福建福州第一中学2025-2026学年第一学期第二学段模块考试高二数学试题（含答案解析）

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一、单选题
1. 若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（ ）
2. 若双曲线的离心率为，则的值为（ ）
3. 设数列满足，则（ ）
4. 已知等差数列的前n项和为，若，则一定有（ ）
5. 若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ）
6. 已知抛物线的焦点为，为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为（ ）
7. “三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法．例如第一个基准音的乐器的长度为36，那么第二个基准音的乐器长度为，第三个基准音的乐器长度为，…，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推．现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（ ）
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆在第一象限上的一个点，点与点关于原点对称，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
二、多选题
9. 下列命题正确的是（ ）
10. 已知抛物线的焦点，直线过焦点交抛物线于两点（点在第一象限），为的准线，为与轴交点，，垂足为，则下列说法正确的是（ ）
11. 在平面直角坐标系中，设．对于实数，定义点集．则下列结论正确的是（ ）
三、填空题
12. 已知曲线在处的切线方程为，则___________．
13. 已知双曲线的左焦点为，直线与的左、右两支分别交于点，若，，则的渐近线方程为___________．
14. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数个数．例如（不超过正整数3，且与3互素的正整数有1和2）．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果互素，则．计算___________，数列的前项和___________．
四、解答题
15. 已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和为．
16. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其横坐标为，且．
(1)求的值；
(2)已知直线与抛物线交于两点，若，求面积的最大值．
17. 已知数列的前项和为，且
(1)若数列不是等比数列，求；
(2)若，在和中插入个数构成一个新数列，，插入的所有数依次构成首项为2，公差为2的等差数列，求的前30项和．
18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆的右焦点且斜率不为0的直线交于两点，点．
(1)为椭圆上一动点，求的最大值；
(2)若点在以为直径的圆上，求直线的方程；
(3)设直线与直线交于点，记直线，，的斜率分别为，，，若成等差数列，求实数的值．
19. 已知双曲线的焦距为，且点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)，点列按如下规则构造：①点为的右顶点；②过点作斜率为的直线，交双曲线于另一点；③点为点关于轴的对称点．
记，解答下面问题．
（i）证明：数列是等比数列；
（ii）若为数列的前项和，设，数列的前项和为，证明：．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．1
B．2
C．
D．4
A．
B．
C．
D．2
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．324
B．243
C．256
D．168
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．一物体的运动方程为，则其在时的瞬时速度为1
D．已知函数在上可导，且，则
A．的最小值为4
B．若，则
C．
D．若，则直线的斜率为
A．是椭圆
B．点集不可能为空集
C．中任意一点都满足
D．中存在点使得为直角