初中数学华东师大版（2024）八年级下册（2024）2. 矩形的判定精品课件ppt

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级下册（2024）2. 矩形的判定精品课件ppt，共42页。PPT课件主要包含了证明猜想，典例精析，练一练，∴ACBD，答案A，答案C，①②③⑤，或10等内容，欢迎下载使用。
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法吗
问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
矩形是特殊的平行四边形.
有三个角是直角的四边形是矩形
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
试一试 如图，作一个三个角都是直角的四边形.
1. 任意作两条互相垂直的线段 AB、AD；
2. 过点 B 作垂直于 AB 的直线 l；
3. 过点 D 作垂直于 AD 的直线m，交 l 于点 C，即得一个三个角都是直角的四边形 ABCD .
观察你所作的图形，它是一个矩形吗 ?
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°，∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.∴ AD∥BC，AB∥CD.∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.∴ 四边形 ABCD 是矩形.
矩形的判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：在四边形 ABCD 中，∵∠A =∠B =∠C = 90°，∴ 四边形 ABCD 是矩形.
思考1 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
有三个角是直角的四边形是矩形.
例1 如图，□ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形．
证明：在□ ABCD 中，AD∥BC，
∴∠DAB +∠ABC = 180°.
∵ AE 与 BG 分别为∠DAB、 ∠ABC 的平分线，
∴ 四边形 EFGH 为矩形．
同理可得∠FEH =∠EHG = 90°，
∴∠AFB = 90°.
∴∠GFE = 90°.
1. 在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的 4 位同学分别拟定了如下的方案，其中合理的是 （　　）A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角
问题3 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
思考 你能证明这一猜想吗？
我猜想：对角线相等的四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
对角线相等的平行四边形是矩形
试一试 如图 ，作一个对角线相等的平行四边形
(1) 任意作两条相交的直线，交点记为 O；(2) 以点 O 为圆心、适当长为半径作弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段 OA、OB、OC、OD；(3) 顺次连结所得的四点.四边形 ABCD 的两条对角线相等且互相平分，即为所要求作的四边形.
这个平行四边形是不是矩形 ?
【证明猜想】已知：如图，在□ABCD中，AC，DB 是它的两条对角线，且 AC = DB. 求证：□ ABCD 是矩形.
证明：∵ AB = DC，BC = CB，AC = DB，∴ △ABC≌△DCB.∴∠ABC = ∠DCB.∵ AB∥CD，∴∠ABC + ∠DCB = 180°.∴ ∠ABC = 90°.∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
矩形的判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：在平行四边形 ABCD 中，∵ AC = BD，∴平行四边形 ABCD 是矩形.
思考2 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，其中一种方法就是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线的长相等，那么窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
例2 如图，点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 上的一点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
分析 根据已知条件，我们可以先证明四边形 EFGH 是平行四边形，再证明对角线EG 和 FH 相等，即可得证.
证明 ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴ OE = OF = OG = OH.
∵ AE = BF = CG = DH，
∴ 四边形EFGH是平行四边形.
∵ EO+OG = FO+OH，∴EG = FH，
∴四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
例3 如图，四边形 ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和 BCD 组成的 ，M、N 分别为 BC、AD 的中点.求证：四边形 BMDN 是矩形.
分析：由已知条件，可知BN⊥AD，DM⊥BC，因此，在四边形BMDN中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角也是直角即可得到它是一个矩形.
∵△ABD 和 △BCD 是全等的正三角形，
∴∠ADB =∠CDB = 60°.
又∵ M、N 分别为 BC、AD 的中点，
∴∠DNB =∠DMB = 90°，
∠MDN =∠ADB +∠BDM = 90°，
∴四边形 BMDN 是矩形 (有三个角是直角的四边形是矩形).
例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD⊥BC，垂足为点 D，AG 是△ABC 的外角∠FAC 的平分线，DE∥AB，交 AG 于点 E. 求证：四边形 ADCE 是矩形.
分析 根据已知条件 AB = AC，我们可以先通过证明四边形 ABDE 是平行四边形，得到 DE = AB = AC，因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理.
证明 ∵ AB = AC，AD⊥BC，
∴∠B = ∠ACB，BD = DC.
∴∠FAE = ∠CAF = (∠B+∠ACB) = ∠B，
又∵AE 是△ABC 的外角∠CAF 的平分线，
∴ AE∥BC. 又∵AB∥DE，
∴ 四边形 ABDE 是平行四边形.
∴ AE = BD，AB = DE，∴ AC = DE，AE = DC.
又∵ AE∥DC，∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.
∴四边形ADCE是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
【练一练】2. 如图，在□ ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 □ ABCD 是矩形的是 （　　）
A．AC = BD B．AC = BCC．AD = BC D．AB = AD
3. 如图，□ABCD 中，∠1 = ∠2，此时四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？
解：四边形 ABCD 是矩形.理由如下：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AO = CO，DO = BO.又∵∠1 = ∠2，∴ AO = BO. ∴ AC = BD.∴ □ ABCD 是矩形.
1．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是(　　)
2．如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD应具备的条件是(　　)A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相平分
3．如图，已知平行四边形ABCD，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB，对于下列条件：①AB＝BE；②CE⊥DE；③∠ADB＝90°；④BE⊥DC．不能判定四边形DBCE为矩形的个数是(　　)A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连结AE，BF．当∠ACB＝________时，四边形ABFE为矩形．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为________．
6．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
(1)求证：FA＝BD；
【证明】∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.又∵E为AD的中点，∴AE＝DE.∴△AEF≌△DEC.∴AF＝DC.又∵D为BC的中点，∴BD＝CD.∴AF＝BD.
(2)连结BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形．
【证明】∵AF＝BD，AF∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形．∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴四边形ADBF是矩形．
8．[西安高新区模拟]如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(0，8)，(－6，0)，P为线段AO上的一动点，以PB，PA为边构造平行四边形APBQ，则使对角线PQ的值最小的点Q的坐标为(　　)A．(－3，4) B．(－4，3)C．(－6，4) D．(－6，3)
9．如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝6，EF＝8，下列结论：①∠HEF＝90°；②△AEH≌△CGF；③AD＝HF；④FE＝2AE；⑤AB＝9.6．其中正确的结论是__________(填序号)．
10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，动点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过____________秒后，四边形BEDF是矩形．