福建省福州第一中学2025-2026学年高二上学期第二学段模块考试（期末）数学试卷（Word版附解析）

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高二数学试题
一、单选题
1．若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（ ）
A．B．
C．D．
2．若双曲线的离心率为，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．4
3．设数列满足，则（ ）
A．B．C．D．2
4．已知等差数列的前n项和为，若，则一定有（ ）
A．B．C．D．
5．若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知抛物线的焦点为，为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
7．“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法．例如第一个基准音的乐器的长度为36，那么第二个基准音的乐器长度为，第三个基准音的乐器长度为，…，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推．现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（ ）
A．324B．243C．256D．168
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆在第一象限上的一个点，点与点关于原点对称，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．一物体的运动方程为，则其在时的瞬时速度为1
D．已知函数在上可导，且，则
10．已知抛物线的焦点，直线过焦点交抛物线于两点（点在第一象限），为的准线，为与轴交点，，垂足为，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为4
B．若，则
C．
D．若，则直线的斜率为
11．在平面直角坐标系中，设．对于实数，定义点集．则下列结论正确的是（ ）
A．是椭圆
B．点集不可能为空集
C．中任意一点都满足
D．中存在点使得为直角
三、填空题
12．已知曲线在处的切线方程为，则 ．
13．已知双曲线的左焦点为，直线与的左、右两支分别交于点，若，，则的渐近线方程为 ．
14．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数个数．例如（不超过正整数3，且与3互素的正整数有1和2）．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果互素，则．计算 ，数列的前项和 ．
四、解答题
15．已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和为．
16．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其横坐标为，且．
(1)求的值；
(2)已知直线与抛物线交于两点，若，求面积的最大值．
17．已知数列的前项和为，且
(1)若数列不是等比数列，求；
(2)若，在和中插入个数构成一个新数列，，插入的所有数依次构成首项为2，公差为2的等差数列，求的前30项和．
18．已知椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆的右焦点且斜率不为0的直线交于两点，点．
(1)为椭圆上一动点，求的最大值；
(2)若点在以为直径的圆上，求直线的方程；
(3)设直线与直线交于点，记直线，，的斜率分别为，，，若成等差数列，求实数的值．
19．已知双曲线的焦距为，且点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)，点列按如下规则构造：①点为的右顶点；②过点作斜率为的直线，交双曲线于另一点；③点为点关于轴的对称点．
记，解答下面问题．
（i）证明：数列是等比数列；
（ii）若为数列的前项和，设，数列的前项和为，证明：．
参考答案
1．A
【详解】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负.
根据当为偶数时结果为，当为奇数时结果为；当为奇数时结果为，当为偶数时结果为，可知该数列的符号规律可以用来表示.
分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为.
结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为.
故选：A.
2．B
【详解】因为双曲线的离心率为，
则，解得：，即;
故选：B
3．D
【详解】已知，则，，
，，
可见此数列为周期是3的周期数列，
，
，故D正确．
故选：D．
4．C
【详解】因为数列是等差数列，
所以
解得 ，
所以，
故选：C
5．C
【详解】设，由函数，得，
所以过点的切线斜率，
根据二次函数的图像性质，可得，
又，即，
又，所以得的取值范围是.
故选：C
6．D
【详解】如图，作出符合题意的图形，

抛物线的焦点为，准线方程为，
设点，根据抛物线的定义得，
由两点间距离公式得，
则，令，
而函数平方后单调性不变，设，
求导得，
令，则，
解得（斜率不存在，舍去）或，
令，，
令，，
则在上单调递减，
在上单调递增，
得到，
故当时，最小，即最小，
当时，点，
由斜率公式得直线斜率为，故D正确．
故选：D．
7．B
【详解】由损益规律可知，
解得.
故选：B
8．D
【详解】由点与点关于原点对称，结合椭圆的对称性可知，是平行四边形，
因为，所以是矩形，
所以，
因为，，
所以，
因为点是椭圆在第一象限上的一个点，
所以，
则，，，
因为，，所以，
则，即，
得，得，
得或（舍），即，
故椭圆的离心率的取值范围为.
故选：D
9．AC
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，瞬时速度是位移函数的导数：，所以，故C正确；
对于D，根据导数的定义可得：，故D错误；
故选：AC
10．AC
【详解】如图，

