北京市朝阳区2025-2026学年高二上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份北京市朝阳区2025-2026学年高二上学期期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l经过两点P−1,0，Q0,t，且直线l的倾斜角为60 ∘，则t=( )
A. 3B. − 3C. 33D. − 33
2.设圆x2+y2+4x−2y−4=0的圆心为M，半径为r，则( )
A. M2,−1，r=9B. M−2,1，r=9
C. M2,−1，r=3D. M−2,1，r=3
3.如图，在▵ABC中，AB=4，BC=3，CA=6.则以A，B为焦点且经过点C的双曲线的离心率为( )
A. 94B. 2C. 43D. 32
4.已知{an}是等比数列，a1=12且a2a3=2，则a7=( )
A. 64B. 32C. 16D. 8
5.已知圆C：x−22+y+12=5，过原点的直线l被圆C截得的弦长为m，则“m=2”是“直线l的方程为3x−4y=0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=2，AA1=1，则AB1⋅BC1=( )
A. −3B. −1C. 0D. 1
7.某图书馆为丰富馆藏图书资源，制定如下购置计划：第一个月购置250册图书，自第二个月起，每月比上一个月多购置150册．若该图书馆希望新增图书总量超过5000册，则该计划至少需要实施的月数为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
8.设a，b，c，d为空间向量且均为非零向量，已知a+b+c−d=a−b+2c−d=0，给出下列四个结论：①b与c共线；②a−d与b不共线；③a，b，d共面；④b，c，d不共面．其中所有正确结论的序号是( )
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④
9.对于定义域为R的函数fx，若存在m∈R使得fx在区间−∞,m上单调递增，在区间m,+∞上单调递减，则称函数fx为R上的单峰函数．下列函数中为R上的单峰函数的是( )
A. fx=x+2sinxB. fx=ex1+x2
C. fx=−x2+3x−1D. fx=x−1e
10.已知Ω1=0,2,0,3,1,2,1,4,2,2,2,3和Ω2=3,2,4,0,4,1,4,3,5,4,6,4是平面直角坐标系中的两个点集，其中Ω1中的点被涂成红色，Ω2中的点被涂成蓝色．若直线l：y=kx+b满足红色点和蓝色点分别位于l的两侧(红色点和蓝色点均不在l上)，则( )
A. 当k=−2时，b的值可以为6
B. 当b=0时，k的值可以为34
C. 当k=45时，b的取值范围是0,25
D. 当b=7时，k的取值范围是−2,−53
二、填空题：本大题共5小题，共30分。
11.直线2x+y+10=0在x轴上的截距为 ．
12.设函数fx=2x2，当x由1变到1.1时，函数fx的平均变化率为 ．
13.已知圆A:x−m2+y2=2，圆B:x2+y−m2=8，若圆A与圆B相切，则m的一个取值为 ．
14.已知an为等差数列，a1=1，a4=7，将an的各项排成如下三角形数阵，其中第n行有n个数：
设bn为该数阵第n行所有数之和，则b4= ，bn= ．
15.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，点B5,0，点A在抛物线C上且AB=BF，则AF= ；过点A作直线AB的垂线l，则直线l与抛物线C的公共点个数为 ．
16.已知无穷数列an的各项均为正数，记Sn=a1+a2+⋅⋅⋅+an，Pn=a1a2⋅⋅⋅ann=1,2,⋅⋅⋅，数列an满足a1=3，Pn+1Pn=Sn+13n=1,2,⋅⋅⋅.给出下列四个结论：
①an为等比数列；
②an为递减数列；
③∀n∈N∗，Sn≥2+n；
④∀n∈N∗，Pn≥32n+1．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知函数fx=12x2−x−2lnx+12．
(1)求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)求函数fx的单调区间．
18.已知数列an是公比为qq>1的等比数列，其前n项和为Sn，且a1=3，S3−2S2=3．
(1)求q的值；
(2)若等差数列bn满足b1=a1，其前n项和为Tn，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列an3+bn的前n项和．
条件①：b5=S3−2；
条件②：b3=a3−1；
条件③：T3=S3．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，AB⊥AD，PA=PD，AB=1，AD=2，AC=CD= 5．
(1)求证：AB⊥PD；
(2)求平面PCD与平面ABCD夹角的余弦值；
(3)设点E是PD的中点，点F是棱PA上的点，且BF//平面PCD，判断直线BF与直线CE的位置关系，说明理由．
20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，且F1F2=2 3，离心率为 32．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点F1的直线l1与椭圆E交于点A,B，过点F2的直线l2与椭圆E交于点C,D，点A,D在x轴上方，若四边形ABCD是面积为2 3的平行四边形，求直线l1的方程．
21.设无穷数列an的前n项和为Sn，定义集合D=m∈N∗∣对任意正整数i>m,SiSm∈N∗，集合E=m∈N∗∣对任意正整数i>m,SiSm∉N∗．
(1)若an=2n，分别判断1∈D，2∈E是否成立，说明理由；
(2)若a1=1，an+1=Sn,若n是奇数,Sn−1,若n是偶数,求集合D与集合E；
(3)已知无穷数列an的各项均为正整数，求证：或者存在一个单调递增的无穷正整数数列jn使得对任意正整数p2；令f′xy)时，
Si=3x−1,Sm=3y−1，此时SiSm=3x−y∈N∗；
②当i=2x,m=2y−1(x,y∈N∗且x≥y)时，
Si=2⋅3x−1,Sm=3y−1，此时SiSm=2⋅3x−y∈N∗；
③当i=2x−1,m=2y(x,y∈N∗且x≥y+1)时，
Si=3x−1,Sm=2⋅3y−1，此时SiSm=3x−y2∉N∗；
④当i=2x,m=2y(x,y∈N∗且x>y)时，
Si=2⋅3x−1,Sm=2⋅3y−1，此时SiSm=3x−y∈N∗；
综上可知，对于任意奇数m，满足任意正整数i>m时，SiSm∈N∗恒成立，
即所有奇数都属于D，都不属于E；
对于任意偶数，存在正奇数i满足i>m时，SiSm∉N∗成立，
即所有偶数都不属于D；存在正偶数i满足i>m时，SiSm∈N∗成立，
即所有偶数都不属于E；
故D=mm=2k−1,k∈N∗，E=⌀；
(3)①若集合E=m∈N∗对任意正整数i>m，SiSm∉N∗为无穷集合，
设E=j1,j2,j3,⋯(j1M，且j2∉E，
依此类推，可构造无穷整数数列jn，
故当n>1时，令jn+1=mini∈N∗i>jn，且SiSjn∈N∗，
则j1,j2,j3,⋯组成无穷正整数数列jn，
可知jn单调递增，且满足对任意正整数p,q(p