2023-2024学年浙江省杭州市萧山区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市萧山区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.当x=1时，二次根式 5−x的值为( )
A. 4B. 6C. 6D. 2
2.下列选项中的四个点，在函数y=12x的图象上的是( )
A. (−2,−6)B. (−2,6)C. (2,−6)D. (2,10)
3.下列等式成立的是( )
A. 6+ 2=2 2B. 6− 2=2C. 6× 2=2 3D. 6÷ 2=3
4.2021年杭州市某区的GDP(国内生产总值)为2502.2亿元.2023年该区的GDP为2936.43亿元，在杭州市各区县排名第一.设这两年该区GDP的平均增长率为x，根据题意可列出方程为( )
A. 2502.2(1+2x)=2936.43B. 2502.2(1+x)2=2936.43
C. 2502.2(1+2x)2=2936.43D. 2502.2x2=2936.43
5.六边形的内角和为( )
A. 360°B. 540°C. 720°D. 900°
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E.则AEAC的值是( )
A. 12B. 5−12C. 13D. 5+14
7.淘票票的评分界面中记录了电影《集结号》不同打分的人数．
则由表中的数据，该电影评分的平均分正确预测是( )
A. 在1分到6分之间B. 在7分到8分之间C. 在8分到9分之间D. 在9分到10分之间
8.若四边形ABCD的对角线AC与BD相等且互相平分，则下列关于四边形ABCD的形状判断正确的是( )
A. 一定是矩形，但不一定是正方形B. 一定是菱形
C. 一定是平行四边形，但不可能是矩形D. 一定是正方形
9.已知方程x2+bx+c=0的两个根是±α，x2+dx+e=0的两个根是±β.当x=β时，x2+bx+c的值记作y1；当x=α时，x2+dx+e的值记作y2.则下列结论一定成立的是( )
A. y1+y2=0B. y1−y2=0C. y1⋅y2=1D. y1−y2=1
10.如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一个动点(不与点A，点B重合)，连结CE，作BF⊥CE交AD于点F，垂足为点G，连结CF，记△BEG，△CDF，△CFG，△BCG，四边形AEGF的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，方方通过探究，得到以下两个结论：①S1+S2=S3，②S4=S5.则下列选项中，正确的是( )
A. ①②都正确B. ①②都错误C. ①正确②错误D. ①错误②正确
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.二次根式 x−1中字母x的取值范围是______．
12.已知点A(1,y1)，B(2,y2)在反比例函数y=−12x的图象上，则y1 ______y2(填“>”、“<”或“=”)．
13.若关于x的方程x2+6x+a=0有两个相等的实数根，则a的值为______．
14.在某校八年级举行“数学说题”比赛中，10名参赛学生的成绩统计如图所示，则这10名学生的参赛成绩的众数是______分.
15.杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形ABCD，伞骨连接点A固定在伞柄AP顶端，伞圈C能沿着伞柄AP滑动.小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄AP的中点O到伞骨连接点B，D的距离都等于AP的一半，若夹角∠BAD=2∠BOD，则∠BCD的度数是______．
16.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，小明用相同的七巧板拼成一个无缝隙的正方形(如图1)和一个中间留有空白的数字“0”(如图2)，若图1正方形的面积是16，则图2中空白部分的面积是______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(1) 24÷ 3×(− 2)；
(2) 18−( 8+ 12)．
18.(本小题8分)
解下列方程：
(1)x2−3x=0；
(2)x2−8x+12=0．
19.(本小题8分)
圆圆、方方准备代表学校参加区里的铅球比赛，体育老师对这两名同学测试了10次，获得如下测试成绩折线统计图.根据图中信息，解答下列问题：
(1)要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．
(2)求方方成绩的方差．
(3)现求得圆圆成绩的方差是S2=1.8(单位：平方米).根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．
20.(本小题8分)
如图，点P是反比例函数y=6x(x>0)图象上的一个动点，作PH⊥y轴于点H，点Q是PH的中点，设点Q的坐标为(m,n)．
(1)n是m的______函数，并加以说明.(填“一次”或“反比例”)
(2)当n>3时，求m的取值范围．
21.(本小题8分)