因为抛物线的焦点，则，抛物线，
对于A，根据抛物线的性质，所有的焦点弦中，通径最短，为，
所以，故A正确；
对于B，因为,,,,
所以，代入抛物线方程可得：
根据抛物线的定义：，故B错误；
对于C，设，，显然直线的斜率不为，
设直线的方程为：，
联立，可得：。
，，，
则，，
所以，
因为，
故，所以，故C正确；
对于D，当，直线斜率存在且不为0，设直线即.
代入抛物线得，整理得.
设则，
由，点在第一象限，得.解得，故D不正确.
故选：AC.
11．ACD
【详解】对于A,,则，
根据椭圆的定义可得：是以为焦点，长轴长为的椭圆，故A正确；
对于B，取，则，则，
这与矛盾，则此时点集为空集，故B不正确；
对于C,，则，所以，
由于，则，
即，即，解得，故C正确；
对于D,,则，所以，
假设存在点使得为直角，则，
即，解得或，
当时，，此时重合，不能构成三角形，
当时，，此时，满足条件，
综上，中存在点使得为直角，故D正确；
故选：ACD
12．1
【详解】点在切线上，即，
，
点处的切线为，则斜率为1，函数求导得，
，
．
故答案为：1．
13．
【详解】设的右焦点为，由题意知四边形为平行四边形.
因为，所以，故四边形为矩形，
由双曲线定义得，在直角中，，
由，得，解得，
所以，
所以的渐近线方程为.
故答案为：
14． 4
【详解】由欧拉函数的定义可知表示不超过且与互素的正整数，有共4个，
；
利用欧拉函数的积性性质，，
对于，集合中被整除的数可表示为，且满足，
，故的取值为，共个，
集合中共有个元素，其中不互质的有，
，
，
，
，
①，②，
由①减去②得，，
，
，
．
故答案为：4；．
15．(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由 ，得，
整理得，
由 ，得，
即，
解得，
所以数列 的通项公式为
（2）由（1）知 ，则 ，
所以，
利用裂项求和，
有，
，
，
所以数列 的前 项和 .
16．(1)
(2)
【详解】（1）分析可得，点在抛物线上，其横坐标为，代入抛物线方程，得点的纵坐标为，
因为，根据抛物线的定义可得，
，计算可得；
（2）由（1）可得抛物线方程：，设，，
联立可得，
韦达定理可得，，，
所以弦长，
所以点到直线的距离为，
所以的面积为，
因为，所以当时，取得最大值．

17．(1)
(2)
【详解】（1）由，
得，则，
所以.
①当时，不是等比数列，符合题意；
②当时，，
所以，所以是首项为，公比为2的等比数列，与已知矛盾.
综上，由及可知，对任意成立，
故.
（2）由（1）中推导可知，若，数列是首项为2，公比为2的等比数列，
故，，
可把新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…看作为第一组数，个数为2；看作第二组数，个数为3个，…
故第组数的个数为，前组数的个数和为， 即，
当时，， 故数列前30项为：，2，，4，6，，8，10，12，
，
.
18．(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）设为椭圆上一点，则，且 ，
则：
，
所以当时，.
（2）椭圆右焦点，设直线，，，
联立直线与椭圆方程：，可得，
由韦达定理：，，
点在以为直径的圆上，等价于，
，
代入韦达定理：，
化简得：，
即，
即，即，解得或.
因此，直线的方程为或，
（3）由（2）可知，，，，，，，

直线的方程为：，把代入方程中，得，
所以，于是，，，
因为，，成等差数列，
所以，
化简，得，
把代入化简，得，
把代入，
得，因为，所以有，即.
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【详解】（1）双曲线的焦距为，得，
，
又点在双曲线上，
，即，解得，则，
双曲线的方程为．
（2）（i）双曲线的右顶点为，故，，
过点作斜率为的直线，方程为，
联立直线与双曲线方程得，整理得，
设，
由韦达定理得，解得，，
点为点关于轴的对称点，故，，
，
，
，
是首项为2，公比为3的等比数列；
（ii），
，
，
当时，，
当时，，，
，
，
，
，
，