福建莆田第二十五中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析）

这是一份福建莆田第二十五中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程为（ ）
2. 已知圆：，直线：，则“”是“直线与圆相交”的（ ）
3. 某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示)若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成的角为（ ）
4. 已知椭圆，倾斜角为的直线l与椭圆分别相交于A.B两点，点P为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OP的斜率为（ ）
5. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，若，成等比数列，则数列的公差为（ ）
6. 已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（ ）
7. 若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则
8. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ）

二、多选题
9. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ）
10. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点是双曲线的右支上一点，且三角形为正三角形（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
11. 空间直角坐标系中，平面和方程之间具有如下关系：（1）平面上的点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都在平面上，则称平面为方程的平面，方程为平面的方程，并且称为平面的一个法向量.已知平面方程分别为和，平面和的交线为，则（ ）
三、填空题
12. 设，若直线与直线之间的距离为，则的值为________．
13. 已知数列的前项和为，满足，则 _______．
14. “”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为9.若上第一象限内的点满足的面积为，则__________.
四、解答题
15. 已知圆经过，，三点．
(1)求圆的方程；
(2)若经过点的直线与圆相切，求直线的方程．
16. 已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：.
17. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．
18. 设椭圆：的右焦点恰好是抛物线的焦点，椭圆的离心率和双曲线的离心率互为倒数.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过定点的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不重合）.证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值.
19. 在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线､关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比.
(1)已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的方程；
(2)射线的方程，如果椭圆：经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆､分别交于两点､，且，求椭圆的方程；
(3)对抛物线：，作变换，得抛物线：；对作变换，得抛物线：；如此进行下去，对抛物线：作变换，得抛物线：，…若，，求数列的通项公式.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．1
D．3
A．7
B．6
C．5
D．
A．4
B．16
C．32
D．64
A．
B．当时，
C．若，，则
D．平行六面体的体积
A．
B．
C．
D．
A．
B．双曲线的离心率为
C．
D．
A．若点在直线上，则
B．平面和所成角的余弦值等于
C．点到平面的距离为
D．若平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值等于