强强为了激励自己学好数学，在白色宣纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房.其中一幅长方形书法作品长80cm，宽20cm，正方形书法作品边长为40cm，现在给两幅作品四周装裱上宽度相等的彩纸(如图1，图2)，设彩纸的宽为x cm.(粘贴连接处忽略不计)
(1)装裱后长方形书法作品的长为______cm；正方形书法作品的面积为______cm2.(用含x的代数式表示)
(2)若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为1100cm2，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积．
22.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，BD是对角线，作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形．
(2)若BE=CE，AE=4，DE=8，求CD的长．
23.(本小题12分)
综合与实践：如何称量一个1元硬币的重量？
素材1：如图是一架自制天平，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动.已知AC=30cm，BC=76cm，支点O在AC的中点处，一个100g的砝码．
素材2：由于一个硬币太轻，这个自制天平无法直接称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置一个100g砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当PC=10cm时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量×OA=右盘物体重量×OP.(不计托盘与横梁重量)
任务1：左侧托盘放入1个100g砝码，设右侧托盘放置yg物体，OP长为x cm，求y关于x的函数表达式；
任务2：求一个1元硬币的重量；并判断左侧托盘放入1个100g砝码时，右侧托盘至少要放置几个1元硬币，该天平才能保持平衡；
任务3：横梁AB长度保持不变的情况下，通过调整天平支点的位置，使左侧托盘放入1个100g砝码，右侧托盘放置一个1元硬币时，天平能保持平衡，OA的长度至多是多少cm？
24.(本小题12分)
如图(1)，已知矩形ABCD，点E，G分别是矩形边AD，BC上的一点，且AE=CG，△ABE与△DCG分别沿BE，DG翻折得到△FBE与△DHG；EF所在的直线交直线DH于N点，GH所在的直线交直线BF于M点．
(1)求证：四边形MHNF是矩形．
(2)若AD= 2AB，且∠MBG=45°.判断四边形MHNF的形状，并说明理由．
(3)如图(2)，若点F是DG的中点.试探求HD与EF的数量关系，并加以说明．
答案解析
1.D
【详解】解：x=1时， 5−x= 4=2．
故选：D．
2.A
【详解】解：∵反比例函数为y=12x，
A.−2×(−6)=12，故A符合题意；
B.−2×6=−12≠12，故B不符合题意；
C.2×(−6)=−12≠12，故C不符合题意；
D.2×10=20≠12，故D不符合题意．
故选：A．
3.C
【详解】解：A、 6+ 2≠2 2，故选项A不符合题意；
B、 6− 2≠2，故选项B不符合题意；
C、 6× 2= 12=2 3，故选项C符合题意；
D、 6÷ 2= 3，故选项D不符合题意；
故选：C．
4.B
【详解】解：依题意得：2502.2(1+x)2=2936.43．
故选：B．
5.C
【详解】解：根据多边形的内角和可得：
(6−2)×180°=720°．
故选：C．
6.B
【详解】解：∵AC=2BC，设BC=m，则AC=2m，
∵∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2= 5m，
∵BD=BC=m，
∴AD=AB−BD=( 5−1)m，
∵AD=AE，
∴AE=AD=( 5−1)m，
∴AEAC=( 5−1)m2m= 5−12，
故选：B．
7.D
【详解】解：因为绝大多数的人的打分都是9分和10分，
所以该电影评分的平均分正确预测是在9分到10分之间．
故选：D．
8.A
【详解】解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：A．
9.A
【详解】解：因为方程x2+bx+c=0的两个根是±α，
所以α+(−α)=−b1，
则b=0，
所以此方程为x2+c=0，
将x=α代入方程得，
α2=−c．
同理可得，
β2=−e．
因为当x=β时，x2+bx+c的值记作y1，
所以y1=β2+c，
同理可得，
y2=α2+e．
所以y1+y2=β2+c+α2+e=−e+c−c+e=0．
故选：A．
10.A
【详解】解：由正方形ABCD，BF⊥CE，
得△ABF≌△BCE(ASA)，
得S1+S5=S1+S4，
得S4=S5，
由S1+S2+S5=S3+S4，
得S1+S2=S3．
故选：A．
由正方形ABCD，BF⊥CE，得△ABF≌△BCE(ASA)，得S1+S5=S1+S4，得S4=S5，由S1+S2+S5=S3+S4，即可得S1+S2=S3．
11.x≥1
【详解】解：根据题意得：x−1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
12.<
【详解】解：∵反比例函数y=−12x中，k=−12<0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵点A(1,y1)，B(2,y2)，
