初中数学华东师大版（2024）八年级下册（2024）18.3 正方形精品课件ppt

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级下册（2024）18.3 正方形精品课件ppt，共39页。PPT课件主要包含了正方形，正方形的性质，邻边相等，证一证，知识要点，平行四边形，四边形，典例精析，正方形的判定，先判定菱形等内容，欢迎下载使用。
观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
矩 形
问题1 矩形怎样变化后就成了正方形呢 ? 你有什么发现 ?
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义). 又∵ 正方形是平行四边形， ∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)， 正方形是菱形 (菱形的定义). ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = CO = DO. ∵ 正方形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD.
正方形可以看成： 有一个角是直角的菱形； 有一组邻边相等的矩形.
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
性质：1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等； 2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
1. 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.2. 正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
分析：由正方形的特殊性质，可知 ∠DOC = 90°. 易证 △ABO≌△CBO，从而可得∠ABD = ×90°= 45°，同理可得∠DAC = 45°.
例1 如图，已知正方形 ABCD.求∠ABD、∠DAC、∠DOC 的大小.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AC = BD，AC⊥BD，AO = BO = CO = DO.∴∠DOC =∠AOD =∠AOB = 90°.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.∴ ∠ABO =∠DAC = 45°.
例2 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OA＝2，求该正方形的周长与面积．
解：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AC⊥BD，OA＝OD＝2.在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得∴ 该正方形的周长为 4AD＝ ，面积为 AD2＝8.
讨论 老师给学生布置了一项任务:从一张彩色纸中剪出一个正方形.① 小明剪完后，这样检验它：比较边长，发现四条边是相等的，于是就判定自己完成了这项任务，这种检验可信吗?
四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形.
② 小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而是对角线，他发现对角线是相等的，于是就认为自己正确地剪出了正方形，这种检验对吗?
对角线相等的四边形可能是矩形或等腰梯形，不一定是正方形.
③ 小英剪完后，比较了由对角线相互分成的 4 条线 段，发现它们是相等的，按照小英的意见，这 说明剪出的四边形是正方形.
对角线分成的 4 条线段相等的四边形是矩形，不一定是正方形.
思考 根据上面的思考，你可以总结一下如何判定一个四边形是正方形？
1. 一组邻边相等的矩形是正方形.
2. 对角线互相垂直的矩形是正方形.
3. 一个角是直角的菱形是正方形.
4. 对角线相等的菱形是正方形.
正方形判定的常见方法：
1．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是(　　)A．AC⊥BD B．AD＝AOC．DO＝CO D．∠DAO＝∠BAC
2．[自贡中考]如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B(0，－2)．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A′B′C′D′.则点D′的坐标为(　　)A．(－3，5) B．(5，－3)C．(－2，5) D．(5，－2)
3．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB，BC于点E，F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为________．
4．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连结BF，则∠AFB的度数为________．
5．[广安中考]如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连结AE，AF，CE，CF．
(1)求证：△ADE≌△CBF．
6．如图，E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连结AE交BD于点F，连结CF，若∠CDE＝40°，则∠DCF的度数为(　　)A．23° B．24° C．25° D．26°
8．[东营期中]如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF．其中正确的有________(填序号)．
∵△ABF≌△DAE，∴∠AFB＝∠DEA.∵∠DEA＋∠DAE＝90°，∴∠AFB＋∠DAE＝90°，∴∠AOF＝180°－(∠AFB＋∠DAE)＝90°，∴AE⊥BF，故②正确；如图，连结BE，假设AO＝OE.由②得AE⊥BF，∴BF垂直平分AE，∴AB＝BE.∵在Rt△BCE中，BE>BC，∴AB>BC，与正方形的边长AB＝BC相矛盾，∴假设不成立，OA≠OE，故③错误；
由①得△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△DAE，∴S△ABF－S△AOF＝S△DAE－S△AOF，∴S△AOB＝S四边形DEOF，故④正确．综上所述，正确的有①②④.
9．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，∠AEP＝90°，且EP交正方形外角∠DCN的平分线CP于点P．
(1)求证：AE＝EP．
【证明】∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝AD，∠B＝∠BCD＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠BEA＝90°.∵∠AEP＝90°，∴∠BEA＋∠CEP＝90°.∴∠BAE＝∠CEP.如图①，在BA上截取BN＝BE，连结EN.
(2)在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请画出图形并给予证明；若不存在，请说明理由．
【解】存在点M使得四边形DMEP是平行四边形．如图②，过点D作DM∥PE，交AE于点K，交AB于点M，连结ME，DP，此时四边形DMEP是平行四边形．