2022-2023学年福建省福州第一中学高一上学期第一学段模块考试数学试题（解析版）

福州一中2022-2023学年第一学期第一学段模块考试

高一数学学科

（完卷120分钟 满分150分）

座号______姓名______班级______

一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合或，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合的运算直接求解.

【详解】，所以，

故选:B.

2. 命题“，”的否定是（       ）

A.  B. ，

C.  D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”

【详解】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”，

故命题“，”的否定是“”.

故选：C

3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据抽象函数定义域求法，即可求其定义域.

【详解】设，则，

因为函数的定义域为，所以当时，有意义，所以，故当且仅当时，函数有意义，所以函数的定义域为，由函数有意义可得，所以，

所以函数的定义域为，

故选：B.

4. 设函数，则下列函数中为偶函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据偶函数的定义即可判断.

【详解】，

对于选项A，，因为，

所以是偶函数，A正确；

对于选项B，，因为，，

所以不偶函数，B错误；

对于选项C，，因为，，

所以不是偶函数，C错误；

对于选项B，，因为，，

所以不是偶函数，D错误；

故选：A

5. 核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，那么该样本的扩增效率约为（    ）

(参考数据：，)

A. 0.369 B. 0.415 C. 0.585 D. 0.631

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，代入，解方程即可.

【详解】由题意知，，

即，

所以，解得.

故选：C.

6. 函数的大致图象为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数解析式，研究其奇偶性以及特殊函数值的大小，可得答案.

【详解】由，则该函数的定义域为，

将代入该函数，可得，

故该函数为偶函数，则C、D错误，

将代入函数，可得，故A错误，B正确.

故选：B.

7. 若，则它们的大小关系正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用分段法，结合指数、对数的知识确定正确答案.

【详解】，

.

由于，所以，

所以，即，

所以.

故选：D

8. 已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由等式可化为，考虑构造函数，研究其单调性，结合函数单调性化简方程，可得结论.

【详解】因为是方程的实根，所以，

所以，，所以，

又可化为，设，，则原方程可化为，

又函数，在都为增函数，且其函数值都大于0，,所以函数在上单调递增，

所以，所以，

故选：B.

【点睛】问题解决的关键在于根据方程的结构构造函数，利用函数的性质化简方程研究其解.

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用对数的运算性质和基本等式求解即可.

【详解】由得，所以，B正确；

，

由于，所以等号不成立，即，A正确；

，C错误；

，

D正确，

故选:ABD.

10. 函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（    ）

A.

B. 若在上有最大值1，则在上有最小值

C. 若在上为增函数，则在上为减函数

D. 若时，，则时，

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据奇函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】依题意，是定义在上的奇函数，

所以，A选项正确.

B选项，奇函数的图象关于原点对称，

所以若在上有最大值1，则在上有最小值，B选项正确.

C选项，奇函数的图象关于原点对称，在轴两侧单调性相同，

所以若在上为增函数，则在上为增函数，C选项错误.

D选项，时，，

当时，，

所以，D选项正确.

故选：ABD

11. 已知关于的不等式，下列结论正确的是（    ）

A. 当时，不等式的解集为

B. 当时，不等式的解集可以为的形式

C. 不等式的解集恰好为，那么或

D. 不等式的解集恰好为，那么

【答案】AD

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解法判断A，作函数以及和的图象，结合条件及图象判断B；由条件先确定的范围，再根据不等式的解法求出的值，即可判断C，D.

【详解】对于选项A：由，可得，方程的判别式，又，所以，所以不等式的解集为，所以不等式的解集为，故A正确；

对于选项B：在同一平面直角坐标系中，作函数以及和的图象，如图所示，设交点，

由图可知，当时，不等式的解集为的形式，故B错误；

对于选项C：由不等式的解集恰好为，可知，即，

所以和是方程的两根，从而有，解得或，又由，解得或，不满足，不符合题意，故C错误；

对于选项D：当时，由，解得或，当时满足，此时，故D正确．

故选：AD．

12. 定义在上的偶函数满足，当时，，定义在上的奇函数满足，当时，，已知函数在区间上有5个零点，则以下为实数可能取值的有（    ）

A. 0 B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】结合函数的对称性、单调性、周期性、奇偶性作出函数的图象，根据数形结合可得函数在区间上有5个交点，作出图象，列出不等式即可求解.

【详解】由得的图象关于对称，

又因为为偶函数，且，

所以，所以以4为周期，

作图如下：

因为为奇函数，

且时，，

即时，，

且，所以以6为周期，

则只用考虑函数在的图象与图象交点的个数，

注意到，，

所以在区间上有一个零点为，

所以函数在的图象与图象在时有4个交点，

若，则时，，

则函数在分别和的图象有2,1,0个交点，

所以此时函数在区间上有4个零点，

若，则时，单调递减，

则函数在分别和的图象有2,1,0个交点，

所以此时函数在区间上有4个零点，

若，则时，单调递增，

要使函数在区间上有5个零点，

则函数在分别和的图象有1,2,1个交点，

则，

又因为，

所以，解得，

结合选项可知，

故选:BC.

【点睛】方法点睛：此题考查函数的奇偶性和周期性，解题过程中将零点个数问题转化为函数图象交点问题，数形结合，即可求解.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 计算：______.

【答案】

【解析】

【分析】根据指数和对数运算求得正确答案.

【详解】

.

故答案为：

14. 已知必要不充分条件是或，则实数的最大值为______.

