初中华东师大版（2024）1. 矩形的性质优秀ppt课件

这是一份初中华东师大版（2024）1. 矩形的性质优秀ppt课件，共31页。PPT课件主要包含了典例精析，几何语言描述，原命题，逆命题，命题证明，答案C，答案B等内容，欢迎下载使用。
思考 如图①所示，在矩形 ABCD 中，AC = BD，AO = OC，BO = OD. 若擦去半个矩形，如图 ②，BO 即Rt△ ABC 斜边 AC 上的中线，由此，你能发现 BO 与斜边 AC 的关系吗 ?
直角三角形斜边上的中线的性质
证明：如图，延长 BO 至点 D，使 OD = OB，连结 AD 和 CD.在四边形 ABCD 中，∵ OA = OC，OB = OD，∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，又 ∵∠ABC = 90°，∴ 四边形 ABCD 是矩形.从而 AC = BD ，BO = BD = AC .
例1 如图 ，在 Rt△ ABC 中，BO 为斜边 AC 上的中线，求证：
直角三角形的性质：定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
∵ BO 是 Rt△ABC 斜边 AC 上的中线
例2 如图，在△ABC 中，AD 是高，E、F 分别是AB、AC 的中点．(1) 若AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长；
解：∵AD 是 △ABC 的高，E、F 分别是 AB、AC 的中点，∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4，∴四边形AEDF的周长：AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18 .
(2) 求证：EF 垂直平分 AD .
证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F 在线段 AD 的垂直平分线上， ∴ EF 垂直平分 AD .
归纳 当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
例3 如图，已知 BD ，CE 是△ ABC 不同边上的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明 GF⊥DE .
解：连接 EG，DG . ∵BD，CE 是 △ABC 的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点 G 是 BC 的中点，∴EG ＝ BC，DG＝ BC.∴EG ＝ DG.又∵点 F 是 DE 的中点，∴ GF⊥DE.
在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
【练一练】1. 如图，在 △ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线.(1) 若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm;(2) 若∠C = 30°，AB = 5cm，则 AC =_____cm，BD =_____cm.
试一试 写出上述结论的逆命题，观察下图，试判断该逆命题是否成立.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
分析 图中，CD = AD = BD .即边 AB 上的中线 CD 将整个三角形分成了两个等腰三角形利用等腰三角形两底角相等的性质，容易证明∠ACD 与∠BCD 的和为 90°，即该三角形确实是一个直角三角形.
如图 ，在△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的中线，AB = 2CD ，求证：△ABC 为直角三角形 .
证明：∵CD 是 AB 中线，∴ AD = BD = AB .又∵AB = 2CD，
∵ AD = CD，BD = CD， ∴ ∠A =∠ACD ，∠B =∠BCD .
在 △ABC 中，∠A+∠B+∠ACB = 180°，且∠ACB =∠ACD +∠BCD ，∴∠A +∠B +∠ACD +∠BCD = 180°，∴2∠ACD + 2∠BCD =180°，即∠ACD +∠BCD = 90°.∴ ∠ACB = 90°，即 △ABC 为直角三角形.
一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是一个直角三角形.
∴ △ABC 为直角三角形.
1．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，∠AOB内一个动点P到这个角两边的距离之和为5，则图中四边形AOBP的周长是(　　)A．5　　B．10　　C．20　　D．无法确定
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OCD的度数为(　　)A．35° B．40° C．45° D．50°
3．[陕西中考]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有(　　)A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【点拨】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－90°－20°＝70°.∵CD为AB边上的中线，∴CD＝AD＝BD.∴∠DCA＝∠A＝20°，∠DCB＝∠B＝70°.∵DE⊥AC，∴∠CDE＝180°－90°－∠DCA＝70°，∠ADE＝180°－90°－∠A＝70°.∴图中与∠A互余的角是∠B，∠DCB，∠CDE，∠ADE，共有4个．
4．如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件________时，四边形PEMF为矩形．
5．小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD＝12 cm，CD＝10 cm，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平．
6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，连结EF．若AC＝6，BD＝4，则EF长的最小值为________.
7．[重庆沙坪坝区月考]如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且BF＝DE，连结EF交对角线BD于点O，BD＝5，CD＝3，连结CE，若CE＝CF，则EF的长为________．
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；