2022-2023学年北京市朝阳区高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京市朝阳区高二（上）期末数学试卷

1.  已知为等差数列，，则(    )

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

2.  已知点到直线l：的距离为1，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

3.  设函数，则曲线在点处的切线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知F是抛物线C：的焦点，点在抛物线C上，则(    )

A.  B.  C. 3 D. 4

5.  已知直线：，直线：，则“”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.  如图，在四面体OABC中，G是BC的中点，设，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知函数有两个极值点，，则(    )

A. 或
B. 是的极小值点
C.
D.

8.  在平面直角坐标系xOy中，设，是双曲线的两个焦点，点M在C上，且，则的面积为(    )

A.
B. 2
C.
D. 4

9.  如图，平面平面，，A，B是直线l上的两点，C，D是平面内的两点，且，，，，，若平面内的动点P满足，则四棱锥的体积的最大值为(    )

A. 24 B.  C. 48 D.

10.  斐波那契数列在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：，当时，若，则(    )

A. 98 B. 99 C. 100 D. 101

11.  函数的导函数______.

12.  已知平面的法向量为，直线l的方向向量为，且，则实数______.

13.  过圆C：的圆心且与直线平行的直线的方程是______.

14.  设点，分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆C的离心率为______；经过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当四边形的面积最大时，______.

15.  已知是首项为负数，公比为q的等比数列，若对任意的正整数n，恒成立，则q的值可以是______只需写出一个

16.  数学家笛卡儿研究了许多优美的曲线，如笛卡儿叶形线D在平面直角坐标系xOy中的方程为当时，给出下列四个结论：
①曲线D不经过第三象限；
②曲线D关于直线轴对称；
③对任意，曲线D与直线一定有公共点；
④对任意，曲线D与直线一定有公共点．
其中所有正确结论的序号是______.

17.  设函数
求的单调区间；
当时，求的最大值与最小值．

18.  已知是等差数列，其前n项和为，，
求数列的通项公式及；
从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列的前n项和
条件①：；
条件②：；
条件③
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19.  如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，点O是AB的中点．
求证：；
求二面角的余弦值；
在棱PC上是否存在点M，使得平面POD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

20.  已知椭圆C：的长轴长为4，且点在椭圆C上．
求椭圆C的方程；
过点的直线l与椭圆C交于，两点，且问：x轴上是否存在点N，使得直线NA，直线NB与y轴围成的三角形始终是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由．

21.  在无穷数列中，，，，
求与的值；
证明：数列中有无穷多项不为0；
证明：数列中的所有项都不为

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：为等差数列，，

故选：
利用等差数列的通项公式直接求解．
本题考查等差数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：由题意得，
因为，
解得或舍
故选：
由已知结合点到直线的距离公式即可求解．
本题主要考查了点到直线的距离公式，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：，则，
又，
则由点斜式可得，所求切线方程为，即
故选：
先对函数求导，进而利用导数的几何意义求得切线斜率，再由点斜式得解．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：抛物线C的方程为：，
抛物线的焦点F到准线的距离，
又在抛物线C上，

故选：
根据抛物线的几何性质即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：时，直线：，直线：，所以，充分性成立；
直线时，，解得或，
因为时，与重合，所以时，必要性成立；
所以“”是“”的充分必要条件．
故选：
分别判断充分性和必要性是否成立即可．
本题考查了充分必要条件的判断问题，也考查了两直线平行的判断问题，是基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：，，
则
故选：
根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．
本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：若函数有两个极值点，，
则有2个不同零点，
则，解得或，故A正确，
由于，则函数的图像开口向上，
则是的极大值点，故B错误，
由，，则CD错误，
故选：
求出函数的导数，结合二次函数的性质对各个选项分别判断即可．
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是基础题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：由双曲线的定义知：，
因为，所以，
利用勾股定理可得，，即，
所以，
三角形的面积，
故选：
由双曲线的定义知：，结合，利用勾股定理可得，，结合三角形的面积，从而可求．
本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．
 

9.【答案】C 

【解析】解：在平面内，由，，可得，
又，，四边形ADCB为直角梯形，
，
要使四棱锥的体积取最大值，只要四棱锥的高h取最大值即可，
平面平面，，
过点P向l作垂线交l于E，根据面面垂直的性质得，则，

是的高，且由，，知，，
，，，，
在中，，在中，，
，，，，
设，，在中，由余弦定理得，
，，
则，
，
，
根据三角形三边关系可得，，
解得，，
当时，有最大值为，
四棱锥的体积为，
四棱锥的体积的最大值为
故选：
根据已知可得，则当四棱锥的高h最大，即的高PE最大即可，根据面面垂直的性质得出线线垂直关系，结合，可得，设，，在中根据余弦定理结合面积公式得到，由三边关系得到，即可得到，代入体积公式能求出四棱锥的体积的最大值．
本题考查四棱锥结构特征、余弦定理、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：由已知得，且，
所以，
，

，
累加整理可得；
又因为
即是该数列的第100项，所以，所以B选项正确．
故选：
利用累加法即可求解．
本题主要考查递推式求通项公式以及累加法的应用，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：函数的导数，
故答案为：
根据函数的导数运算公式即可得到结论．
本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，若，则，
必有，解可得，
故答案为：
根据题意，分析可得，由此分析可得答案．
本题考查空间向量的应用，涉及线面垂直的判断方法，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为圆C：的圆心为，
故过圆心且与直线平行的直线为，即
故答案为：
先求出圆心C的坐标，然后结合直线平行的斜率关系即可求解直线方程．
本题主要考查了直线的点斜式方程的应用，属于基础题．
 

