第02讲 导数与函数的单调性（复习讲义）（全国通用）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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01TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7037"
\l "_Tc8263" 02
\l "_Tc25989" 032
\l "_Tc18155" 知能解码 PAGEREF _Tc18155 \h 3
\l "_Tc19333" 知识点1 函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） PAGEREF _Tc19333 \h 3
\l "_Tc20164" 知识点2 求已知函数（不含参）的单调区间 PAGEREF _Tc20164 \h 4
\l "_Tc12180" 知识点3 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 PAGEREF _Tc12180 \h 5
\l "_Tc13420" 知识点4 含参问题讨论单调性 PAGEREF _Tc13420 \h 5
\l "_Tc15161" 题型破译 PAGEREF _Tc15161 \h 6
\l "_Tc1349" 题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参） PAGEREF _Tc1349 \h 6
【方法技巧】求单调区间步骤
\l "_Tc28795" 题型2 已知函数在区间上单调 PAGEREF _Tc28795 \h 8
【方法技巧】已知函数在区间上单调等价条件
\l "_Tc25783" 题型3 已知函数在区间上存在单调区间 PAGEREF _Tc25783 \h 9
【方法技巧】已知函数在区间上存在单调区间 等价条件
\l "_Tc28827" 题型4 已知函数在区间上不单调 PAGEREF _Tc28827 \h 12
【方法技巧】已知函数在区间上不单调 等价条件
\l "_Tc13460" 题型5 导函数与原函数图象的单调性 PAGEREF _Tc13460 \h 13
【方法技巧】导函数与原函数关系
\l "_Tc3439" 题型6含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型（或可视为一次型）） PAGEREF _Tc3439 \h 17
\l "_Tc16762" 题型7含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 ） PAGEREF _Tc16762 \h 18
\l "_Tc8882" 题型8含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 ） PAGEREF _Tc8882 \h 21
\l "_Tc7020" 045
\l "__x0001__5" 05课本典例·高考素材 \l "_Tc24269" PAGEREF _Tc24269 \h 28
\l "_Tc25045" 知识点1 函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
自主检测已知函数y=fx的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′x的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）

B．
C． D．
【答案】A
【详解】由图可知y=f′x在−1,0上单调递减，在0,1上单调递增，
则y=fx的切线斜率在−1,0上递减，在0,1上递增，选项A符合题意；
选项B，y=fx的切线斜率在−1,0上递增，在0,1上递减，不符合题意；
选项C，y=fx的切线斜率在−1,1上递减，不符合题意；
选项D，y=fx的切线斜率在−1,1上递增，不符合题意.
故选：A．
\l "_Tc25045" 知识点2 求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
自主检测（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数fx=x+2csx−π3，即f(x)的单调递增区间为(3,+∞).
故答案为：(3,+∞)
例1-2函数y=x−ln1+x的递增区间是 ；递减区间 ．
【答案】 0,+∞ −1,0
【详解】函数y=x−ln1+x的定义域为x∈−1,+∞，y′=1−11+x=xx+1，
当x∈−1,0时，y′0，函数y=x−ln1+x单调递增.
所以函数y=x−ln1+x的递增区间是0,+∞；递减区间−1,0．
故答案为：0,+∞；−1,0
方法技巧 求单调区间步骤
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
【变式训练1-1】函数fx=x22+2x−3lnx的单调递增区间为 ．
【答案】1,+∞
【详解】因为f′x=x+2−3x=x2+2x−3x，
因为x>0，由f′x>0可得：x2+2x−3>0，
即x+3x−1>0 ⇒ x1.
所以函数fx的单调递增区间为：1,+∞.
故答案为：1,+∞
【变式训练1-2】函数f(x)=x+21−x的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ．
【答案】 (−∞,0) (0,1)
【详解】函数f(x)=x+21−x的定义域为{x∣x≤1}，又f′(x)=1−11−x，
令f′(x)=0，得x=0．当00时，t+1t≥2，当且仅当t=1时，等号成立，所以2m−2≤2，解得m≤2，
所以m的取值范围为−∞,2.
故答案为：−∞,2.
【变式训练2-3】已知函数fx=x2+ax+lnx在2,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是 .
【答案】−92,+∞
【详解】由题可知，f′(x)=2x+1x+a≥0在2,+∞上恒成立，
即2x+1x≥−a恒成立，
令y=2x+1x，则y′=2−1x2>0，所以函数y=2x+1x在2,+∞上单调递增
所以2x+1x>92，解得a≥−92，则实数a的取值范围是−92,+∞.
故答案为：−92,+∞.
题型3 已知函数在区间上存在单调区间
例3-1已知函数fx=lnx+(x−b)2b∈R在22,2上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（ ）
A．−∞，524B．−∞,524
C．−∞,522D．−∞,522
【答案】A
【详解】因为函数fx在22,2上存在单调递增区间，
所以f′x>0在22,2上有解，且f′x=1x+2x−b=1x+2x−2b，
所以b0，则函数gx单调递增，
所以gxmax=g2=122+2=524，
所以b1)在(0,+∞)上存在单调递减区间，则a的取值范围是（ ）
A．(1,e]B．(1,e)C．[e,+∞)D．(e,+∞)
【答案】B
【详解】求导可得f′(x)=axlna−1(x+1)lna，
由题意f′(x)=axlna−1(x+1)lna