北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案解析）

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一、解答题
1. 已知有穷数列，的项数均为，，若对任意，都有（规定），则称数列，是“相关数列”．
记数列的前项和为，．
(1)时，已知数列，，判断数列和是否为“相关数列”，并说明理由；
(2)数列，是“相关数列”，证明：对任意，都有，这里表示和中较小的数；
(3)求最小的整数，使得存在“相关数列”，，满足．
2. 椭圆的离心率为，其四个顶点构成的四边形面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，，若椭圆上存在点使得四边形是平行四边形，求的取值范围．
二、填空题
3. 数列满足，，其前项和为．给出下列四个结论：
①，；
②，；
③，；
④，当时，都有成立．
其中所有正确结论的序号是________．
4. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为30°的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且在线段的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．
三、单选题
5. 如图，在正方体中，点是棱的中点，动点沿着线段从点向点移动，给出下列三个结论：
①不存在点，使得面；②四面体的体积逐渐增大；③直线与所成的角逐渐减小．其中正确结论的序号是（ ）
6. 已知数列满足，，若，都有，其中,，则的最小值为（ ）
7. 已知为坐标原点，，，两点在单位圆上，满足，以线段，为邻边作平行四边形，则的最大值为（ ）
四、解答题
8. 如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面．如图2，的中点为．
(1)求证：平面；
(2)若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
9. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知，，设直线与椭圆的另一个交点为，求三角形的面积．
10. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求的最小值．
五、填空题
11. 曲线是平面上到三个点，，的距离之和等于的动点轨迹．给出下列四个结论：
①曲线关于轴对称；
②曲线上存在点，使得；
③曲线上存在点，使得为钝角；
④曲线与椭圆恰有三个交点．
其中所有正确结论的序号是________．
12. 已知圆的圆心坐标为，与直线交于，两点，且．
（1）则圆的标准方程为________；
（2）过点与圆相切的直线方程为________．
13. 在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为________．
14. 已知是等比数列，若，，则的前项和________．
15. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则C的离心率为___________.
六、单选题
16. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，点，在准线上的射影分别为点，．给出下列三个结论：
①；
②若为线段的中点且，则点到轴的距离为3；
③若，则．
其中正确结论的个数为（ ）
17. 如图，战国时期的标准度量衡“环权”，包括木质秤杆、两个铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，可用于测量物体质量．把铜环权的质量从小到大排列后，前三项成等差数列，后七项成公比为2的等比数列，其中质量最小的为1铢，最大的为8两（古制1两=24铢），若某物体的质量恰为第3，5，8枚铜环权的质量和，则该物体的质量为（ ）
18. 若存在，使得点在圆外，则的取值范围是（ ）
19. 已知是无穷等差数列，其前项和为，则“为递增数列”是“存在，当时，都有”的（ ）
20. 如图，在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，且，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（ ）
21. 已知数列的前项和为，且，，则（ ）
22. 若直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ）
23. 若直线与垂直，则实数（ ）
24. 已知空间向量，，若，则（ ）
25. 过两点，的直线的倾斜角等于（ ）
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
第22题：
第23题：
第24题：
第25题：
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．0
B．1
C．2
D．3
A．3两5铢
B．3两15铢
C．4两5铢
D．4两15铢
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．-3
C．3
D．
A．
B．
C．1
D．2
A．
B．
C．
D．