14.【答案】  0 

【解析】解：由椭圆可得，，
所以，则离心率
根据椭圆的对称性可得，P，Q点关于原点对称，
设，
且，
当最大时，面积最大，则此时P，Q为短轴顶点，
不妨设，，，
所以，
所以
故答案为：
根据已知求出a，b，c的值，即可得到离心率；根据对称性可得，，所以P，Q为短轴顶点写出P，，的坐标，即可得到结果．
本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
 

15.【答案】答案不唯一 

【解析】解：依题意，，
又，
则，即，
所以q的值可以是
故答案为：答案不唯一
根据题意可建立关于q的不等式，解不等式可得q的范围，进而得解．
本题主要考查等比数列的通项公式以及不等式的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

16.【答案】①②④ 

【解析】解：当时，方程为，
当x，时，，故第三象限内的点不可能在曲线上，①正确；
将点代入曲线方程，得，故曲线关于直线对称，②正确；
当，联立，其中，
将代入，得，即，则方程组无解，
故曲线D与直线无公共点，③错误；
联立，可得有解，
设，则，
当时，在单调递增，
单调递减，值域为R，所以成立，
当时，成立；
当时，，单调递增，
 ，，
所以，成立，
所以曲线D与直线一定有公共点，故④选项正确．
故答案为：①②④．
当x，时，判断是否成立；将点代入方程，判断与原方程是否相同；联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解，再逐一判断结论即可．
本题主要考查曲线与方程和命题的真假判断与应用，考查了转化思想，属于中档题．
 

17.【答案】解：定义域为R，，
或，，
故的单调递减区间为，单调递增区间为，；
由知在上单调递减，在上单调递增，
故，由，故 

【解析】求出导数，判断导数的符号解决问题；
求出当时的单调性，即可求出结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，属于中档题．
 

18.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为d，
则，
，，

方案一：选择条件①
由，可得，
则数列是以2为首项，4为公比的等比数列，

方案二：选择条件②
由，可得，
则





方案三：选择条件③
由，可得，
则



 

【解析】先设等差数列的公差为d，再根据等差数列的定义计算出公差d的值，即可计算出等差数列的通项公式及；
在选择条件①的情况下，先根据第题的结果计算出数列的通项公式并进行转化，即可发现数列是以2为首项，4为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式即可计算出前n项和；在选择条件②的情况下，先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用分组求和法及等比数列的求和公式即可计算出前n项和；在选择条件③的情况下，先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和
本题主要考查数列求通项公式，以及求前n项和问题．考查了转化与化归思想，等差数列和等比数列求和公式的运用，分组求和法，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 

19.【答案】解：证明：，点O为AB的中点，
，又平面平面ABCD，交线为AB，平面PAB，
平面ABCD，又平面ABCD，

取线段CD的中点E，，，
，，，由知，平面
以O为原点，射线OB，OE，OP分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面POD的一个法向量为，
则，令，得，
取平面APO的法向量为，
所以，，
因为二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为
设侧棱PC上存在点M，使得平面POD，此时，
因为，所以，，
所以，所以，
因为平面POD，为平面POD的一个法向量，
所以，解得，
因此侧棱PC上存在点M，当时，满足平面 

【解析】根据点O为AB的中点，得到，结合平面平面ABCD，得到平面ABCD，由此证明；
取线段CD的中点E，以O为原点，射线OB，OE，OP分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的余弦值；
设侧棱PC上存在点M且，使得平面POD，求出，根据平面的平行向量与其法向量互相垂直，得到，解出，由此即可得到在侧棱PC上存在点M，当时，满足平面
本题主要考查了面面垂直的性质、线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究面面角、线面平行等知识，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意可得，即，将P点的坐标代入椭圆的方程可得，解得，
所以椭圆的方程为：；
由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，设，，
由题意可得A，B的纵坐标同号，
假设存在，，
联立，整理可得：，
可得，即，
且，，
设直线NA，直线NB与y轴的交点分别为P，Q，
设直线NA的方程为：，令，可得，
同理可得直线NB与y轴的交点Q的纵坐标为，
由题意可得，
即，
整理可得：，因为，
即，
即，整理可得：，时不论m为何值，等式恒成立，
即，
所以存在满足条件． 

【解析】由题意可得a的值，再将点P的坐标代入椭圆的方程，可得b的值，进而求出椭圆的方程；
由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，设直线AN，BN的方程，令，可得两条直线与y轴的交点的纵坐标，由题意可得所得的纵坐标之和为0，可得N点的坐标．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：由可得，
，
，
所以，；
证明：假设数列中有限个项不为0，
则会存在一个数m，当时，，
则，，
由可得；
由可得…
由可得，与题意矛盾，故假设不成立，
所以数列中有无穷多项不为0；
证明：由可得在无穷处能找到一个，
因为，所以，
所以由可得，
同理可得，，，⋯，，
当即时，因为，且，所以数列所有项都不为0，
当即时，因为，且，所以数列所有项都不为0，
当即时，因为，且，所以数列所有项都不为0，
综上可得数列中的所有项都不为 

【解析】利用递推公式求，的值即可；
假设数列中有限个项不为0，然后推出与题意矛盾即可求证；
由可得在无穷处能找到一个，利用递推公式可得数列呈周期变化，，令，2，3即可证明．
本题考查了数列递推式的应用，属于中档题．