2024-2025学年浙江省杭州市萧山区名校八年级下学期4月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份2024-2025学年浙江省杭州市萧山区名校八年级下学期4月期中考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1.下列式子中属于最简二次根式的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】A.，是最简二次根式，故本选项符合题意
B.，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
2.下列扑克牌中，是中心对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】A．绕着某一个点旋转，旋转后的图形与原来的图形不重合，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B．绕着某一个点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形重合，是中心对称图形，故该选项符合题意；
C．绕着某一个点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形不重合，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D．绕着某一个点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形不重合，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选：B．
3.农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A.16，15B.16，15.5
C.16，16D.17，16
【答案】C
【解析】16出现了10次，出现的次数最多，则众数是16；
把这组25个数据从小到大排列，第13个数是16
则这组数据的中位数是16；
故选：C．
4.一元二次方程 配方后可变形为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】，
移项：，
配方：，
即：，
故选：C．
5.如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于直角坐标系的原点，点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，O为角线AC与BD的交点，
∴B与D关于原点O对称，
∵点D的坐标为（2，1），
∴点B的坐标为（-2，-1），
故选：A．
6.某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（ ）
A.1B.5
C.D.
【答案】D
【解析】由题意知，这组数据为、、、、、、、、、，
∴这组数据的平均数为，
故选：D．
7.如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】由题意可得：，
即，故D正确．
故选：D
8.如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的是（ ）
A.①②B.②③
C.①②③D.②③④
【答案】B
【解析】四边形是平行四边形，
，，
，
又E、F分别是、的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，，故②正确
，
，
四边形是平行四边形，故③正确
，
而不一定成立，故④不正确．
不一定等于，
不正确，故①不正确，
故选：B．
9.已知方程甲：，方程乙；都是一元二次方程，其中，以下说法中错误的是（ ）
A.若方程甲有两个不相等的实数根，则方程乙没有实数根
B.若方程甲有两个相等的实数根，则方程乙也有两个相等的实数根
C.若是方程甲的解，则也是方程乙的解
D.若既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或
【答案】D
【解析】若方程甲有两个不相等的实数解，则△=（2b）2-4a•a＞0，
解得4b2＞4a2，
所以4a2-4b2＜0，
而方程乙：bx2+2ax+b=0中，△=（2a）2-4b•b=4a2-4b2＜0，
所以方程乙没有实数解，故说法A正确；
若方程甲有两个相等的实数解，则△=（2b）2-4a•a=0，
解得4b2=4a2，
所以4a2-4b2=0，
而方程乙：bx2+2ax+b=0中，△=（2a）2-4b•b=4a2-4b2=0，
所以方程乙有两相等实数解，故说法B正确；
若x=1是方程甲的解，所以a+2b+a=0，即a=-b，
则方程乙：bx2+2ax+b=0变为bx2-2bx+b=0，
解得x1=x2=1，
所以x=1也是方程乙的解，故说法C正确；
若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，
所以，
①-②得（a-b）n2-2（a-b）n+（a-b）=0，
∵a≠b，
∴n2-2n+1=0，
解得n1=n2=1，
故说法D错误，
故选：D．
10.如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】，
，
四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作的垂线，垂足为，连接，
∵垂线段最短，
∴当点P在点处时，最小，即最小，
∵，
即，
∵，
，
则的最小值为，
，
，
∴当取得最小值时，的长为．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11.已知二次根式有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】二次根式有意义，
则，
解得：．
故答案为：．
12.已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________．
【答案】5
【解析】∵多边形的每个外角都等于72°，
∵多边形的外角和为360°，
∴360°÷72°=5，
∴这个多边形的边数为5.
故答案为：5.
13.已知一组数据：1，2，3，a ， 5的平均数为3，则这组数据的方差为__________．
【答案】2
【解析】∵1，2，3，a ， 5的平均数为3，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
14.如果m是方程的一个根，那么代数式的值为_______．
【答案】15
【解析】∵m是方程的一个根，
，
，
∴
故答案为：15．
15.用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应假设三角形外角中____________．
【答案】最多有一个钝角
【解析】用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”，应先假设三角形的三个外角中最多有一个钝角，
故答案为：最多有一个钝角．
16.如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F．
（1）如图1，连接，若点F恰好落在边上．则的长为______．
（2）如图2，连接，若，则的长为______．
【答案】（1） （2）4
【解析】（1）过点D作，交的延长线于点H，如图1，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）延长交的延长线于点G，过点G作于点H，过点D作于点K，如图2，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
∴设，则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，．
由（1）知：，
∴，
在中，，
由折叠得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
三、解答题（本大题共8个大题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.计算
（1）
（2）
解：（1）原式
.
（2）原式
．
18.解方程
（1）
（2）
解：（1）
移项得，
配方得，即，
开方得，
解得，.
（2）
移项得，
提取公因式得，
则或，
解得，．
19.如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上．请按下列要求，在图1，图2中画顶点均在格点的．
（1）在图1中画一个面积为6的．
（2）在图2中画一个有一条对角线长等于的．
解：（1）如图所示：
（2）解：一条对角线长等于的如图所示：
20.某校开展了安全知识竞赛，所有同学得分都不低于80分，现从该校八、九年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用（分）表示，共分成四个等级，A：；B：；C：；D：），下面给出了部分信息：
八年级抽取的学生C等级的成绩为：92，92，93，94
九年级抽取的学生D等级的成绩为：95，95，95，97，100
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
请根据相关信息，回答以下问题：
（1）填空：_____，_____，并补全九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
（2）根据以上数据，请判断哪个年级的同学竞赛成绩更好，并说明理由（一条即可）；
（3）规定成绩在95分以上（含95分）的同学被评为优秀，已知该校八年级共有1200人参加知识竞赛，请计算该校八年级约有多少名同学被评为优秀？
解：（1）由题意可知，八年级10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数是，因此中位数是；
九年级10名学生成绩出现次数最多的是95，共出现3次，因此众数是95，即，
九年级10名学生成绩处在“A组”的有 (人)，
补全频数分布直方图如图：
故答案为：92.5；95；
（2）九年级成绩较好，
理由：九年级学生成绩的中位数、众数都比八年级的高；
（3） (名)，
故该校八年级约有360名同学被评为优秀．
21.如图，中，于点，于点，连结，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
解：（1）四边形是平行四边形，
∴，，
，
于点，于点，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2），，，
，
，，
，
，
，
，
，
的长为13．
22.解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
23.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程（a、b是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值．
解：（1），
，
，
∵，
不符合邻根方程的定义，
∴不是邻根方程；
（2）∵，
∴，
∴，
∵关于x的方程是邻根方程，
∴，
∴，
故或；
（3）∵关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、，
∴，
由根与系数的关系：，
∴，
∴，
∴，
∴当时，；
答：t的最大值为4．
24.某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究．
（1）探究：如图，若四边形的对角线与相交于点，且，请你证明四边形的四条边长满足：．
（2）应用一：如图，若，分别是中，边上的中线．且垂足为，求证：；
（3）应用二：如图，中，点、、分别是，，的中点．若，，．求线段的长．
解：（1）
如图由勾股定理得：
，
，
（2）证明：连接，
，
，
，，
，，
，
，，，
，
（3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为，
点、分别是，的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
，
，分别是的中线，
由（2）的结论得：，
，
．年级
平均分
中位数
众数
方差
八年级
92
92
23.4
九年级
92
94
29.8