北京市第八中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案解析）

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一、单选题
1. 已知直线l过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为（ ）
2. 如图，在三棱锥中，是的中点，若，，，则等于（ ）
3. 若的展开式中，二项式系数和为64，则展开式的常数项为（ ）
4. 若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为（ ）
5. 已知随机变量，且，则的值为（ ）
6. 如图，在长方体中，，，那么直线与平面所成的角的余弦值是（ ）

7. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
8. 一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（ ）时，其概率最大．
9. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点，且，则（ ）
10. 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的面积为（ ）
二、填空题
11. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为2：3，其中甲班的女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为____________.
12. 若，则___________，___________．（用数字作答）
13. 已知圆，若直线与圆C相交得到的弦长为，则____________．
14. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_________.
15. 已知曲线（为常数）.
（i）给出下列结论：
①曲线为中心对称图形；
②曲线为轴对称图形；
③当时，若点在曲线上，则或.
其中，所有正确结论的序号是_________.
（ii）当时，若曲线所围成的区域的面积小于，则的值可以是_________.（写出一个即可）
三、解答题
16. 一个不透明的袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从袋子中摸一个红球的概率是，现在从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个．
(1)若一共摸3次球，设摸到红球的次数为，求随机变量的分布列和数学期望：
(2)若有3次摸到红球则停止摸球，求恰好摸5次停止的概率．
17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18. 甲、乙两人进行射击比赛，各射击局，每局射击次，射击命中目标得分，未命中目标得分，两人局的得分情况如下：
(1)若从甲的局比赛中，随机选取局，求这局的得分恰好相等的概率．
(2)如果，从甲、乙两人的局比赛中随机各选取局，记这局的得分和为，求的分布列和数学期望．
(3)在局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值．（结论不要求证明）
19. 已知椭圆的长轴长为4，以椭圆C的短轴为直径的圆经过椭圆的两个焦点，点分别是椭圆C的左、右顶点．
(1)求圆和椭圆C的方程；
(2)已知分别是椭圆C和圆上的动点（位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值．
20. 已知椭圆的一个焦点为，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为．
(1)求椭圆方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点（点A在点B左侧），点A关于轴的对称点为C，求面积的取值范围．
21. 已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底．
(1)分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；
①，；
②，．
(2)若集合是集合的一个元基底，证明：；
(3)若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．-240
B．240
C．15
D．-15
A．
B．
C．
D．
A．0.2
B．0.4
C．0.7
D．0.35
A．
B．
C．
D．
A．12种
B．24种
C．32种
D．40种
A．0
B．1
C．2
D．3
A．2
B．3
C．4
D．5
A．3
B．4
C．2
D．2
甲
乙