【答案】1

【解析】

【分析】首先解不等式，再根据题意得到，即可求出的取值范围，从而得解；

【详解】由，得或，

因为的必要不充分条件是“或”，

所以，解得，所以实数a的最大值为1；

故答案为：

15. 已知函数对任意的，有，设函数，且在区间上单调递增.若，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】由及，可得函数为奇函数，根据函数的奇偶性与单调性解不等式即可.

【详解】因为函数对任意的，有，又，

则，

所以函数为奇函数，

因为在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，又函数为奇函数，

所以在区间上单调递增，

所以不等式，可化为，

所以，解得，

故答案为：.

16. 若三个正数满足，则的最小值为______.

【答案】##

【解析】

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】依题意为正数，，

所以

，

当且仅当，

，时等号成立.

故答案为：

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，函数定义域为集合.

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1），；   

（2）的取值范围是．

【解析】

【分析】（1）化简集合,根据集合的运算法则求；

（2）由已知可得，进而分，转化条件列不等式求的取值范围．

【小问1详解】

由已知当时，，

函数有意义，则，得，

则，

又或，则；

【小问2详解】

因为，所以，

分2种情况讨论：

①当时，有，解可得，

②当时，

若有，必有，满足条件的不存在，

综上可得：的取值范围是．

18. 已知函数.

（1）若函数的值域为，求实数的值；

（2）当时，函数的最大值为2，求实数的值.

【答案】（1）或   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据二次函数的值域列方程，从而求得的值.

（2）根据二次函数的对称轴进行分类讨论，结合在区间上的最大值求得.

【小问1详解】

函数的开口向下，

若函数的值域为,

则，

解得或.

【小问2详解】

函数的开口向下，对称轴为，

当，时，在区间上的最大值为，

解得.

当时，在区间上的最大值为

，，，

由于，所以方程无解.

当时，在区间上的最大值为

，解得.

综上所述，的值为或.

19. 已知且.

（1）设的定义域为，若区间，求时，的值域；

（2），使得不等式成立，求的取值范围.

【答案】（1）时，函数的值域为   

（2）的取值范围.

【解析】

【分析】(1)求函数的定义域，判断函数在上的单调性，结合单调性求值域；

(2)讨论，化简不等式，由不等式有解列不等式求的取值范围.

【小问1详解】

由有意义可得，

①当时，，所以函数的定义域为，

设，则，因为函数在上为增函数，所以，又函数在上单调递减，所以在上单调递减，由知在上单调递减，

②当时，，所以函数的定义域为，

设，则，因为函数在上为减函数，所以，又函数在上单调递增，所以在上单调递减，由知在上单调递减，

综上所述，当且时，函数在上为减函数，

所以当时，，

所以时，函数的值域为

【小问2详解】

不等式可化为，

当时，，所以，与已知矛盾，

当时，，所以，由已知，满足不等式，若，则或，解得或，故，

所以的取值范围.

20. 近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某企业春节期间加班追产提供（万元）的专项补贴企业在收到政府（万元）补贴后，当补贴小等于5万元时，产量将维持在6万件不变，当补贴超过5万元时，产量将增加到（万件）.同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.（注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本）

（1）求企业春节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式；

（2）当政府的专项补贴为多少万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大？

【答案】（1）   

（2）当政府的专项补贴为万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大.

【解析】

【分析】（1）对进行分类讨论，由收益=销售金额+政府专项补贴-成本求得.

（2）结合基本不等式求得正确答案.

【小问1详解】

当时，.

当时，.

所以.

【小问2详解】

由（1）得：当时，.

当时，，

当且仅当时，等号成立，

，所以当政府的专项补贴为万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大.

21. 已知函数.

（1）若函数是偶函数，且不等式在上有解，求的取值范围；

（2）若，且函数恰有一个零点，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据为偶函数可求出，再利用参变分离法求的取值范围； (2)换元法，将函数由1个零点转化为方程由1个根，根据为偶函数，则函数的零点成对出现，所以要使方程只有1个根，则,进而可求解.

【小问1详解】

因为

所以

为偶函数，所以即，

所以，

令，则，

不等式等价于，

即有解，

因为，所以，

因为所以当时，函数有最小值为，

所以.

【小问2详解】

，，

令，则，

方程

等价于，即，

也即，

又因为方程有一个根，

所以有一个根，且根为，

（因为为偶函数，所以如果方程的根没有2，

则方程的根的个数为偶数，与题意矛盾），

所以解得.

22. 对于函数.

（1）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；

（2）设，若对任意，当时，满足，求实数的取值范围.

【答案】（1）实数取值范围为；   

（2）的取值范围为.

【解析】

【分析】（1）由题可得有且仅有一个解，分类讨论可得；

（2）由题可得，进而可得对任意的恒成立，然后求函数的最小值即得.

【小问1详解】

因为函数恰有一个零点，

所以方程有且仅有一个根，

所以有且仅有一个根，

由①可得，，即，

当时，方程有唯一解，满足②，

所以符合条件；

当时，方程有两相等解，满足②，

所以符合条件；

当且时，方程有两不等解，

若满足②，则，

若满足②，则，

所以当时方程恰有一个实根；

综上，实数的取值范围为；

【小问2详解】

令，则在上为减函数，在上为增函数，

所以函数在上为减函数，

当时，满足，

则，

∴，即对任意的恒成立，

设，又，又函数的图象的对称轴，所以函数在单调递增，

所以，

∴，

所以实数的取值范围为