北京市朝阳区2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案解析）

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一、单选题
1. 已知直线l经过两点，，且直线l的倾斜角为，则（ ）
2. 设圆的圆心为M，半径为r，则（ ）
3. 如图，在中，，，．则以A，B为焦点且经过点C的双曲线的离心率为（ ）

4. 已知是等比数列，且，则（ ）
5. 已知圆C：，过原点的直线l被圆C截得的弦长为m，则“”是“直线l的方程为”的（ ）
6. 如图，在正三棱柱中，，，则（ ）
7. 某图书馆为丰富馆藏图书资源，制定如下购置计划：第一个月购置250册图书，自第二个月起，每月比上一个月多购置150册．若该图书馆希望新增图书总量超过5000册，则该计划至少需要实施的月数为（ ）
8. 设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（ ）
9. 对于定义域为的函数，若存在使得在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称函数为上的单峰函数．下列函数中为上的单峰函数的是（ ）
10. 已知和是平面直角坐标系中的两个点集，其中中的点被涂成红色，中的点被涂成蓝色．若直线l：满足红色点和蓝色点分别位于l的两侧（红色点和蓝色点均不在上），则（ ）
二、填空题
11. 直线在x轴上的截距为______．
12. 设函数，当由1变到1.1时，函数的平均变化率为______．
13. 已知圆，圆，若圆A与圆B相切，则m的一个取值为______．
14. 已知为等差数列，，，将的各项排成如下三角形数阵，其中第n行有n个数：
设为该数阵第n行所有数之和，则______，______．
15. 设抛物线：的焦点为，点，点在抛物线上且，则______；过点作直线的垂线，则直线与抛物线的公共点个数为______．
16. 已知无穷数列的各项均为正数，记，，数列满足，．给出下列四个结论：
①为等比数列；
②为递减数列；
③，；
④，．
其中正确结论的序号是______．
三、解答题
17. 已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
18. 已知数列是公比为的等比数列，其前n项和为，且，．
(1)求q的值；
(2)若等差数列满足，其前n项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列的前n项和．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)设点是的中点，点是棱上的点，且平面，判断直线与直线的位置关系，说明理由．
20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点的直线与椭圆E交于点，过点的直线与椭圆E交于点，点在x轴上方，若四边形是面积为的平行四边形，求直线的方程．
21. 设无穷数列的前n项和为，定义集合对任意正整数，集合对任意正整数．
(1)若，分别判断，是否成立，说明理由；
(2)若，求集合D与集合E；
(3)已知无穷数列的各项均为正整数，求证：或者存在一个单调递增的无穷正整数数列使得对任意正整数有，或者存在一个单调递增的无穷正整数数列使得对任意正整数有．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．，
B．，
C．，
D．，
A．
B．2
C．
D．
A．64
B．32
C．16
D．8
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．0
D．1
A．6
B．7
C．8
D．9
A．①③
B．②④
C．①②③
D．①③④
A．
B．
C．
D．
A．当时，b的值可以为6
B．当时，k的值可以为
C．当时，b的取值范围是
D．当时，的取值范围是