北京市第二十中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题
1. 已知集合，或，则（ ）
2. 直线的倾斜角为（ ）
3. 已知数列满足，则等于（ ）
4. 如图，在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量，，表示为（ ）
5. 设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ）
6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
7. 已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）
8. 已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
9. 已知，是圆上的两点，是直线上一点，若存在点，，，使得，则实数的取值范围是（ ）
10. 2021年3月30日我国知名品牌小米公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Lg（如图），设计师的灵感来源于数学中的曲线C：．给出下列四个结论：
①对任意的且，曲线C总关于原点成中心对称
②当时，曲线C上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点）
③当时，曲线C围成的图形面积可以为
④当时，曲线C上的点到原点最近距离为
其中正确结论的个数为（ ）
二、填空题
11. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则________．
12. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为___________.
13. “中国天眼”反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），利用了抛物线的光学性质：由其焦点出发的光线照射到抛物线，经反射后的光线平行于抛物线的对称轴．如图所示：抛物线，一条光线经过，与轴平行照射到抛物线上的点处，第一次反射后经过抛物线的焦点到抛物线上的点处，第二次反射后经过，则的坐标为______，的值为______．
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线过双曲线的一个焦点，并且与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的方程为________；若点，则的值为________．
15. 如图，在正方体中，过的平面分别交棱于点.给出下列四个结论：
①四边形一定是平行四边形；
②四边形可能是正方形；
③四边形为菱形时，其面积最小；
④四边形为矩形时，其面积最大.
其中所有正确结论的序号是___________.
三、解答题
16. 已知函数．
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值，并求出此时的值．
17. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于
(1)求圆的方程；
(2)当时，求直线的方程．
18. 如图所示，在三棱柱中，D是AC中点，⊥平面，平面与棱交于点E，，．

(1)求证：；
(2)已知点C与平面的距离为，求的长度．
19. 如图，直四棱柱中，底面是边长为的正方形，点在棱上.
(1)求证：；
(2)从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得平面，并给出证明.
条件①：为的中点；条件②：平面；条件③：.
(3)在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值.
20. 已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值.
21. 已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.
(1)当，时，写出的所有可能值；
(2)若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；
(3)若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．或
C．
D．或
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A．若，则
B．若m，n，m∥，n∥，则∥
C．若m∥，n∥，则m∥n
D．若m⊥，∥，则m⊥
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．1
B．2
C．3
D．4