因为四边形为矩形，
所以，因为平面，平面。
所以平面，因为平面平面，平面，
所以；
（2）存在为中点，使得平面，
理由如下：取的中点，
因为，所以，
因为且，
所以，因为且平面，
所以平面；
（3）设点为中点，取、和中点为，
由（2）知共面且平面，
取与连线交于点，连接，
则，可得为等腰梯形，
所以，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
因为，所以，
设到平面的距离为，
因为四边形和四边形为两个全等的等腰梯形，
所以，设，
因为，
所以，解得，
所以，可得，
令，所以，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，
所以，设平面的法向量为，
则，
取，可得，
所以，所以，
令，则，
则，
令，则，
所以在单调递增，
当时，当时，
所以，所以，
故平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围为.
28．（2025·重庆·二模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，点在线段上(与不重合).
(1)若平面平面，证明: 平面；
(2)当的面积最小时，求 值；
(3)在 (2) 的条件下，若点 是线段的 等分点，分别过点 在四棱锥上作平行于平面的截面，记相应的截面面积为 ，证明: .
参考公式:
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
(3)证明过程见详解
【难度】0.4
【知识点】数列求和的其他方法、由平面的基本性质作截面图形、证明线面平行、点到直线距离的向量求法
【分析】（1）利用线面平行的性质定理可证明；
（2）利用线面垂直的判定先证平面，当面积取得最小值时，即最小，计算出，的长度，根据相似比即可确定 值；
（3）根据（2）可知，这些截面都是相似直角梯形，利用相似可得到第个截面的面积，再根据求和公式求和即可证明.
【详解】（1）证明：底面为正方形，则，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）由（1）知平面，设直线交于点，连接，
底面为正方形，，平面平面，
平面平面，所以平面，
又平面，所以，
在中，，，，
所以，即，
又，所以，
又，，平面，平面，
平面，，又，所以，
故当最小时，即时，面积取得最小值，
，，，时，，
，，
所以，即的面积最小时，的值为.
（3）证明：由（2）知，，
，
由题意不妨设是距离点P的由近及远的个等分点，第个等分为，截面为，
则，所以，
即，
.
29．（2025·辽宁沈阳·三模）如图所示，在直角梯形中，，A，D分别是，上的点，且，，，，将四边形沿向上折起，连接，，，在折起的过程中，记二面角的大小为，记几何体的体积为V．
(1)求证：平面；
(2)当时，请将V表达为关于的函数，并求该函数的最大值；
(3)若平面和平面垂直，当取得最大值时，求V的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)；
(3)
【难度】0.4
【知识点】锥体体积的有关计算、面面平行证明线面平行、空间位置关系的向量证明
【分析】（1）由面面平行的判定定理可得平面平面，即可证明；
（2）根据题意，由条件可得，然后分别表示出与，然后代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，建立空间直角坐标系，分别求得平面，平面的法向量，由可得的最大值，然后代入（2）中的体积公式计算，即可得到结果.
【详解】（1）在梯形中，因为，所以翻折后有，且，
因为平面，平面，故平面，同理可得平面，
因为，平面，
所以平面平面，又因为平面，所以平面.
（2）
由题意，在梯形中，，，即，
且，所以翻折后有，，且，
所以平面，同理，平面，
由二面角的大小为，得，
过点作的垂线，交直线于，由平面，平面，
所以，且，所以平面，
即是四棱锥的高，
由，
所以，
由，平面，平面，所以平面，
又因为平面，且，
所以，
所以，，
当时，取得最大值.
（3）
过点作的垂线，交直线于点，分别以为轴
正方向建立空间直角坐标系，则，，
在平面中，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
所以，
在平面中，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，所以，
因为平面和平面垂直，所以，
即，整理可得，
因为，，所以，
当且仅当时，等号成立，
故当取得最大值时，即取得最小值，
此时，
由，，，所以，则.
30．（2025·河北·模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面是矩形，点为上不同于的一点，点在上，且，动点满足，动点在上底面上，满足．
(1)证明：平面；
(2)①求动点的轨迹长度；
②当点为的中点时，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【难度】0.4
【知识点】立体几何中的轨迹问题、面面角的向量求法、证明线面平行
【分析】（1）在上取点，使得，连接，通过四边形为平行四边形，得到，即可求证；
（2）建系，①由，确定动点的轨迹是半径为的圆，即可求解；②求得平面法向量，代入夹角公式即可求解.
【详解】（1）在上取点，使得，连接，
因为，所以，
所以，且，
又，所以，又，
所以，且，则四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，故平面；
（2）分别取的中点，连接，则底面圆，连接，
因为点为的中点，所以，易得，
以为原点，以，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
①因为，所以，所以，
则动点的轨迹是半径为的圆，其轨迹长度为；
②设平面的法向量为，
由得取，则，
因为，都在平面内，所以平面，
所以是平面的一个法向量，记为，
所以，
由题意可知，，整理得，解得，
故的值为．
序号
题型
重难点题型1
平行的判定
重难点题型2
线面平行（三角形的中位线法）
重难点题型3
线面平行（平行四边形法）
重难点题型4
线面平行的性质定理（用线面平行证明线线平行）
重难点题型5
面面平行的证明
重难点题型6
面面平行的性质
重难点题型7
平行关系的综合应用