∴点A、B都在第四象限，
又∵1<2，
∴y1故答案为：<．
13.9
【详解】解：根据题意得Δ=62−4a=0，
解得a=9．
故答案是：9．
14.80
【详解】解：数据80出现了5次，次数最多，所以这10名学生成绩的众数是80分．
故答案为：80．
15.144°
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCA=∠DCA=12∠BCD，∠BAO=∠DAO=12∠BAD，
∴∠BAD=2∠BAO，∠BCD=∠BAD，
∵∠BAD=2∠BOD，
∴∠BAO=∠BOD，
由题意知OA=OB=OC=12AP，
∴∠OAB=∠OBA=∠OAD=∠ODA=∠BOD，
∵∠OAB+∠OBA+∠OAD+∠ODA+∠BOD=360°，
∴∠BAO=72°，
∴∠BCD=∠BAD=2×72°=144°．
故答案为：144°．
16.8 2−6
【详解】解：由题意，图1中，大正方形的边长为4，图2中，中间矩形的长为4，宽为2 2．
图2中，空白部分面积=4×2 2−12×(2 2+4 2)× 2
=8 2−6．
故答案为：8 2−6．
17.解：(1)原式= 8×(− 2)
=− 16
=−4；
(2)原式= 18− 8− 12
=3 2−2 2− 22
= 2− 22
= 22．
【详解】(1)先算除法，再算乘法即可；
(2)先去括号，再将各式化为最简二次根式，再进行加减运算即可．
18.解：(1)x2−3x=0，
∴x(x−3)=0，
∴x=0或x−3=0，
∴x1=0，x2=3；
(2)x2−8x+12=0，
∴(x−2)(x−6)=0，
∴x−2=0或x−6=0
∴x1=2，x2=6．
【详解】(1)用因式分解法解方程即可；
(2)用因式分解法解方程即可．
19.解：(1)要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，
圆圆成绩的平均数：110(7+8+7+10+7+9+9+10+6+7)=8(米)，
方方成绩的平均数：110(5+6+6+7+8+9+9+10+10+10)=8(米)，
答：应选择平均数，圆圆、方方的平均数分别是8米，8米；
(2)方方成绩的方差为：110[(5−8)2+2×(6−8)2+(7−8)2+(8−8)2+2×(9−8)2+3×(10−8)2]=3.3(平方米)；
(3)∵1.8<3.3，
圆圆同学的成绩较好，
理由：由(1)可知两人的平均数相同，因为圆圆成绩的方差小于方方成绩的方差，成绩相对稳定．故圆圆同学的成绩较好．
【详解】(1)要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，根据平均数的定义计算出两人的平均数即可；
(2)根据方差的计算方法计算即可；
(3)由(1)可知两人的平均数相同，由方差可知小聪的成绩波动较小，所以方差较小，成绩相对稳定．
20.反比例
【详解】解：(1)∵作PH⊥y轴于点H，点Q是PH的中点，设点Q的坐标为(m,n)，
∴P(2m,n)，
∵点P是反比例函数y=6x(x>0)图象上的一个动点，
∴2mn=6，
∴n=3m，
∴n是m的反比例函数，
故答案为：反比例；
(2)当n=3时，求得m=1，
∴当n>3时，求m的取值范围是0(1)由题意可知P(2m,n)，代入y=6x(x>0)即可得到n=3m，即可得到n是m的反比例函数；
(2)求得n=3时的m的值，然后结合图象即可求得当n>3时m的取值范围．
21.(1)(80+2x)，(1600+160x+4x2)；
(2)根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：(80+2x)cm，宽为：(20+2x)cm，
∴装裱后长方形书法作品的面积为：(80+2x)(20+2x)=(1600+200x+4x2)cm2，
∴装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为1100cm2=1600+200x+4x2−80×20，
即x2+50x−275=0，
解得：x=5或x=−55(不符合题意，舍去)，
根据题意可知，装裱后正方形书法作品的面积为：(40+2x)2=(1600+160x+4x2)cm2，
∴装裱正方形书法作品所用彩纸的面积=装裱后正方形书法作品的面积−未装裱正方形书法作品的面积，
即装裱正方形书法作品所用彩纸的面积=1600+160x+4x2−402=160×5+4×52=900(cm)2，
答：装裱正方形书法作品所用彩纸的面积为900cm2．
【详解】
(1)根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：(80+2x)cm，正方形书法作品的边长为：(40+2x)cm，再计算其面积即可；
(2)根据题意，可知装裱长方形书法作品所用彩纸的面积=装裱后长方形书法作品的面积−未装裱长方形书法作品的面积，求得x=5，再根据装裱正方形书法作品所用彩纸的面积=装裱后正方形书法作品的面积−未装裱正方形书法作品的面积，代入计算即可．
22.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/CB，AD=CB，
∴∠ADE=∠CBF，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∴AE//CF，
在△ADE和△CBF中，
∠ADE=∠CBF∠AED=∠CFBAD=CB，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)解：∵△ADE≌△CBF，
∴BF=DE，
∴BE=DF，
∵BE=EC=AF，
∴DF=AF，
设DF=AF=x，则有x2=42+(8−x)2，
∴x=5，
∴DF=5，
∵AE=CF=4，
∴CD= DF2+CF2= 52+42= 41．
【详解】(1)由平行四边形的性质得AD/​/CB，AD=CB，则∠ADE=∠CBF，由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，得∠AED=∠CFB=90°，AE/​/CF，即可根据“AAS”证明△ADE≌△CBF，得AE=CF，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AECF是平行四边形；
(2)首先证明DF=AF，设DF=AF=x，利用勾股定理求出x，再利用勾股定理求出CD．
23.解：任务1：由题意得，OA=OC=12AC=15cm，
∴100×15=yx．
∴y=1500x．
任务2：由任务1，y=1500x，
又当PC=10cm时，天平平衡，
∴x=OP=OC+PC=15+10=25．
∴y=150025=60．
∴10枚1一元的硬币60g．
∴一个一元的硬币6g．
∵y=1500x，
∴y随x的增大而减小．
∴当x最大时，y最小，
即当x=OB=OC+BC=15+76=91时，y最小=150091≈16.48．
又16.48÷6≈2.75，
∴右侧托盘至少要放置3个1元硬币．
任务3：由题意，设OA=a cm时，天平平衡，此时OB=AB−OA=(30+76−a)cm=(106−a)cm，
∴100a=6(106−a)．
∴a=6cm．
答：OA的长度为6cm．
【详解】任务1：依据题意得，OA=OC=12AC=15cm，故100×15=yx，进而可以判断得解；
任务2：依据题意，由任务1，y=1500x，又当PC=10cm时，天平平衡，故x=OP=OC+PC=15+10=25，从而可得y的值，再结合10枚1一元的硬币yg，进而可以判断得解；由y=1500x，故y随x的增大而减小，从而当x最大时，y最小，则当x=OB=OC+BC=15+76=91时，y最小=150091≈16.48，再结合一个硬币中6g可以计算得解；
任务3：由题意，设OA=a cm时，天平平衡，此时OB=AB−OA=(30+76−a)cm=(106−a)cm，进而可得100a=6(106−a)，计算即可得解．
24.(1)证明：如图，连接BD，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠C=90°，AB/​/CD，
∵AE=CG，
∴△ABE≌△CDG(SAS)，
∴∠ABE=∠CDG，
∵折叠，
∴∠ABE=∠FBE，∠A=∠BFE=90°，
∠CDG=∠HDG，∠C=∠DHG=90°，
∴∠ABF=2∠ABE，∠CDH=2∠CDG，
∴∠ABF=∠CDH，
∵AB/​/CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠DBF=∠BDH，
∴BF//DH，
∴∠HNF=∠BFE=90°，
∵∠MFH=180°−∠BFE=90°，∠MHN=180°−∠GHD=90°，
∴四边形MHNF是矩形．
(2)解：四边形MHNF是正方形，理由如下：
如图，延长DH至交BC于K，过点K作KP垂直于FB，垂足为P．

设MH=x，GH=y，
∵∠MBG=45°，
∴BM=MG=x+y，GC=y，
∴BG= 2(x+y)．KC= 2y+y，
∴BC= 2(x+y)+y，
∵DC=KC= 2y+y，
∵AD= 2AB，
∴y= 2x，
∵HN=DH−DN=KC−MG= 2y+y−x−y= 2y−x=x，
∴NH=HN，
∵四边形MHNF是矩形，
∴四边形FMCH是正方形．
(3)HD= 3EF，

如图，取AB的中点T，连结TH与HF，连接AF，
若点F是DG的中点．则点H也是BE的中点，
∴TH//AD，TF//AD，
∴T、H、F三点共线，
∴TF⊥BA，
∴AF=BF，
∵AB=BF，
∴AF=BF=AB，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF=60°，
由(1)知∠CDG=∠ABF=60°，
∴∠EDH=30°，
∴DN= 3EN，
易得四边形EDFH是平行四边形，
∴HD=2DN，EF=2EN，
∴HD= 3EF．
【详解】(1)根据折叠可推出∠ABE=∠FBE，∠A=∠BFE=90°，进而知道∠MFN=∠MHN=90°，所以再找一个直角就可以，连接BD，可推出BF//DH，即可证出∠HNM=90°，再根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得证；
(2)要证四边形MHNF是正方形，只需要证一组临边相等就可以，折叠产生等线段，45°直角三角形也会有边的关系，题干还给了AD= 2AB，所以可以设参数证等量关系即可；
(3)根据题干条件证∠ABF是60°，再利用特殊角去找HD和EF的关系即可．评分(分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数(个)
56
502
0
0
1398
2516
2795
36894
111800
403039